WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 

«Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Вступительные замечания В предыдущих трех лекциях мы изучили три типа кривых ...»

Лекция 13: Классификация квадрик на

плоскости

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук,

кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Вступительные замечания

В предыдущих трех лекциях мы изучили три типа кривых второго порядка

эллипс, гиперболу и параболу. Цель данной лекции указать все

существующие типы таких кривых. Как мы увидим, кроме трех только что

указанных, существуют лишь несколько вырожденных квадрик на плоскости, некоторые из которых вообще трудно считать кривыми в общепринятом смысле этого слова.

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Определение квадрики на плоскости Определение Квадрикой на плоскости (или кривой второго порядка) называется множество всех точек плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2-го порядка с двумя неизвестными, т. е. уравнению вида a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0, (1) где a11 + a12 + a22 = 0.

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Примеры квадрик на плоскости Примерами квадрик на плоскости являются кривые, рассмотренные в трех предыдущих лекциях, эллипс, гипербола и парабола. Рассмотрим еще несколько уравнений вида (1) и выясним, какие квадрики они задают.

1 x 2 y 2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x y )(x + y ) = 0 и потому задает пару пересекающихся прямых с уравнениями x y = 0 и x + y = 0.



2 x 2 1 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x 1)(x + 1) = 0 и потому задает пару параллельных прямых с уравнениями x 1 = 0 и x + 1 = 0.

3 x 2 = 0. Это уравнение, очевидно, равносильно уравнению x = 0 и потому задает на плоскости прямую (ось ординат). В теории квадрик на плоскости квадрику такого типа принято называть парой совпавших прямых. Этот термин объясняется следующими соображениями. Рассмотрим пару параллельных прямых x = ±a, где a 0, задаваемую уравнением x 2 = a2. Если a 0, то прямые x = a и x = a сближаются и в пределе, при a = 0, совпадают друг с другом.

4 x 2 + y 2 = 0. Это уравнение равносильно равенствам x = y = 0 и потому задает на плоскости точку (начало координат).

5 x 2 + 1 = 0. Точек, координаты которых удовлетворяли бы этому уравнению, не существует. Поэтому его геометрическим образом является пустое множество.

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Классификационная теорема Оказывается, что никаких других квадрик, кроме упомянутых на предыдущем слайде, не существует. А именно, справедлива следующая Теорема 1 Всякая квадрика на плоскости является или эллипсом, или гиперболой, или параболой, или парой прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших), или точкой, или пустым множеством.

Доказательство этой теоремы весьма длинное ему будет посвящена вся оставшаяся часть данной лекции. Отметим, однако, что это доказательство несложно по своей сути (оно сводится к простым вычислениям и перебору большого числа возникающих при этом случаев).

Еще более важно то, что это доказательство конструктивно: в нем, по сути дела, изложен алгоритм, следуя которому можно определить тип квадрики, заданной произвольным уравнением вида (1), и найти систему координат, в которой уравнение этой квадрики имеет наиболее простой вид. Последнее обстоятельство особенно ценно с точки зрения решения задач.

Приведение уравнения произвольной квадрики к простейшему виду, описываемое в доказательстве теоремы 1, принято называть приведением квадрики к каноническому виду.

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (1) Доказательство. Пусть в системе координат Oxy квадрика задается уравнением (1). Разобьем дальнейшие рассуждения на три шага.

Шаг 1. Проверим прежде всего, что систему Oxy можно повернуть вокруг точки O на некоторый угол так, что в новой системе координат уравнение той же квадрики не будет содержать слагаемого с произведением неизвестных.

Если a12 = 0, то уже в исходной системе координат уравнение квадрики не содержит слагаемого с произведением неизвестных и в качестве искомого можно взять угол 0. Поэтому далее можно считать, что

–  –  –

Докажем, что существует угол такой, что 2a12 = 0. Из (4) вытекает, что 2a12 = 2a12 cos 2 (a11 a22 ) sin 2. Таким образом, 2a12 = 0 тогда и только тогда, когда

–  –  –

Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 2 (2) Геометрически этой замене неизвестных соответствует параллельный перенос системы координат, при котором начало системы координат переходит в точку с координатами ( aa11, 0). В новой системе координат

–  –  –

геометрическим образом которого является пара параллельных прямых y = a и y = a.

Если D = 0, то уравнение (18) имеет вид y 2 = 0 и определяет пару F совпавших прямых.

F Наконец, если D 0, то уравнение (18) не имеет решений, и потому его геометрическим образом является пустое множество.

Мы завершили разбор всех возможных случаев и подслучаев. Как видим, в процессе этого разбора возникли все восемь видов квадрик, упомянутых в формулировке теоремы, и не возникло никаких других. Теорема полностью доказана.

–  –  –





Похожие работы:

«А.П. Стахов ПОЧЕМУ ЗОЛОТЫЕ Р-СЕЧЕНИЯ И "МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ПРОПОРЦИИ" ПРЕДСТАВЛЯЮТ НАИБОЛЬШИЙ ИНТЕРЕС ДЛЯ РАЗВИТИЯ "МАТЕМАТИКИ ГАРМОНИИ"?1. Введение Существуют различные критерии для оценки результативности то...»

«Презентация О.А.Катуниной "Физика – это наука понимать природу". Эдвард Роджерс Цели урока: Обучающая: Сформировать знания учащихся об архимедовой силе, умение выводить формулу, выражающую зависимость выталкивающей силы...»

«ПЕРСПЕКТИВНАЯ НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА Р.Г. ЧУРАКОВА, Г.В. ЯНЫЧЕВА МАТЕМАТИКА 4 КЛАСС Поурочное планирование методов и приемов индивидуального подхода к учащимся в условиях формирования УУД Часть 2 Москва Академкнига/Уч...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ БИОФИЗИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ТЕЗИСЫ КОНКУРСА-КОНФЕРЕНЦИИ МОЛОДЫХ УЧЁНЫХ И АСПИРАНТОВ 29 марта 2016 г. Красноярск ПРОГРАММА НАУЧНОЙ СЕССИИ МОЛОДЫХ УЧЁНЫХ И АСПИРАНТОВ ИБФ СО РАН...»

«УДК 016:53+53(470+571)(092)Кузнецов С.Н. ББК 22.3д(2) Кузнецов С.Н.+22.3я434 Кузнецов С.Н. К89 Главный редактор: профессор М. И. Панасюк Редколлегия: профессор Л. Л. Лазутин, к. ф.-м. н. Ю. В. Гоцелюк, к. ф.-м. н. Б. Ю. Юшков Кузнецов С. Н. К89 Избранные тру...»

«VII Всероссийское литологическое совещание 28-31 октября 2013 МИНЕРАЛОГО-ГЕОХИМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СОВРЕМЕННЫХ ОСАДКОВ МАЛЫХ ОЗЕР СИБИРИ В.Д. Страховенко, Ю.С. Восель Институт геологии и минералогии им. В.С. Соболева СО РАН, Новосибирск, strahova@igm.nsc.ru Озера составляют неотъемлем...»

«МЕТОДИКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ГИДРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КОМПЛЕКТ МЕТОДИК ПО ГИДРОХИМИЧЕСКОМУ КОНТРОЛЮ АКТИВНОГО ИЛА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССОВОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ АКТИВНОГО ИЛА, ИЛОВОГО ИНДЕКСА, ЗОЛЬНОСТИ СЫРОГО ОСАДКА, АКТИ...»

«VII Всероссийское литологическое совещание 28-31 октября 2013 ЛИТОЛОГО-ФАЦИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРИАСОВЫХ ОТЛОЖЕНИЙ КРЯЖА ПРОНЧИЩЕВА (СРЕДНЯЯ СИБИРЬ) А.Ю. Попов, Е.С. Соболев, А.В. Ядренкин Институт нефтегазовой геологии и геофизики и...»

«98 Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1 (22), том 12, 2015, с. 98-123 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ В ИЗУЧЕНИИ ОРГАНИЗМА КАК ГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗОНАНСОВ С.В. Петухов Института машиноведения РАН, Москва, Россия spetoukhov@gmail.com Статья посвящена новому модельному подходу к изучению роли волновых и в...»

«Экспериментальные и экспедиционные исследования УДК 551.35 К.И. Гуров, Е.И. Овсяный, Е.А. Котельянец, С.К. Коновалов Геохимические характеристики донных отложений акватории Каламитского залива Черного моря Рассмотрены основные геохимические характеристики (влажность, гранулометрический состав, содержание органич...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.