WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«Теоретические основы изучения практических предпосылок развития математики Выполнила: Макарова Дарья Юрьевна студентка 1 курса ФГБОУ ВО «Курский государственный ...»

Научно-исследовательская работа

Теоретические основы изучения практических предпосылок развития

математики

Выполнила:

Макарова Дарья Юрьевна

студентка 1 курса ФГБОУ ВО

«Курский государственный

университет»

колледжа коммерции,

технологий и сервиса

Руководитель:

Верютина Елена Викторовна

преподаватель ФГБОУ ВО

«Курский государственный

университет»

колледжа коммерции,

технологий и сервиса

Содержание

Введение Глава I.Теоретические основы изучения практических предпосылок развития математики

1.1. Возникновение понятия «логарифм» 5

1.2. Возникновение тригонометрии 9

1.3. Возникновение дифференциального и интегрального 11 исчислений Заключение Список литературы Введение Математика (греч- наука, знание, изучение) - наука, которая первоначально возникла как одно из направлений поиска (в греческой философии) в сфере пространственных отношений (геометрии) и вычислений (арифметики), для практических потребностей человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел.

История математики тесно связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта (арифметика) и измерения линий, поверхностей и объёмов (геометрия), потому что знания в этих областях были необходимы людям в их повседневной жизни.



Дальнейшее развитие математики, как науки, принесло в нашу жизнь много новых разделов: алгебра, математический анализ и т.д.

Соответственно, появилось много новых понятий, формул, алгоритмов.

Существуют математические понятия, история возникновения которых с точки зрения практических потребностей людей в процессе развития человеческого общества недостаточно изучена. Анализ различных материалов по истории развития математики показал, что в работах Рыбникова К.А., Юшкевича А.П., Глейзера Г.И излагаются только историкоматематические сведения и освящаются основные, определяющие моменты и стороны развития математики. Кроме того, для работы с данными книгами требуется достаточная математическая подготовка.

Цель данной работы - уточнить роль и влияние практических потребностей людей на появление в математике некоторых понятий, встречающихся в ходе изучения математики в учебных заведениях.

Задачи: выявить исторические предпосылки возникновения логарифмов и проследить путь развития понятия «логарифм»; обобщить сведения о практической необходимости тригонометрии; наглядно представить историю развития интегрального исчисления с помощью ленты времени.

Глава I. История возникновения математических понятий.

1.1. Возникновение понятия «логарифм»

Изобретение логарифмов в начале 17 века тесно связано с развитием в 16 веке производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Всё чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, всё точнее и точнее должны быть результаты действий. Вот тогдато и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий 3 ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям 2 ступени (умножению и делению), а последних – к самым простым, к действиям 1 ступени (сложению и вычитанию).

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н. э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов.

Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.

Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2, представленных на рисунке 1:

Рис.1. Таблица М.Штифель Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число, приближенно равное 1/e.

Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10-4)*10 4, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г. Бриггс (1561-1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины "характеристика" и "мантисса" были предложены Бриггсом. Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1, представленной на рисунке 2.

Рис. 2. График ветви гиперболы В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью Оx и ординатами точек x = 1 и x = a (на рис. 1 эта область покрыта более жирными и редкими точками) возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы "гиперболическими логарифмами".

xy = 4. Площади под гиперболой на отрезках от x =1 до x = 2, от x = 2 до x = 4 и от x = 4 до x = 8 равны; общая площадь заштрихованной фигуры возрастает в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4), тогда как длина отрезков на оси x возрастает в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8).

Таким образом, история логарифмов говорит о том, что великие открытия являются результатом труда не одного человека и даже не одного поколения. С течением времени актуальность и глобальность данного открытия стали меньше для вычислительных работ, но сохранились для развития теоретических вопросов математики.

1.2. Возникновение тригонометрии





Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древневавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса.

В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии.( Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.) В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты.

Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы;

появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Таким образом, практическая необходимость тригонометрического исчисления сохранилась с античных времён и до наших дней.

1.3. Возникновение дифференциального и интегрального исчисления.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления.

Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные.

Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

В 1638 году Ферма сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений f(x).

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Большим достоинством книги является простота и строгая последовательность изложения, обилие примеров различной сложности.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Дифференциальное и интегральное исчисление разрабатывалось на протяжении многих веков и связано с именами большого количества ученых, как это представлено на рисунке 3.

–  –  –

Рис.3. Ученые, внесшие вклад в развитие дифференциального и интегрального исчисления Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.

Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И.Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б.Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой (т. е. вывел формулу, и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона Лейбница.

Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное иинтегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.).

Таким образом, история развития интегрального исчисления прошла традиционные этапы - постановка практических задач, выделение общих идей, лежащих в основе решения разных задач, введение символики, оформление общих методов.

Заключение Обобщая содержание первой главы, нами сделаны следующие выводы.

Обзор исторического развития науки с точки зрения практических потребностей человека позволяет увидеть условия, а иногда и причины зарождения тех или иных понятий, идей и методов математики. История возникновения различных составляющих математики является результатом труда нескольких поколении людей, практические предпосылки попрежнему актуальны, и традиционные этапы развития от зарождения к применению просматриваются в формировании понятий и методов.

Помимо этого знание истории математики способствует повышению интереса к предмету, углубляет понимание изучаемой дисциплины, повышает общую культуру человека.

Схематическое представление некоторых аспектов данного вопроса отвечает требованиям нынешнего поколения студентов о наглядном представлении большого объёма информации.

Список литературы:

1. Гейзер Г.И.История математики в школе. – М.: «Просвещение», 1982

2. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/ Под ред.

Колмогорова – М.: Просвещение, 1996

3. Рыбников К.А. История математики (в 2-х томах). – М: Издательство Московского университета – 1960 г. – т.1, 1963 г. – т.2.

4. Юшкевич А.П. История математики. – М.: Наука – 1970 г. – т.1, т.2, – 1972 г. – т.3



Похожие работы:

«А.П. Стахов "ЗОЛОТАЯ" ГОНИОМЕТРИЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ Развитие современной "математики гармонии" [1] осуществляется в трех основных направлениях: 1. "Обобщенная теория золотого сечения", в основе которо...»

«Биоорганическая химия, № 1, 2014 УДК 541.124:546.11.2 ТВЕРДОФАЗНЫЙ ИЗОТОПНЫЙ ОБМЕН ВОДОРОДА НА ДЕЙТЕРИЙ И ТРИТИЙ В ГЕННО-ИНЖЕНЕРНОМ ИНСУЛИНЕ ЧЕЛОВЕКА © 2013 г. Ю. А. Золотарев1*,, А. К. Дадаян1*, В. С. Козик1*, Е. В. Гасанов1*, И. В. Назим...»

«Прежде всего, я верю в будущее теории чисел, и я надеюсь, что недалеко то время, когда неопровержимая арифметика одержит блестящие победы в области физики и химии. Герман Минковский Абачи...»

«98 Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1 (22), том 12, 2015, с. 98-123 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ В ИЗУЧЕНИИ ОРГАНИЗМА КАК ГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗОНАНСОВ С.В. Петухов Института машиноведения РАН, Москва, Россия spetoukhov@gmail.com Статья посвящена новому модельному подходу к изучению роли волновых и вибрационных процессов в ге...»

«А.П. Стахов Роль систем счисления с иррациональными основаниями (кодов золотой пропорции) в развитии теории систем счисления, теории компьютеров и "современной теории чисел Фибоначчи" (к обоснованию "Математики Гармонии" ) 1...»

«УДК 577.29 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДУПЛЕКС-СПЕЦИФИЧЕСКОЙ НУКЛЕАЗЫ КРАБА ДЛЯ БЫСТРОГО АНАЛИЗА ОДНОНУКЛЕОТИДНЫХ ПОЛИМОРФИЗМОВ И ВЫЯВЛЕНИЯ ДНК-МИШЕНЕЙ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОДУКТЕ ПЦР © 2011 г. И. А. Шагина*, Е. А. Богданова**, И. М. Альтшулер*, С. А. Лукьянов**, Д. А. Шагин*,** * ЗАО Евроген, Москва; **Учреждение РАН Институт биоорганической х...»

«ОТЗЫВ на диссертационную работу Никифоровой Татьяны Евгеньевны "Физико-химические основы хемосорбции ионов dметаллов модифицированными целлюлозосодержащими материалами", представленную на соискание ученой степени доктора химических наук по специальности 02.00.06 "Высокомолекулярные соединения" Диссерта...»










 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.