WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Вступительные замечания Данная лекция по своему характеру аналогична ...»

Лекция 16: Классификация квадрик в

пространстве

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук,

кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Вступительные замечания

Данная лекция по своему характеру аналогична лекции 13. В предыдущих

двух лекциях мы рассмотрели девять типов поверхностей второго порядка

эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры, конус,

эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Цель данной лекции указать все существующие типы таких поверхностей. Как мы увидим, кроме девяти только что указанных, существуют лишь несколько вырожденных квадрик в пространстве, некоторые из которых вообще трудно считать поверхностями в общепринятом смысле этого слова.

Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Определение квадрики в пространстве Определение Квадрикой в пространстве (или поверхностью второго порядка) называется множество всех точек пространства, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2-го порядка с тремя неизвестными, т. е. уравнению вида a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz+ (1) + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0, где по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a13 и a23 отличен от нуля.

Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Примеры квадрик в пространстве Примерами квадрик в пространстве являются эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры, конус, эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Рассмотрим еще несколько уравнений вида (1) и выясним, какие квадрики они задают.



1 x 2 y 2 = 0. Это уравнение задает пару пересекающихся плоскостей с уравнениями x y = 0 и x + y = 0.

2 x 2 1 = 0. Это уравнение задает пару параллельных плоскостей с уравнениями x 1 = 0 и x + 1 = 0.

3 x 2 = 0. Это уравнение, очевидно, равносильно уравнению x = 0 и потому задает плоскость. В теории квадрик в пространстве квадрику такого типа принято называть парой совпавших плоскостей. Этот термин объясняется так же, как термин пара совпавших прямых в теории квадрик на плоскости (см. лекцию 13).

4 x 2 + y 2 = 0. Это уравнение равносильно равенствам x = y = 0 и потому задает в пространстве прямую (ось аппликат).

5 x 2 + y 2 + z 2 = 0. Это уравнение равносильно равенствам x = y = z = 0 и потому задает в пространстве точку (начало координат).

6 x 2 + 1 = 0. Точек, координаты которых удовлетворяли бы этому уравнению, не существует. Поэтому его геометрическим образом является пустое множество.

Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Классификационная теорема Оказывается, что никаких других квадрик, кроме упомянутых на предыдущем слайде, не существует. А именно, справедлива следующая Теорема 1 Всякая квадрика в пространстве является или цилиндром (эллиптическим, гиперболическим или параболическим), или конусом, или эллипсоидом, или гиперболоидом (однополостным или двуполостным), или параболоидом (эллиптическим или параболическим), или парой плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпавших), или прямой, или точкой, или пустым множеством.

Для того, чтобы дать полное доказательство этой теоремы, необходимы некоторые понятия и теоремы из курса линейной алгебры. Поэтому мы примем без доказательства следующее утверждение и будем доказывать теорему 1 по модулю этого утверждения.

Утверждение Для произвольной квадрики в пространстве существует система координат, в которой эта квадрика имеет уравнение вида (1) такое, что a12 = a13 = a23 = 0, а по крайней мере один из коэффициентов a11, a22 и a33 отличен от нуля.

–  –  –

(геометрически ей соответствует сдвиг вдоль оси Ox), мы получим уравнение a11 (x )2 + a22 (y )2 + a33 (z )2 + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0, не содержащее линейного слагаемого по x. Аналогично, если a22 = 0 [соответственно a33 = 0], то сдвигом вдоль оси Oy [соответственно Oz] можно избавиться от линейного слагаемого по y [соответственно по z].

Б.М.Верников Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Доказательство классификационной теоремы: редукция к трем случаям (2) Таким образом, можно считать, что если в уравнении (2) отличен от нуля коэффициент при квадрате некоторой неизвестной, то в нем нет линейного слагаемого по той же неизвестной.

Если в (2) все три коэффициента при квадратах неизвестных отличны от 0, то мы пришли к уравнению вида

–  –  –

Если в (2) отличны от 0 ровно два коэффициента при квадратах неизвестных, то, сделав при необходимости соответствующую замену неизвестных, мы получим уравнение вида

–  –  –

Предположим, наконец, что в (2) отличен от 0 ровно один коэффициент при квадрате неизвестной. Можно считать, что этим коэффициентом является a22 (в противном случае можно сделать соответствующую замену неизвестных). Таким образом, уравнение квадрики имеет вид

–  –  –

Случай 1: квадрика задается уравнением вида (3). Здесь возможны два подслучая.

Подслучай 1.1: D = 0. Ясно, что в этом случае уравнение (3) можно переписать в виде

–  –  –



Похожие работы:

«СОДЕРЖАНИЕ стр.1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ 5 ДИСЦИПЛИНЫ 2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ 5 ДИСЦИПЛИНЫ 3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАБОЧЕЙ 8 ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ 8 ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИП...»

«А.П. Стахов ПОЧЕМУ ЗОЛОТЫЕ Р-СЕЧЕНИЯ И "МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ПРОПОРЦИИ" ПРЕДСТАВЛЯЮТ НАИБОЛЬШИЙ ИНТЕРЕС ДЛЯ РАЗВИТИЯ "МАТЕМАТИКИ ГАРМОНИИ"?1. Введение Существуют различные критерии для оценки результативности того или иного математического результата. Пуанкаре называл изящным математическо...»

«С.Л. Василенко Базовое тождество математических основ гармонии Светлой памяти Л.Эйлера и М.Марутаева Мне известно, что мне ничего не известно, – Вот последний секрет из постигнутых м...»

«XJ0200037 Письма в ЭЧАЯ. 2001. №4[107] Particles and Nuclei, Letters. 2001. No.4[107] УДК 615.07, 543 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЯ ЙОДИРОВАННЫХ ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ ПРЕПАРАТОВ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МИКРОВОДОРОСЛИ SPIRULINA PLATENSIS С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯДЕРНО-ФИЗИ...»

«А.П. Стахов Проблемы Гильберта и "математика гармонии" Введение В лекции "Математические проблемы, представленной на 2-м Международном конгрессе математиков (Париж, 1900), выдающийся математик Давид Гильберт (1862-1943) сформулировал...»

«Пояснительная записка Рабочая программа по химии для 10 класса (профильный уровень) составлена в полном соответствии с Федеральным компонентом Государственного стандарта среднего общего образования, на основании Примерной учебной программы среднего общего образования по химии...»

«Алексей Стахов и Иван Райлян "Идея Гармонии" как связующее звено между философией и математикой. Путь сквозь тысячелетия от Гермеса, Хеси-Ра, Пифагора, Платона, Евклида до современной "Математики Гармонии". То ли Пифагор говорит языком Гермеса, то ли Гермес языком Пифагора Иоганн Кеплер Математика владеет не только истино...»

«УДК 546.41-39 ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ПЕРОКСИДА КАЛЬЦИЯ Н.Ф. Гладышев1, Т.В. Гладышева1, Н.Ц. Гатапова2, Е.В. Соломоненко1,2 ОАО "Корпорация "Росхимзащита", г. Тамбов (1); кафедра "Химическая инженерия", ГОУ ВПО "ТГТУ" (2); postmaster@gnzpri.tstu.ru Ключевые слова и фразы: гидроксид каль...»

«Каф. Химии и биосинтеза Внимание!!! Для РУПа из списка основной литературы нужно выбрать от 1 до 5 названий. Дополнительная литература до 10 названий. Если Вы обнаружите, что подобранная литература не соответствует содержанию дисциплины, обязательно сообщите в библиотеку по тел. 62-16или электронной поч...»










 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.