WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 

«Ключевые слова: алгебраическая система, уравнение, алгебраическое множество, радикал, координатная алгебра, топология Зариского, ...»

Алгебраическая геометрия

над алгебраическими системами. II. Основания

Э. Ю. ДАНИЯРОВА

Омский филиал

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

e-mail: evelina.omsk@list.ru

А. Г. МЯСНИКОВ

Технологический институт Стивенса, США

e-mail: amiasnikov@gmail.com

В. Н. РЕМЕСЛЕННИКОВ

Омский филиал

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

e-mail: remesl@ofim.oscsbras.ru

УДК 512.57+512.7

Ключевые слова: алгебраическая система, уравнение, алгебраическое множество,

радикал, координатная алгебра, топология Зариского, неприводимое множество, универсальное замыкание, квазимногообразие, полный атомарный тип.

Аннотация В этой работе мы вводим элементы алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой и доказываем так называемые объединяющие теоремы, доставляющие описание координатных алгебр алгебраических множеств несколькими способами.

Abstract E. Yu. Daniyarova, A. G. Myasnikov, V. N. Remeslennikov, Algebraic geometry over algebraic structures. II. Foundations, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 17 (2011/2012), no. 1, pp. 65—106.

In this paper, we introduce elements of algebraic geometry over an arbitrary algebraic structure. We prove so-called unification theorems which describe coordinate algebras of algebraic sets in several different ways.

1. Введение Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы A можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над A. В классическом случае, когда A является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией. Естественно расширить это название и на случай произвольной алгебраической системы A.



Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, том 17, № 1, с. 65—106.

c 2011/2012 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

66 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами — это новое направление исследований в современной алгебре. Тем не менее здесь уже получен ряд очень хороших результатов для конкретных алгебраических систем, что привело к интересному развитию общей теории.

На сегодняшний день наибольшее развитие получила алгебраическая геометрия над группами. Самый яркий успех здесь — это решение основной проблемы алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы. Классификация координатных групп дана на языке свободных конструкций. Этот результат достигнут благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [59], К. И. Аппеля [31], Р. Брайнта [35], Г. С. Маканина [13], А. А. Разборова [17, 70], Р. И. Григорчука и П. Ф. Курчанова [46], З. Селы [74—76], А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова, Д. Е. Сербина [18,63,65].

Завершающий результат был получен в замечательных работах А. Г. Мясникова и О. Г. Харлампович [54—57].

Достаточно серьёзные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах [19—22, 24, 40, 71, 72]. Алгебраическая геометрия над разрешимыми группами является предметом свежих и перспективных математических исследований [2, 25, 66]. В последние несколько лет идёт успешное изучение алгебраической геометрии над частично коммутативными группами [3, 16, 26, 36—38].

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами развивается и за пределами класса групп. Так, неплохие результаты были получены в алгебраической геометрии над коммутативными моноидами с сокращениями [30, 62, 77].

Определённый прогресс есть и в алгебраической геометрии над неассоциативными алгебрами, а именно над алгебрами Ли [4, 6—8, 11, 23, 28, 73], над антикоммутативными алгебрами [10].

Отметим, что существует огромное количество работ по решению конкретных уравнений в конкретных алгебрах. Мы не ставим перед собой цель обозрения всех этих статей и приводим здесь только те работы, которые наиболее наглядно демонстрируют потребность введения алгебраической геометрии над алгебраическими системами.

Накопленный к настоящему времени материал анализа структур алгебраических множеств и координатных алгебр над конкретными алгебраическими системами (группами, кольцами, алгебрами и т. д.) потребовал теоретического осмысления. Есть общие закономерности алгебраической геометрии вне зависимости от выбора конкретной алгебраической системы A. Багаж этих общих закономерностей мы называем универсальной алгебраической геометрией. Исследования по этому направлению были начаты серией статей и препринтов Б. И. Плоткина [67—69] и Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, О. Г. Харлампович, В. Н. Ремесленникова [33, 54, 55, 64].

Итак, универсальная алгебраическая геометрия — это, во-первых, перенос основных понятий и идей с алгебраической геометрии над конкретными алгебраическими системами на случай произвольной алгебраической системы; во-втоАлгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания рых, это формулировка общих результатов и доказательство их без использования специфики конкретных алгебраических систем; в-третьих, это последующее развитие общей теории, решение задач, которые естественно возникают на этом пути. Можно указать ряд статей, в которых доказываются алгебро-геометрические результаты для конкретных алгебраических систем; соответствующие доказательства используют приёмы и свойства, характерные для этих алгебраических систем. Универсальная алгебраическая геометрия предоставляет стандартные и универсальные средства доказательства таких результатов, опираясь только на аппарат универсальной алгебры и теории моделей.

Данная статья является второй в нашей серии работ по универсальной алгебраической геометрии. В первой статье этой серии [42] мы вводим базовый материал универсальной алгебры и теории моделей в той мере, в которой это необходимо для универсальной алгебраической геометрии, и показываем, как известные теоретико-модельные понятия и идеи работают в универсальной алгебраической геометрии. Чтение этой статьи предполагает знакомство с предыдущей работой [42], однако для удобства читателей мы приводим здесь некоторые основные определения и обозначения работы [42] (см. раздел 2).

Основной задачей работы [42] было доказательство так называемых объединяющих теорем (теорема A и теорема B). Эти теоремы доставляют описание координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств несколькими способами. Отметим, что, следуя Р. Хартсхорну [27], в статьях мы предполагаем, что все неприводимые алгебраические множества непустые.

Теорема A. Пусть A — нётерова по уравнениям алгебраическая система языка L.

Тогда для любой конечно порождённой алгебраической системы C языка L следующие условия эквивалентны:

Th (A) Th (C), т. е. C Ucl(A);

1) Th (A) Th (C);

2) C вкладывается в некоторую ультрастепень алгебраической системы A;

3) C дискриминируется алгебраической системой A;

4) C является предельной алгебраической системой над A;

5) C является алгебраической системой, определённой с помощью полного 6) атомарного типа теории Th (A) языка L;

7) C является координатной алгеброй некоторого неприводимого алгебраического множества над A, определённого системой уравнений языка L.

Данную статью мы начинаем с детального изложения основ универсальной алгебраической геометрии.

В разделе 3 мы вводим базовые понятия алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой A, а именно:

понятие уравнения над A, алгебраического множества над A, радикала, координатной алгебры, топологии Зариского, понятия неприводимых множеств и нётеровых по уравнениям алгебр.

Основными результатами этой статьи являются следующие две теоремы.

68 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Теорема 5.6.

Категория AS(A) алгебраических множеств над алгебраической системой A дуально эквивалентна категории CA(A) координатных алгебр алгебраических множеств над A.

Теорема C. Пусть A — нётерова по уравнениям алгебраическая система языка L.

Тогда для любой конечно порождённой алгебраической системы C языка L следующие условия эквивалентны:

C Qvar(A), т. е. Thqi (A) Thqi (C);

1) C Pvar(A);

2) C вкладывается в некоторую прямую степень алгебраической системы A;





3) C аппроксимируется алгебраической системой A;

4) C является подпрямым произведением конечного числа предельных алгебраических систем над A;

6) C является алгебраической системой, определённой полным атомарным типом теории Thqi (A) языка L;

7) C является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над A, определённого системой уравнений языка L.

Теорема C продолжает серию объединяющих теорем алгебраической геометрии, открытую работой [42]. Теорема A даёт описание координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств. В классической алгебраической геометрии над полем неприводимые алгебраические множества определяют всю картину. В общем же случае, в алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой A, это, вообще говоря, не так, поэтому необходимо также описание всех алгебраических множеств и их координатных алгебр — и здесь полезна теорема C.

Отметим, что пункты 5) в обеих теоремах A и C предоставляют описание координатных алгебр с помощью предельных алгебраических систем. Предельные алгебраические системы (особенно предельные группы) выступают объектом интенсивного изучения современной алгебры [39, 45, 47—50, 52]. Определения предельной алгебраической системы и алгебраической системы, определённой полным атомарным типом, громоздки; чтобы их дать, потребуется обширное введение, поэтому мы пропустим их в данной работе, отсылая читателей к [42, § 4.2 и 5.1].

В предыдущей [42] и этой статьях мы всюду предполагаем, что язык L является функциональным, т. е. не содержит предикатов. Это ограничение не является принципиальным: все доказанные здесь результаты верны и для случая произвольной сигнатуры. Однако наличие в сигнатуре предикатов усложняет определения всех тех понятий, которые мы вводим, увеличивает размер статьи, требует от читателей большей подготовки. Ситуация с произвольной сигнатурой будет описана в дополнении к этой статье.

Итак, в нашей работе мы закладываем фундамент универсальной алгебраической геометрии. Представленный нами материал можно рассматривать как путеводитель для исследований алгебраической геометрии над конкретными Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания алгебраическими системами. В разделе 7 этой статьи мы формулируем несколько открытых проблем и задач в алгебраической геометрии над свободным моноидом, свободной алгеброй Ли и свободной ассоциативной алгеброй. Перед применением аппарата универсальной алгебраической геометрии к конкретной группе, кольцу, моноиду и т. п. мы советуем обратить внимание на следующее замечание.

В алгебраической геометрии над конкретными алгебраическими системами выделяют три различных сегмента:

1) бескоэффициентная алгебраическая геометрия;

2) диофантова алгебраическая геометрия;

3) алгебраическая геометрия с коэффициентами в алгебраической системе A и поиском решений в некотором расширении A B (как правило, в некоторой насыщенной модели).

При изложении основ алгебраической геометрии над группами в [33, 64] авторы выбрали специальный подход к подаче материала: в этих работах речь идёт об алгебраической геометрии над группой H с коэффициентами в группе G, H. На этом пути естественно возникают понятия G-группы, G-гомоG морфизма, G-формулы и т. д. Очевидно, что такой подход удобен, поскольку он охватывает все упомянутые выше сегменты алгебраической геометрии над группами: для бескоэффициентного случая достаточно взять G = 1, для диофантова — выбрать G = H. Аналогичная ситуация имеет место и в алгебраической геометрии над алгебрами Ли [5], моноидами, кольцами и т. д. При этом для полугрупп и других алгебр без тривиальных подалгебр такой «универсальный»

подход не сработает. В то же время универсальная алгебраическая геометрия предоставляет инструмент для анализа всех трёх отмеченных выше сегментов алгебраической геометрии с помощью одной универсальной техники: достаточно лишь выбрать базовый язык L подходящим образом. Например, изучая бескоэффициентную алгебраическую геометрию над полугруппой G, следует выбрать язык L = {·}. Для изучения диофантовой алгебраической геометрии над G естественно принять расширенный язык LG в качестве базового (определение языка LG см. в разделе 2). Аналогично для построения алгебраической геометрии над полугруппой H с коэффициентами в G, G H, сигнатура LG подходит столь же хорошо.

Математическая логика, теория моделей и универсальная алгебра составляют фундамент универсальной алгебраической геометрии. По этой причине важнейшая роль базового языка L в универсальной алгебраической геометрии совершенно естественна: все определения, которые мы даём, зависят от языка L. В самом деле, когда мы говорим об алгебраической системе, формуле, теории и т. п., предполагается, что зафиксирован некоторый язык L, поэтому недоразумений не возникает. Таким образом, применяя понятия и результаты универсальной алгебраической геометрии к конкретным алгебраическим системам (например, группам, моноидам, алгебрам и т. д.), необходимо указать язык, в котором данная группа (моноид, алгебра и т. д.) рассматривается.

70 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников

2. Предварительные сведения В этом разделе приводятся основные теоретико-модельные обозначения, которыми мы будем пользоваться в данной статье; более развёрнутую информацию можно найти в [1, 42, 60].

Пусть L — язык исчисления предикатов первого порядка (или сигнатура).

Мы всюду предполагаем, что язык L не содержит предикатов, т. е. в него входят только функциональные символы и символы констант. Пусть X = = {x1, x2,..., xn } — конечное множество переменных, TL (X) — множество всех термов языка L с переменными из X, TL (X) — абсолютно свободная L-алгебра (или термальная алгебра) с базой X и AtL (X) — множество всех атомарных формул языка L с переменными из X.

Обычно мы обозначаем алгебраические системы языка L заглавными каллиграфическими буквами A, B, C,..., а их множества-носители — соответствующими заглавными латинскими буквами A, B, C,.... Алгебраические системы языка без предикатов называются алгебрами (или универсальными алгебрами).

В этой работе мы будем пользоваться несколькими операторами, которые переводят произвольный класс L-алгебр K в новый класс L-алгебр.

Для удобства приведём здесь полный список всех задействованных в статье операторов:

S(K) — класс подалгебр алгебр из K;

P(K) — класс прямых произведений алгебр из K;

P (K) — класс конечных прямых произведений алгебр из K;

Ps (K) — класс подпрямых произведений алгебр из K;

Pf (K) — класс фильтрованных произведений алгебр из K;

Pu (K) — класс ультрапроизведений алгебр из K;

(K) — класс прямых пределов алгебр из K;

L s (K) — класс надпрямых пределов алгебр из K;

L Lfg (K) — класс алгебр, все конечно порождённые подалгебры которых принадлежат K;

Pvar(K) — наименьшее предмногообразие, содержащее K;

Qvar(K) — наименьшее квазимногообразие, содержащее K, т. е.

Qvar(K) = Mod Thqi (K) ;

Ucl(K) — универсальное замыкание класса K, т. е.

Ucl(K) = Mod Th (K) ;

Res(K) — класс алгебр, аппроксимируемых классом K;

Dis(K) — класс алгебр, дискриминируемых классом K;

Ke — присоединение тривиальной (единичной, одноэлементной) алгебры E к классу K, т. е.

Ke = K {E};

K — класс конечно порождённых алгебр класса K.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Здесь мы обозначаем через Thqi (K) (Th (K), Th (K)) множество всех квазитождеств (соответственно универсальных предложений, экзистенциальных предложений), истинных на всех алгебрах класса K.

Для любого класса K алгебр языка L имеем Dis(K) Ucl(K) = SPu (K) Qvar(K), Dis(K) Res(K) = SP(K) = Pvar(K) Qvar(K).

Следуя В. А. Горбунову [1] и в противоположность [42], мы будем считать, что прямое произведение алгебр с пустым множеством индексов совпадает с тривиальной L-алгеброй E. В частности, E P(K), E P (K), E Ps (K) для любого класса L-алгебр K. Однако, естественно, при определении фильтрованных произведений предполагается, что множество индексов непусто!

Напомним определения аппроксимируемости и дискриминируемости.

Определение 2.1. L-алгебра C аппроксимируется классом L-алгебр K, если для любой пары неравных элементов c1, c2 C найдётся такой гомоморфизм h : C B в алгебру B K, что h(c1 ) = h(c2 ).

Определение 2.2. L-алгебра C дискриминируется классом K, если для любого конечного множества W элементов из C найдётся гомоморфизм h : C B для некоторой алгебры B K, ограничение которого на W инъективно.

Если C аппроксимируется (дискриминируется) классом K = {B}, то говорят просто, что C аппроксимируется (дискриминируется) алгеброй B. Отметим, что в определениях аппроксимируемости и дискриминируемости мы не требуем, чтобы гомоморфизм h был эпиморфизмом. Как следует из определений, тривиальная алгебра E аппроксимируется классом K в любом случае и E дискриминируется классом K только тогда, когда существует гомоморфизм h : E B в некоторую алгебру B K, что означает, что алгебра B обладает тривиальной подалгеброй. Это позволяет сохранить включение Dis(K) Ucl(K) и равенство Res(K) = SP(K) в привычном виде.

Объединяющая теорема A была доказана в [42] для нётеровых по уравнениям алгебр, однако следующий далее фрагмент этой теоремы справедлив и в общем случае.

Предложение 2.3 [42]. Пусть A — алгебра языка L. Тогда для любой конечно порождённой L-алгебры C следующие условия эквивалентны:

— Th (A) Th (C), т. е. C Ucl(A);

— Th (A) Th (C);

— C вкладывается в некоторую ультрастепень алгебры A;

— C является предельной алгеброй над A;

— C является алгеброй, определённой полным атомарным типом теории Th (A) языка L.

Для L-алгебры A мы обозначаем через LA = L {ca | a A} язык L, расширенный с помощью элементов алгебры A, добавленных в L в качестве новых константных символов.

72 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Алгебра B языка LA называется A-алгеброй, если B |= Diag(A). Это означает, что A вкладывается в B и соответствующее вложение : A B зафиксировано. Напомним, что диаграмма Diag(A) алгебры A — это множество всех истинных в A атомарных предложений из AtLA () или их отрицаний.

Пусть B и C — A-алгебры и h : B C — LA -гомоморфизм. В этом случае h также называют A-гомоморфизмом. Аналогично определяется A-аппроксимация и A-дискриминация. Предмногообразие, порождённое алгеброй B в языке LA, мы обозначаем через PvarA (B), квазимногообразие — через QvarA (B) и универсальное замыкание — через UclA (B). Такие обозначения особенно удобны в случае, когда B = A, ведь здесь необходимо различать A как L-алгебру и A как LA -алгебру. Соответственно, например, приходится уточнять, с каким классом мы имеем дело: с Ucl(A) или UclA (A).

3. Элементы алгебраической геометрии Пусть L — функциональный язык и A — алгебра языка L.

В этом разделе мы вводим базовые понятия универсальной алгебраической геометрии: уравнение языка L, алгебраическое множество над алгеброй A, радикал, координатная алгебра, топология Зариского, неприводимое множество, нётерова по уравнениям алгебра.

3.1. Уравнения и алгебраические множества Пусть X = {x1,..., xn } — конечное множество переменных.

Определение 3.1. Атомарные формулы множества AtL (X) мы называем уравнениями языка L с переменными из X. Любое подмножество S AtL (X) мы называем системой уравнений языка L.

Иногда, чтобы отметить уравнения как формулы языка L, их называют бескоэффициентными уравнениями; при этом в случае, когда основной язык — это LA, уравнения называются уравнениями с коэффициентами в алгебре A или A-уравнениями.

Изучение решений уравнений и систем уравнений в алгебре A, т. е. поиск их решений в A, называется алгебраической геометрией над алгеброй A.

Алгебраическая геометрия над алгеброй A в языке LA называется диофантовой. Если B — A-алгебра, то изучение алгебраической геометрии над B как над LA -алгеброй называется алгебраической геометрией над алгеброй B с коэффициентами в алгебре A.

Множество An = {(a1,..., an ) | ai A} мы называем аффинным n-мерным пространством над алгеброй A, а его элементы — точками. Точка p = (a1,..., an ) An называется корнем (решением) уравнения (t1 = t2 ), t1, t2 TL (X), если A |= (t1 = t2 ) при интерпретации Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания xi ai, i = 1, n. Точка p является решением системы уравнений S AtL (X), если она является корнем каждого уравнения из S.

Определение 3.2. Пусть S — система уравнений языка L с переменными из X.

Множество всех решений системы S в аффинном n-мерном пространстве An мы обозначаем через VA (S) (или для краткости V(S)):

VA (S) = {(a1,..., an ) An | tA (a1,..., an ) = tA (a1,..., an ) (t1 = t2 ) S}.

–  –  –

Если F — свободная конечно порождённая группа, то существует эффективный алгоритм вычисления стабилизатора St(w) любого тестового элемента w F [61]. Следовательно, существует эффективный алгоритм нахождения всех решений уравнения (1).

В частности, стабилизатор St(w) коммутатора w = [a1, a2 ] в группе F = = a1, a2 изоморфен свободной группе ранга 2. В самом деле, St(w) = tr1, tr2, где tr1 — такой автоморфизм группы F, что a1 a2 a1, a2 a2, и tr2 — такой автоморфизм группы F, что a1 a1, a2 a1 a2.

Пример 3.5.

Пусть L — свободная конечно порождённая алгебра Ли над полем k. Алгебраическое множество Y мы называем ограниченным, если оно содержится в некотором конечномерном линейном подпространстве k-линейного пространства Ln. Ограниченные алгебраические множества над L были классифицированы в [11]. Любое конечномерное подпространство в алгебре L доставляет простейший пример ограниченного алгебраического множества. Для линейного подпространства W в L с базисом v1,..., vm имеем s1 (x) = [x, v1 ], s2 (x) = [x, v1 ], [v2, v1 ],..., sm (x) = [sm1 (x), sm1 (vm )], V(sm ) = W.

Здесь W — это алгебраическое множество, соответствующее уравнению от одной переменной x. Аналогичные алгебраические множества для систем уравнений от n переменных мы назвали n-параллелепипедами. Под n-параллелепипедом W мы понимаем декартово произведение n конечномерных линейных подпространств W1,..., Wn алгебры L: W = W1... Wn. Размерность n-параллелепипеда W по определению есть dim(W) = dim(W1 ) +... + dim(Wn ).

Алгебраическое множество Y Ln называется ограниченным n-параллелепипедом W, если Y W.

Теорема [11]. Пусть W — n-параллелепипед над свободной конечно порождённой алгеброй Ли L над полем k. Алгебраические множества над L, ограниченные параллелепипедом W, находятся во взаимно-однозначном соответствии с алгебраическими множествами над основным полем k, определёнными системами уравнений от dim(W) переменных.

В [73] было показано, что решение уравнения [x, a] + [y, b] = 0 (a, b L, [a, b] = 0) над алгеброй L устроено сложно и не является ограниченным множеством. Однако это же самое уравнение решается довольно просто над свободной антикоммутативной алгеброй A; соответствующее алгебраическое множество над A является ограниченным [10].

Пример 3.6.

Алгебраическая система MR = R; max, min, ·, +,, 0, 1 с естественной интерпретацией символов сигнатуры на множестве R является примером так называемых минимаксных систем.

Теорема [12]. Множество Y Rn является алгебраическим над MR тогда и только тогда, когда оно замкнуто в топологии, индуцированной евклидовой метрикой на Rn.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Следующие две леммы будут полезны в дальнейшем; они устанавливают свойства сохранения эквивалентности систем уравнений при переходе от алгебры A к её прямым и фильтрованным степеням.

Лемма 3.7.

Пусть A — L-алгебра и C — подалгебра некоторой прямой степени алгебры A. Тогда для любых систем уравнений S1, S2 AtL (X) условие S1 A S2 влечёт S1 C S2.

–  –  –

Лемма 3.8.

Пусть A — L-алгебра и C — подалгебра некоторой фильтрованной степени алгебры A. Тогда для любой системы уравнений S AtL (X) и любой конечной подсистемы S0 S условие S A S0 влечёт S C S0.

–  –  –

3.2. Радикалы С каждым алгебраическим множеством Y мы связываем два важнейших объекта: его радикал Rad(Y ) и координатную алгебру (Y ). В этом разделе речь пойдёт о радикалах, а в следующем — о координатных алгебрах.

Определение 3.9. Пусть Y An — произвольное подмножество. Радикалом множества Y мы называем следующее подмножество атомарных формул из

AtL (x1,..., xn ):

Rad(Y ) = {(t1 = t2 ) | tA (a1,..., an ) = tA (a1,..., an ) (a1,..., an ) Y }.

76 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Радикал Rad(Y ) алгебраического множества Y однозначно определяет это множество, т. е. два алгебраических множества Y1 и Y2 совпадают тогда и только тогда, когда Rad(Y1 ) = Rad(Y2 ) (см. лемму 3.11).

Радикалом системы уравнений S AtL (X) над L-алгеброй A мы называем множество Rad VA (S) и обозначаем его через RadA (S) (или коротко Rad(S)). Атомарные формулы из RadA (S) называются следствиями системы уравнений S над A. Так, атомарная формула (t1 = t2 ) является следствием S над A тогда и только тогда, когда V(S) V({t1 = t2 }), т. е. S {t1 = t2 } A S.

Другими словами, Rad(S) — это максимальная система уравнений, эквивалентная S. Радикал несовместной системы S совпадает с AtL (X).

Через [S] мы обозначаем конгруэнтное замыкание системы S, т. е. наименьшее конгруэнтное подмножество в AtL (X), содержащее S [42]. Очевидно, что [S] Rad(S).

Определение 3.10. Подмножество S AtL (X) мы называем радикальным идеалом над A, если S = RadA (Y ) для некоторого Y An.

Можно рассматривать Rad и V в качестве операторов. Так, Rad — это оператор вычисления радикалов множеств Y An, а V — оператор вычисления алгебраических множеств для систем уравнений S AtL (X). В следующей лемме собраны элементарные свойства таких операторов.

Лемма 3.11.

Справедливы следующие утверждения.

1. Подмножество Y An является алгебраическим над A тогда и только тогда, когда Y = VA Rad(Y ).

2. Подмножество S AtL (X) является радикальным идеалом над A тогда и только тогда, когда S = RadA (S).

3. Для любых множеств Y1, Y2 An имеем Y1 Y2 = Rad(Y1 ) Rad(Y2 ).

4. Для любых систем уравнений S1, S2 AtL (X) имеем S1 S2 = V(S1 ) V(S2 ) = Rad(S1 ) Rad(S2 ).

5. Для любых алгебраических множеств Y1, Y2 An имеем Y1 = Y2 Rad(Y1 ) = Rad(Y2 ).

6. Для любого семейства множеств {Yi An, i I} имеем

–  –  –

3.3. Координатные алгебры Пусть S AtL (X) — система уравнений и Y = VA (S) — соответствующее ей алгебраическое множество. Нетрудно заметить, что радикал Rad(Y ) является конгруэнтным множеством атомарных формул. Следовательно, он определяет конгруэнцию Rad(Y ) на абсолютно свободной L-алгебре TL (X) [42]:

t1 Rad(Y ) t2 (t1 = t2 ) Rad(Y ), t1, t2 TL (X).

Определение 3.13. Мы называем L-алгебру (Y ) = TL (X)/Rad(Y ) координатной алгеброй алгебраического множества Y.

При Y = VA (S) координатную алгебру (Y ) мы также называем координатной алгеброй системы уравнений S над алгеброй A и пишем A (S) (или (S)).

Если S A AtL (X), то (S) — это тривиальная алгебра E. Условие S A AtL (X) выполняется, например, для несовместной над A системы S.

Определение 3.14. Мы говорим, что L-алгебра C есть координатная алгебра над L-алгеброй A, если C (Y ) для некоторого алгебраического множества Y над A.

Одной из основных задач алгебраической геометрии над данной алгеброй A является описание алгебраических множеств над A с точностью до изоморфизма (определение изоморфизма алгебраических множеств см. в разделе 5.1). Мы покажем, что эта задача имеет две эквивалентные формы: проблема классификации радикалов и проблема классификации координатных алгебр над A.

В то время как любое алгебраическое множество по своему радикалу восстанавливается единственным образом, по своей координатной алгебре оно может 78 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников быть восстановлено только с точностью до изоморфизма. Следующий результат даёт описание алгебраических множеств на языке множеств гомоморфизмов. Он показывает, как именно можно восстановить алгебраическое множество по его координатной алгебре.

Лемма 3.15.

Пусть Y — непустое алгебраическое множество над L-алгеброй A. Тогда точки из Y находятся во взаимно-однозначном соответствии с L-гомоморфизмами из Hom((Y ), A).

Доказательство. Всякий гомоморфизм h : TL (X)/Rad(Y ) A однозначно определяется заданием образов для порождающих элементов xi /Rad(Y ), i = = 1, n, т. е. h определяется точкой (a1,..., an ) An с условием tA (a1,..., an ) = = tA (a1,..., an ) для всех (t1 = t2 ) Rad(Y ). Очевидно, что множество всех подходящих точек (a1,..., an ) в точности совпадает с Y.

Следствие 3.16. Точки непустого алгебраического множества Y над A-алгеброй B находятся во взаимно-однозначном соответствии с A-гомоморфизмами из HomA ((Y ), B).

В классической алгебраической геометрии над полем координатные кольца рассматривают как кольца регулярных (полиномиальных) функций. Покажем, что аналогичная идея может быть реализована и в универсальной алгебраической геометрии.

Определение 3.17. Пусть Y An — непустое алгебраическое множество и t TL (X) — терм. Функцию tY : Y A, определённую правилом tY (p) = tA (a1,..., an ), p = (a1,..., an ), p Y, будем называть термальной функцией на Y. Множество T(Y ) всех термальных функций на Y с естественной интерпретацией на нём символов сигнатуры L будем называть алгеброй термальных функций на Y.

Лемма 3.18.

Для любого непустого алгебраического множества Y над L-алгеброй A имеет место изоморфизм (Y ) T(Y ).

= Доказательство. Пусть h : TL (X) T(Y ) — эпиморфизм, определённый правилом h(t) = tY, t TL (X). Имеем TL (X)/ ker h T(Y ). С другой стороны, t1 ker h t2 тогда и только тогда, когда (t1 = t2 ) Rad(Y ), t1, t2 TL (X).

Таким образом, TL (X)/ ker h (Y ).

Пример 3.19.

Пусть Y = {(a1,..., an )} — одноточечное алгебраическое множество из примера 3.3. Тогда координатная алгебра (Y ) будет A-изоморфной алгебре A. Действительно, легко убедиться, что T(Y ) A A. = Пустое множество не всегда является алгебраическим множеством над алгеброй A.

Пример 3.20.

Пусть L = {·, 1, e} — групповой язык и G — группа. Любое уравнение t(x1,..., xn ) = s(x1,..., xn ) языка L имеет корень в G, а именно Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания x1 =... = xn = e. Следовательно, пустое множество не является алгебраическим над G; L.

Если же L — язык, содержащий по меньшей мере два константных символа c1, c2, и A — L-алгебра, в которой cA = cA, то пустое множество является алгебраическим над A, так как VA ({c1 = c2 }) =.

Лемма 3.21 (о пустом множестве и тривиальной алгебре).

Для любой L-алгебры A справедливы следующие утверждения.

1. Пустое множество является алгебраическим над A тогда и только тогда, когда A не имеет тривиальной подалгебры.

2. Если пустое множество является алгебраическим над A, то VA AtL (X) = = для любого конечного множества X.

3. Тривиальная алгебра E является координатной алгеброй над A в любом случае, и если Y — такое алгебраическое множество над A, что E = (Y ), то Y либо неприводимо, либо пусто (определение неприводимого алгебраического множества см. в разделе 3.4).

4. Тривиальная алгебра E является координатной алгеброй неприводимого алгебраического множества над A тогда и только тогда, когда A содержит тривиальную подалгебру.

Доказательство. Если A имеет тривиальную подалгебру E = {e}; L, то t(e,..., e) = e для любого терма t TL (X), что означает, что p = (e,..., e) — корень любой системы уравнений, т. е. пустое множество не может быть алгебраическим над A. Предположим теперь, что пустое множество не является алгебраическим над A. Тогда существует такой элемент e A, что t(e) = e для всех термов t TL ({x}). Очевидно, что элемент e образует тривиальную подалгебру алгебры A. Таким образом, пункт 1 доказан. Чтобы доказать пункт 2, допустим, что пустое множество является алгебраическим над A. Тогда существует натуральное число n и несовместная над A система уравнений S(x1,..., xn ). В этом случае система уравнений S (x) = S(x,..., x) от одной переменной x также несовместна. Следовательно, для любого конечного множества X имеется несовместная система S AtL (X), отсюда следует, что VA AtL (X) =.

Первое утверждение пункта 3 очевидно, так как E = AtL (X) ; второе будет доказано в следствии 3.36. Для доказательства пункта 4 предположим, что A имеет тривиальную подалгебру. Тогда, согласно пункту 1, пустое множество не является алгебраическим, что означает в силу пункта 3, что тривиальная алгебра является координатной алгеброй неприводимого алгебраического множества над A. Обратно, предположим, что A не имеет тривиальной подалгебры. Тогда пустое множество является алгебраическим над A. Если при этом E — координатная алгебра неприводимого алгебраического множества Y над A, Y = V(S), S AtL (X), то Rad(Y ) = AtL (X). Но, согласно пункту 2, в этом случае VA AtL (X) =, что означает, что Y =. Это противоречит определению неприводимого множества.

80 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Замечание 3.22. Если L-алгебра A обладает тривиальной подалгеброй, то существует такой элемент e A, что cA = e для всех константных символов c L. Предположим, что мы изучаем диофантову алгебраическую геометрию над нетривиальной группой G. Тогда тривиальная подгруппа 1 группы G не будет тривиальной подалгеброй в G согласно определениям теории моделей. В этом случае основным языком является расширенный язык LG, поэтому тривиальная подгруппа 1 вообще не является LG -подалгеброй.

Следующее предложение и его следствия оказываются полезными для решения задачи о классификации координатных алгебр над алгеброй A.

Предложение 3.23. Пусть A — алгебра языка L.

Тогда для любой конечно порождённой алгебры C языка L следующие условия эквивалентны:

1) C Pvar(A);

2) C вкладывается в прямую степень алгебры A;

3) C аппроксимируется алгеброй A;

4) C является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над A, определённого системой уравнений языка L.

Доказательство. Эквивалентность 1) 2) 3) доказана в [42, лемма 3.5] в форме Pvar(A) = SP(A) = Res(A).

Предположим, что C — координатная алгебра некоторого алгебраического множества Y над алгеброй A. Если Y =, то (Y ) = E, и включение C Pvar(A) очевидно. Таким образом, можно считать, что Y — непустое множество. Равенство (2) индуцирует мономорфизм h : TL (X)/Rad(Y ) TL (X)/ ker hp pY

–  –  –

Доказательство. Так как C аппроксимируется алгеброй A, то можно повторить рассуждения из доказательства выше.

Следствие 3.25. Класс всех координатных алгебр алгебраических множеств над алгеброй A в точности совпадает с Pvar(A).

Следствие 3.26. Пусть конечно порождённая L-алгебра C вкладывается в прямое произведение координатных алгебр каких-то алгебраических множеств над A. Тогда C также координатная алгебра для некоторого алгебраического множества над A.

Следствие 3.27. Для любого алгебраического множества Y над алгеброй A верно, что (Y ) Qvar(A). В частности, координатная алгебра (Y ) удовлетворяет всем тождествам и квазитождествам языка L, истинным в алгебре A.

Доказательство. Утверждение следует из включения Pvar(A) Qvar(A).

Следствие 3.28. Пусть S — совместная система уравнений над A-алгеброй B. Тогда координатная алгебра B (S) также будет A-алгеброй.

Доказательство. Все алгебры из PvarA (B), за исключением тривиальной алгебры E, являются A-алгебрами [42, следствие 3.16]. Если B (S) = E и S — совместная система, то пустое множество не является алгебраическим над B.

Следовательно, по лемме 3.21 B обладает тривиальной LA -подалгеброй, что возможно только в одном случае, когда A E.

= Заявленная связь между классификацией алгебраических множеств с точностью до изоморфизма и классификацией их координатных алгебр будет подробно изучена в разделе 5, а пока докажем два первых результата в этом направлении.

Лемма 3.29.

Пусть Y и Z — такие алгебраические множества над A, что Y Z An. Тогда существует эпиморфизм h : (Z) (Y ). Более того, если включение Y Z строгое, то эпиморфизм h собственный (т. е. не является мономорфизмом).

Доказательство. Поскольку Y Z, то Rad(Y ) Rad(Z), т. е.

Rad(Z). Следовательно, существует естественный эпиморфизм Rad(Y ) h : (Z) (Y ). Если Y = Z, то Rad(Y ) = Rad(Z), поэтому эпиморфизм h не является мономорфизмом.

Лемма 3.30.

Пусть Y An и Z Am — алгебраические множества над алгеброй A. Предположим, что существует эпиморфизм h : (Z) (Y ). Тогда в Z содержится такое алгебраическое подмножество Y, что (Y ) (Y ).

= Более того, если эпиморфизм h собственный, то включение Y Z является строгим.

Доказательство. Введём обозначение (Z) = TL ({x1,..., xm })/Rad(Z).

82 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников

–  –  –

3.4. Топология Зариского и неприводимые множества В алгебраической геометрии над данной алгеброй A выделяют три основных аспекта: алгебраический, геометрический и логический. Геометрический подход связан с изучением аффинного пространства An как топологического пространства.

Следуя [33], определим топологию Зариского на An, предбазой замкнутых множеств которой являются все алгебраические над A подмножества Y An, т. е. замкнутые множества получаются из алгебраических с помощью конечных объединений и произвольных пересечений.

Замечание 3.31. Предположим, что A1 и A2 — алгебры с одним и тем же множеством-носителем A и Ti — семейство алгебраических подмножеств Y An над Ai, i = 1, 2. Вообще говоря, семейства T1 и T2 различны, что означает, что аффинное пространство An обладает двумя топологиями Зариского. Однако при нашем подходе подобных недоразумений возникать не должно, так как мы всюду предполагаем, что язык L и L-алгебра A с носителем A фиксированы.

Для любого подмножества Y An через Y мы обозначаем его замыкание в топологии Зариского на An и через Y ac — наименьшее алгебраическое множество над A, содержащее Y. Очевидно, что

–  –  –

В любом топологическом пространстве (W, T) всякое неприводимое подмножество Y W содержится в некотором максимальном неприводимом множестве Z (это следует из леммы Цорна, так как объединение неприводимых множеств возрастающей цепочки является неприводимым множеством), которое, разумеется, замкнуто (так как замыкание неприводимого множества неприводимо). Максимальные неприводимые подмножества Z W называются неприводимыми компонентами W. Неприводимые компоненты покрывают W (так как любая точка p W образует неприводимое множество, которое содержится в некотором максимальном неприводимом). В нашем случае этот топологический факт обращается следующим утверждением.

Лемма 3.34.

Всякое непустое замкнутое в топологии Зариского подмножество Y An является объединением максимальных неприводимых алгебраических над A подмножеств Yi Y — неприводимых компонент множества Y.

Доказательство. Покроем множество Y с индуцированной топологией Зариского неприводимыми компонентами {Yi, i I}; каждая из них является максимальным неприводимым замкнутым подмножеством в Y. Тогда Yi — замкнутое неприводимое подмножество в An, и согласно лемме 3.33 Yi — алгебраическое множество над A.

84 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников В классической алгебраической геометрии над полем справедлив более сильный результат, чем лемма 3.34: там всякое непустое замкнутое множество представимо в виде конечного объединения неприводимых компонент. В общем случае подобный результат справедлив при условии, что алгебра A нётерова по уравнениям (таким алгебрам посвящён следующий раздел 4). Тем не менее лемма 3.34 показывает важность изучения неприводимых алгебраических множеств и, соответственно, их координатных алгебр.

Лемма 3.35.

Пусть Y An — непустое алгебраическое множество над A.

Тогда следующие условия эквивалентны:

— Y неприводимо;

— Y не является объединением конечного числа собственных алгебраических подмножеств.

Доказательство. Как следует из определения, если множество Y представимо в виде конечного объединения собственных алгебраических подмножеств, то оно приводимо. Обратно, предположим, что алгебраическое множество Y приводимо, т. е. Y является объединением двух своих собственных замкнутых подмножеств: Y = Y1 Y2. Запишем Y1 = Zi и Y2 = Wj, где Zi, Wj — iI jJ Zi Wj и, конечные объединения алгебраических множеств. Тогда Y = iI, jJ поскольку Y = Y1, Y = Y2, то найдутся такие индексы i I и j J, что Y Zi иY Wj. Это приводит к разложению Y в конечное объединение собственных алгебраических подмножеств: Y = (Y Zi ) (Y Wj ).

Следствие 3.36. Алгебраическое множество VA AtL (X) либо неприводимо, либо пусто. Соответственно, тривиальная алгебра E является либо координатной алгеброй неприводимого алгебраического над A множества, либо E = ().

Предложение 3.37. Пусть A — алгебра языка L.

Тогда для любой конечно порождённой алгебры C языка L следующие условия эквивалентны:

1) C дискриминируется алгеброй A;

2) C является координатной алгеброй некоторого неприводимого алгебраического множества над A, определённого системой уравнений языка L.

Доказательство. Для начала рассмотрим случай, когда C — это тривиальная алгебра E. По определению E дискриминируется алгеброй A тогда и только тогда, когда A обладает тривиальной подалгеброй, а по лемме 3.21 тривиальная алгебра E является координатной алгеброй неприводимого алгебраического множества над A ровно в том же случае.

Пусть теперь C = E. Докажем импликацию 2) = 1) от противного. Предположим, что C — координатная алгебра неприводимого алгебраического множества Y = VA (S), C TL (X)/Rad(Y ), и C не дискриминируется алгеброй A. Тогда найдутся такие атомарные формулы (ti = si ) AtL (X), (ti = si ) Rad(Y ), / i = 1,..., m, что для любого гомоморфизма h : C A окажется h(ti /Rad(Y ) ) = = h(si /Rad(Y ) ) для некоторого индекса i {1,..., m}. Это означает, что для Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания любой точки p Y найдётся такой индекс i {1,..., m}, что tA (p) = sA (p). Поi i ложив Yi = V(S {ti = si }), i = 1,..., m, мы получим Y = Y1... Ym, причём Y1,..., Ym — собственные алгебраические подмножества в Y, что противоречит неприводимости Y.

Докажем импликацию 1) = 2). Так как Dis(A) Res(A), по предложению 3.23 C = (Y ) для некоторого алгебраического множества Y над A (Y =, поскольку C = E). Для доказательства неприводимости Y достаточно обратить проведённые выше рассуждения. В самом деле, если Y = Y1... Ym для некоторых собственных алгебраических подмножеств Yi, то из неравенств Yi Y по лемме 3.11 получаем неравенства Rad(Y ) Rad(Yi ), которые позволяют найти атомарные формулы (ti = si ) Rad(Yi ) \ Rad(Y ), i = 1,..., m, наличие которых означает, что не существует такого гомоморфизма h : C A, что h(ti /Rad(Y ) ) = h(si /Rad(Y ) ) для всех i = 1,..., m, — противоречие с условием C Dis(A).

Следствие 3.38. Класс всех координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств над A совпадает с Dis(A).

4. Нётеровы по уравнениям алгебры Пусть A — алгебра языка L без предикатов и B — A-алгебра.

Определение 4.1. Алгебра A называется нётеровой по уравнениям (относительно L-уравнений), если для любого целого положительного числа n и любой системы уравнений S AtL (x1,..., xn ) найдётся такая конечная подсистема S0 S, что VA (S) = VA (S0 ).

Если A-алгебра B нётерова по A-уравнениям, то также говорят, что она A-нётерова по уравнениям.

Как установить, является ли данная алгебра A нётеровой по уравнениям или нет? Естественный путь исследования этого вопроса заключается в проверке каждой системы уравнений на наличие конечной подсистемы, эквивалентной исходной системе. Н. С. Романовский обратил наше внимание на вопрос: нужно ли при этом проверять несовместные системы уравнений наряду с совместными?

Как правило, для конкретных алгебр проверка несовместных систем уравнений тривиальна. Тем не менее перед нами естественно встаёт следующая проблема.

Проблема 4.2. Найти такую алгебру A, что каждая совместная система уравнений над A эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме, но при этом существует несовместная над A система уравнений, которая не эквивалентна над A никакой своей конечной подсистеме.

В [78] А. Н. Шевляков построил пример коммутативной идемпотентной полугруппы A в языке со счётным множеством констант, которая является нётеровой по совместным системам уравнений, но не является нётеровой по уравнениям.

Следующее утверждение предоставляет альтернативные пути для проверки алгебры A на нётеровость по уравнениям.

86 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников

Утверждение 4.3. Для любой L-алгебры A следующие условия эквивалентны:

1) A нётерова по уравнениям;

2) для любого конечного множества X и любой системы уравнений S AtL (X) существует такая конечная подсистема S0 [S], что VA (S) = VA (S0 );

3) для любого целого положительного числа n аффинное пространство An с топологией Зариского нётерово, т. е. удовлетворяет условию обрыва строго убывающих цепочек замкнутых подмножеств;

4) для любого целого положительного числа n всякая цепочка Y1 Y2 Y3...

различных алгебраических подмножеств в An конечна;

5) всякая цепочка (Y1 ) (Y2 ) (Y3 )...

собственных эпиморфизмов координатных алгебр алгебраических множеств Y1, Y2, Y3,... над A конечна;

6) для любого конечного множества X множество атомарных формул AtL (X) удовлетворяет условию обрыва строго возрастающих цепочек радикальных над A идеалов.

Доказательство. Импликация 1) = 2) тривиальна. Чтобы показать импликацию 2) = 1), заметим, что для любой атомарной формулы c = (t = s) [S] существует такая конечная подсистема Sc S, что Sc (t = s). Следовательно, если VA (S) = VA (S0 ) для некоторой конечной подсистемы S0 [S], то

VA (S) = VA Sc. cS0

Эквивалентности 1) 3) и 3) 4) доказаны в [42, лемма 4.11, замечание 4.8].

Импликация 5) = 4) следует из леммы 3.29, а обратная импликация 4) = 5) — из леммы 3.30. Эквивалентность 4) 6) имеет место в силу леммы 3.11.

Как уже анонсировалось, лемма 3.34 в случае нётеровых по уравнениям алгебр приобретает вид теоремы, хорошо известной в классической алгебраической геометрии.

Теорема 4.1 [42].

Пусть A — нётерова по уравнениям алгебра.

Тогда любое непустое замкнутое в топологии Зариского подмножество Y An (в частности, любое непустое алгебраическое множество) представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств (неприводимых компонент):

Y = Y1...Ym, причём при условии, что Yi Yj для всех i = j, это разложение единственно с точностью до перестановки неприводимых компонент.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Обозначим через N класс всех нётеровых по уравнениям L-алгебр. Какие операторы из списка, приведённого в разделе 2, отображают N в N?

Утверждение 4.4. Пусть A — нётерова по уравнениям L-алгебра. Тогда следующие L-алгебры также нётеровы по уравнениям:

любая подалгебра алгебры A;

1) любая прямая степень, фильтрованная степень и ультрастепень алгебры A;

2) координатная алгебра (Y ) всякого алгебраического множества Y над A;

3) любая алгебра, которая аппроксимируется или дискриминируется алгеброй A;

5) любая алгебра из Qvar(A), Ucl(A);

6) любая предельная алгебра над A;

7) любая конечно порождённая алгебра, определённая полным атомарным типом теории Thqi (A) или Th (A).

Доказательство. Пункт 1) очевиден; пункт 2) следует из леммы 3.8;

пункт 3) следует из пунктов 1), 2) и предложения 3.23. Пункт 4) справедлив благодаря тому, что Dis(A) Res(A) = SP(A) [42]; пункт 5) вытекает из того, что Ucl(A) Qvar(A) = SPf (A) e [14]. Любая предельная алгебра над A вкладывается в ультрастепень алгебры A [42, следствие 5.7], что доказывает пункт 6). Любая конечно порождённая алгебра, определённая полным атомарным типом теории Thqi (A) (или Th (A)), принадлежит Qvar(A) (или Ucl(A)) [42, лемма 4.7], откуда следует пункт 7).

Таким образом, класс N замкнут относительно ультрастепеней.

Проблема 4.5. Будет ли класс N замкнут относительно ультрапроизведений?

Поскольку класс N замкнут относительно взятия подалгебр, то поставленный вопрос имеет следующую эквивалентную форму [14].

Проблема 4.6. Является ли класс N аксиоматизируемым?

Отрицательное решение этой проблемы получено в [78] для класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант.

Пример 4.7 (положительные примеры).

Каждая алгебра A из следующего списка является A-нётеровой по уравнениям:

— любое нётерово коммутативное кольцо;

— любая линейная группа над нётеровым кольцом (в частности, любая свободная группа, любая полициклическая группа, любая конечно порождённая метабелева группа) [33, 35, 51];

— любая гиперболическая группа без кручения [76];

— любая свободная разрешимая группа [2];

— любая конечно порождённая метабелева (или нильпотентная) алгебра Ли [5].

88 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Нётеровости по уравнениям универсальной обёртывающей алгебры сплетения абелевых алгебр Ли посвящена работа [23].

Пример 4.8 (отрицательные примеры).

Следующие алгебры не являются нётеровыми по уравнениям:

— бесконечно порождённые нильпотентные группы [64];

— сплетение A B неабелевой группы A и бесконечной группы B [34];

— минимаксные алгебраические системы MR = R; max, min, ·, +,, 0, 1 и MN = N; max, min, +, 0, 1 [12].

Лемма 4.9.

Пусть A — нётерова по уравнениям L-алгебра. Универсальное замыкание Ucl(A) содержит тривиальную алгебру E тогда и только тогда, когда A имеет тривиальную подалгебру.

Доказательство. Очевидно, что условие E A влечёт E Ucl(A). Предположим теперь, что A не имеет тривиальной подалгебры. По лемме 3.21 V AtL (x) =, следовательно, существует такое конечное множество атомарных формул S0 AtL (x), что V(S0 ) =, т. е. универсальная формула

–  –  –

5. Теорема о дуальной эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр Пусть L — язык без предикатов и A — алгебра языка L.

В разделе 5.1 мы вводим две категории: категорию AS(A) алгебраических множеств над A и категорию CA(A) координатных алгебр алгебраических множеств над A. Далее в разделе 5.2 мы доказываем, что эти категории дуально эквивалентны (теорема 5.6). В заключительной части 5.3 этого раздела будет продемонстрировано, как извлекается польза из теоремы 5.6 при решении задачи о классификации алгебраических множеств.

5.1. Категория алгебраических множеств и категория координатных алгебр Объектами категории CA(A) являются координатные алгебры всех алгебраических множеств над A. Для двух координатных алгебр C1 и C2 из CA(A) множество морфизмов Mor(C1, C2 ) — это множество Hom(C1, C2 ) всех L-гомоморфизмов из C1 в C2. Заметим, что тривиальная алгебра E — терминальный (универсально притягивающий) объект категории CA(A), что означает, что Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания

–  –  –

для всех (a1,..., an ) An. Для двух непустых алгебраических множеств Y An и Z Am отображение : Y Z назовём термальным, если оно является ограничением на Y некоторого термального отображения : An Am, такого что (Y ) Z.

Замечание 5.2. Термальное отображение : An Am, заданное термами s1,..., sm TL (x1,..., xn ), может индуцировать то же самое термальное отображение : Y Z, что и : Y Z выше. Это возможно в том и только том случае, если (ti = si ) Rad(Y ) для всех i = 1,..., m. Таким образом, можно считать, что любое термальное отображение : Y Z однозначно определяется упорядоченным набором термальных функций tY,..., tY T(Y ), таких что 1 m tY (p),..., tY (p) Z для всех p Y.

1 m Определим множество морфизмов Mor(Y, Z) из объекта Y в объект Z категории AS(A) как множество всех термальных отображений : Y Z. При этом idY — тождественное отображение Y в себя. Если пустое множество является алгебраическим над A, мы помещаем его в категорию AS(A) в качестве инициального (универсально отталкивающего) объекта, что означает, что для каждого объекта Y из AS(A) существует, и единственная, стрелка (морфизм) из в Y.

Стандартным образом определяются изоморфизмы в категориях CA(A) и AS(A). Так, непустые алгебраические множества Y An и Z Am изоморфны в том и только том случае, если существуют такие термальные отображения : Y Z и : Z Y, что = idY и = idZ.

Пример 5.3.

Пусть L = {·, 1, e} — групповой язык, G — группа и Y Gn — алгебраическое множество над G для системы уравнений расширенного языка LG (т. е. с коэффициентами в группе G). Тогда для любого элемента h G сдвиг Y h = {(g1 h,..., gn h) | (g1,..., gn ) Y } множества Y является алгебраическим множеством над G, LG -изоморфным алгебраическому множеству Y. В самом деле, если Y = V S(x1,..., xn ), то Y h = V S(x1 h1,..., xn h1 ).

Изоморфизм между Y и Y h устанавливается термальными отображениями, : Gn Gn :

(g1,..., gn ) = (g1 h1,..., gn h1 ).

(g1,..., gn ) = (g1 h,..., gn h), Очевидно, что = idGn и = idGn.

90 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Лемма 5.4. Пусть : An Am — термальное отображение. Справедливы следующие утверждения.

1. Если Z — алгебраическое множество в Am, то 1 (Z) — алгебраическое множество в An.

2. Отображение непрерывно в топологии Зариского.

3. Если Y — неприводимое подмножество в An, то (Y ) — неприводимое подмножество в Am.

4. Изоморфные алгебраические множества неприводимы или приводимы одновременно.

Доказательство. Пусть t1,..., tm — термы из (4). Предположим, что Z = = V(S ), где S AtL (x1,..., xm ). Взяв S = S t1 (x1,..., xn ),..., tm (x1,..., xn ), получим (Z) = V(S), что доказывает пункт 1. Пункт 2 следует из пункта 1, поскольку алгебраические множества составляют предбазу замкнутых множеств топологии Зариского. Так как любое непрерывное отображение топологических пространств неприводимые множества переводит в неприводимые, то получаем пункт 3. Пункт 4, очевидно, следует из пункта 3.

Следующий результат справедлив в диофантовой алгебраической геометрии.

Его доказательство полностью повторяет те рассуждения, которые проводятся в аналогичном случае в классической алгебраической геометрии [29].

Лемма 5.5.

Пусть A — L-алгебра и Y An, Z Am — алгебраические множества над A, определённые системами уравнений с коэффициентами в A. Алгебраическое множество Y Z неприводимо тогда и только тогда, когда Y и Z неприводимы (неприводимость понимается относительно топологии Зариского для алгебры A как LA -алгебры).

Доказательство. Предположим, что множество Y приводимо, т. е. его можно представить в виде конечного объединения собственных алгебраических подмножеств: Y = Y1...Yd. Тогда (Y1 Z)...(Yd Z) — разложение множества Y Z в конечное объединение собственных алгебраических подмножеств, т. е.

множество Y Z приводимо.

Теперь предположим, что Z неприводимо и Y Z = W1... Wd — разложение множества Y Z в конечное объединение собственных алгебраических подмножеств. Покажем, что в этом случае Y является приводимым множеством.

Каждая точка p An образует алгебраическое над A множество {p}. Более того, алгебраические множества Z и {p}Z изоморфны. В частности, множество {p} Z неприводимо. Если p Y, то {p} Z W1... Wd. Отсюда следует, что {p} Z Wi для некоторого i {1,..., d}. Обозначим через Yi множество {p Y | {p} Z Wi }, i = 1, d. Имеем, что Y = Y1... Yd и Y = Yi для всех i = 1, d.

Чтобы доказать приводимость Y, проверим, что множество Yi является алгебраическим для каждого i = 1, d. Для точки p Z обозначим через Yi,p Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания

–  –  –

следовательно, Yi — алгебраическое множество.

5.2. Теорема о дуальной эквивалентности В этом разделе нам понадобятся базовые понятия и идеи теории категорий, которые можно найти в [32].

Теорема 5.6.

Категория AS(A) алгебраических множеств над алгеброй A дуально эквивалентна категории CA(A) координатных алгебр алгебраических множеств над алгеброй A.

Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо построить контравариантный функтор F : AS(A) CA(A), т. е. такое отображение, что F1) если : Y Z — морфизм категории AS(A), то F() : F(Z) F(Y ) — морфизм категории CA(A);

F2) F(idY ) = idF(Y ) для любого объекта Y категории AS(A);

F3) если : Z W — ещё один морфизм категории AS(A), то F( ) = F() F().

Затем необходимо показать, что функтор F задаёт дуальную эквивалентность.

Существует несколько равнозначных способов для обоснования дуальной эквивалентности [32]. Мы выберем наиболее удобный в нашей ситуации. Функтор F определяет дуальную эквивалентность, если E1) F — вполне строгий (вполне точный) функтор, т. е. для любых объектов Y и Z из AS(A) и любого морфизма h Hom F(Z), F(Y ) существует, и единственный, морфизм Hom(Y, Z), такой что h = F();

E2) F — представительный функтор, т. е. для любого объекта C из CA(A) существует объект Y из AS(A), для которого образ F(Y ) изоморфен C.

Для определения функтора F положим F(Y ) = (Y ) для алгебраического множества Y из AS(A). Далее нужно определить действие функтора F на морфизмах. Пусть Y и Z — объекты категории AS(A). Если Y =, то (Y ) = E и множество Mor(Y, Z) содержит единственную стрелку, а Hom((Z), E) содержит единственный морфизм h, поэтому положим F() = h. Если Y = и Z =, то Mor(Y, Z) =.

Пусть Y An и Z Am — непустые алгебраические множества из AS(A) и Mor(Y, Z) — морфизм, определённый термальными функциями tY,..., tY 1 m T(Y ). Для определения морфизма F() Hom (Z), (Y ) нам удобнее, ссылаясь на лемму 3.18, смотреть на координатные алгебры как на алгебры термальных функций. Алгебра (Z) T(Z) порождается координатными термальными 92 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников

–  –  –

где tY,..., tY — термальные функции, определяющие морфизм. Тем самым 1 m доказан пункт 3.

Наконец, предположим, что алгебраическое множество Y неприводимо. Тогда (Y ) также неприводимо по лемме 5.4, а по лемме 3.33 (Y )ac = (Y ).

5.3. Классификация алгебраических множеств и координатных алгебр Отметим ещё раз, что одной из основных задач алгебраической геометрии над данной алгеброй A является задача классификации алгебраических множеств над алгеброй A с точностью до изоморфизма. В соответствии с теоремой 5.6 эта задача равносильна задаче классификации координатных алгебр над A.

Предположим, что мы добились описания координатных алгебр над A некоторым способом. Тогда соответствующие алгебраические множества над A могут быть найдены как гомоморфизмы (см. лемму 3.15). Иногда выражение алгебраических множеств в терминах гомоморфизмов оказывается удачным, т. е. даёт разумное описание алгебраических множеств, как в примере 5.13 ниже, но иногда это не так. Скажем, существует простое описание координатных групп для уравнений от одной переменной над свободной метабелевой группой, однако соответствующие алгебраические множества затруднительно описать столь же прозрачно [21].

Кроме описания всех алгебраических множеств над A, важно дать описание неприводимых алгебраических множеств над A и их координатных алгебр.

Лемма 3.34 показывает, что любое алгебраическое множество над A представимо в виде объединения максимальных неприводимых алгебраических множеств (неприводимых компонент).

Более того, в случае когда алгебра A нётерова по уравнениям, такое разложение конечно и единственно по теореме 4.1.

Для описания координатных алгебр над A оказывается полезным предложение 3.23, а для описания неприводимых координатных алгебр над A — предложение 3.37. В случае когда алгебра A нётерова по уравнениям, у нас в распоряжении есть более богатый ресурс для классификации координатных алгебр — объединяющие теоремы A и C (см. раздел 6).

Следующая лемма предлагает способ описания всех координатных алгебр по найденному описанию неприводимых координатных алгебр.

Лемма 5.11.

Конечно порождённая L-алгебра C является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над L-алгеброй A тогда и только тогда, когда она подпрямо вкладывается в прямую сумму неприводимых координатных алгебр над A.

Доказательство. Предположим сначала, что Y — алгебраическое множество над A. По лемме 3.34 существуют неприводимые алгебраические множества Yi, i I, над A, такие что Y = Yi. Тогда по лемме 3.11 имеем iI Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Rad(Yi ), откуда следует, что существует подпрямое вложение Rad(Y ) = iI (Y ) (Yi ) [42, лемма 3.1]. Обратное утверждение истинно по следiI ствию 3.26.

Следствие 5.12. Пусть A — нётерова по уравнениям L-алгебра. Конечно порождённая L-алгебра C является координатной алгеброй алгебраического множества над A тогда и только тогда, когда она подпрямо вкладывается в некоторую конечную прямую сумму координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств над A.

Доказательство. Результат непосредственно следует из теоремы 4.1.

Следующий пример приводится по статье [64], где была проведена классификация координатных групп над абелевой группой A. Найденная классификация позволила дать хорошее описание алгебраических множеств над A. Также в [64] были классифицированы неприводимые алгебраические множества над A и их координатные группы.

Пример 5.13.

Пусть A — фиксированная абелева группа и LA — язык абелевых групп, расширенный константами из группы A, т. е. LA = {+,, 0, ca, a A}.

Будем рассматривать A как LA -алгебру.

Напомним, что периодом абелевой группы A называется максимальное целое положительное число m, если оно существует, такое что mA = 0, и в противном случае. Пусть T (A) — периодическая часть группы A и T (A) Tp (A) — p её примарное разложение. Здесь и далее в этом примере буква p соответствует простому числу. Обозначим через e(A) период группы A и через ep (A) период Tp (A).

Теорема [64]. Пусть C — конечно порождённая A-группа.

Тогда C является координатной группой алгебраического множества над A в том и только том случае, если справедливы следующие утверждения:

1) C A B, где B — конечно порождённая абелева группа;

2) e(A) = e(C) и ep (A) = ep (C) для всех простых чисел p.

Теперь нетрудно описать алгебраическое множество Y, соответствующее координатной группе C = A B.

Зафиксируем примерное разложение группы B в прямую сумму циклических:

a1... ar b1... bt, B где элементы ai порождают бесконечные циклические группы, а элементы bj m порождают конечные циклические группы порядков pj j. Для положительного целого n обозначим через A[n] множество {a A | na = 0}. По лемме 3.15 точки алгебраического множества Y находятся во взаимно-однозначном соответствии с A-гомоморфизмами из HomA (A B, A), поэтому Y = A... A A[pm1 ]... A[pmt ].

t r 96 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Для целого положительного числа k и простого числа p через pk (A) обозначим размерность, если она существует, фактор-группы A[pk ]/A[pk1 ] как векторного пространства над конечным полем из p элементов, pk (A) = в противном случае.

Теорема [64]. Пусть C — конечно-порождённая A-группа.

Тогда C является координатной группой неприводимого алгебраического множества над A в том и только том случае, если справедливы следующие утверждения:

1) C A B, где B — конечно порождённая абелева группа;

2) e(A) = e(C) и ep (A) = ep (C) для всех простых чисел p;

3) pk (A) = pk (C) для каждого простого числа p и целого положительного числа k.

6. Объединяющие теоремы для нётеровых по уравнениям алгебр Сформулированные в этом разделе объединяющие теоремы являются удобным инструментом при решении задачи описания координатных алгебр алгебраических множеств. Для начала приведём формулировки теорем, а затем докажем их.

Зафиксируем функциональный язык L.

Теорема A. Пусть A — нётерова по уравнениям алгебра языка L.

Тогда для любой конечно порождённой L-алгебры C следующие условия эквивалентны:

Th (A) Th (C), т. е. C Ucl(A);

1) Th (A) Th (C);

2) C вкладывается в некоторую ультрастепень алгебры A;

3) C дискриминируется алгеброй A;

4) C — предельная алгебра над алгеброй A;

5) C — алгебра, определённая некоторым полным атомарным типом теории 6) Th (A) языка L;

7) C — координатная алгебра некоторого неприводимого алгебраического множества над A, заданного системой уравнений языка L.

Следующая теорема B является частным случаем теоремы A при L = LA. Мы формулируем её специально для удобства практических применений в диофантовой алгебраической геометрии и в алгебраической геометрии с коэффициентами в алгебре A.

Теорема B (с коэффициентами в A). Пусть A — алгебра языка без предикатов L и B — A-нётерова по уравнениям A-алгебра.

Тогда для любой конечно порождённой A-алгебры C следующие условия эквивалентны:

1) Th,A (B) Th,A (C), т. е. C UclA (B);

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Th,A (B) Th,A (C);

2) C A-вкладывается в некоторую ультрастепень алгебры B;

3) C A-дискриминируется алгеброй B;

4) C — A-предельная алгебра над алгеброй B;

5) C — алгебра, определённая некоторым полным атомарным типом теории 6) Th,A (B) языка LA ;

7) C — координатная алгебра некоторого неприводимого алгебраического множества над B, заданного системой уравнений с коэффициентами в алгебре A.

Замечание 6.1. В диофантовой алгебраической геометрии, когда A = B, первые два пункта теоремы B можно записать в более точной форме: C,A A и C,A A соответственно. Здесь запись C,A A означает, что любое универсальное предложение языка LA справедливо в C тогда и только тогда, когда оно справедливо в A.

Теорема A предоставляет описание неприводимых координатных алгебр, а следующая далее теорема C предлагает описание всех координатных алгебр.

Теорема C. Пусть A — нётерова по уравнениям алгебра языка L.

Тогда для любой конечно порождённой L-алгебры C следующие условия эквивалентны:

C Qvar(A), т. е. Thqi (A) Thqi (C);

1) C Pvar(A);

2) C вкладывается в некоторую прямую степень алгебры A;

3) C аппроксимируется алгеброй A;

4) C подпрямо вкладывается в некоторую конечную прямую сумму предельных алгебр над алгеброй A;

6) C — алгебра, определённая некоторым полным атомарным типом теории Thqi (A) языка L;

7) C — координатная алгебра некоторого алгебраического множества над A, заданного системой уравнений языка L.

Следующая теорема D является частным случаем теоремы C, так же как теорема B для теоремы A.

Теорема D (с коэффициентами в A). Пусть A — алгебра языка без предикатов L и B — A-нётерова по уравнениям A-алгебра.

Тогда для любой конечно порождённой A-алгебры C следующие условия эквивалентны:

C QvarA (B), т. е. Thqi,A (B) Thqi,A (C);

1) C PvarA (B);

2) C A-вкладывается в некоторую прямую степень алгебры B;

3) C A-аппроксимируется алгеброй B;

4) C подпрямо A-вкладывается в некоторую конечную прямую сумму A-предельных алгебр над алгеброй B;

98 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников

6) C — алгебра, определённая некоторым полным атомарным типом теории Thqi,A (B) языка LA ;

7) C — координатная алгебра некоторого алгебраического множества над B, заданного системой уравнений с коэффициентами в алгебре A.

Замечание 6.2. В диофантовой алгебраической геометрии, когда A = B, первые два пункта теоремы D можно записать в виде QvarA (A) = QvarA (C) и PvarA (A) = PvarA (C) соответственно.

Следствие 6.3.

Если алгебра A нётерова по уравнениям, то справедливы следующие равенства:

Ucl(A) = Dis(A), Qvar(A) = Pvar(A), Qvar(A) = P (Ucl(A) ).

Доказательство. Первое равенство следует из эквивалентности 1) 4) теоремы A, второе — из эквивалентности 1) 2) теоремы C. Третье равенство следует из эквивалентности 1) 5) теоремы C и эквивалентности 1) 5) теоремы A.

Доказательство теоремы A. В основной своей части теорема A была доказана в [42]. Теперь необходимо провести только исследование случая, когда C — это тривиальная алгебра, так как этот случай был пропущен в [42]. Согласно предложению 3.37 тривиальная алгебра E является неприводимой координатной алгеброй над A тогда и только тогда, когда она дискриминируется алгеброй A.

По определению E дискриминируется с помощью A в том и только том случае, если A имеет тривиальную подалгебру. По лемме 4.9 A обладает тривиальной подалгеброй тогда и только тогда, когда E Ucl(A). Таким образом, пункты 1),

4) и 7) эквивалентны. Пункты 1), 2), 3), 5), 6) эквивалентны в любом случае согласно предложению 2.3.

Доказательство теоремы C. Эквивалентности 2) 3) 4) 7) доказаны в предложении 3.23. Следствие 3.27 устанавливает справедливость импликации 7) = 1). Эквивалентность 1) 6) доказана в [42, лемма 4.7]. Импликация 5) = 1) проверяется просто. В самом деле, любая предельная алгебра над A лежит в Ucl(A) [42, следствие 5.7], а поскольку Ucl(A) Qvar(A) и квазимногообразие Qvar(A) замкнуто относительно операторов P и S, то если алгебра C подпрямо вкладывается в прямую сумму предельных над A алгебр, то C Qvar(A).

Согласно следствию 5.12 координатная алгебра алгебраического множества над нётеровой по уравнениям алгеброй A подпрямо вкладывается в конечную прямую сумму неприводимых координатных алгебр над A. В соответствии с теоремой A неприводимые координатные алгебры над A являются предельными над A, поэтому имеет место импликация 7) = 5).

Теперь докажем последнюю импликацию 1) = 4). Предположим, что C Res(A). Достаточно показать, что C Qvar(A). Пусть X = {x1,..., xn } — / / конечное множество порождающих алгебры C и X | S — представление Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания алгебры C в порождающих X, где S AtL (X). Последнее означает, что C TL (X)/S.

Поскольку A не аппроксимирует алгебру C, найдётся такая атомарная формула (t = s) AtL (X), (t = s) [S], что h(t/S ) = h(s/S ) для любого гомоморфизма h : C A. Это означает, что tA (p) = sA (p) для всякой точки p VA (S), т. е. (t = s) RadA (S). Из нётеровости по уравнениям алгебры A следует существование такой конечной подсистемы S0 S, что RadA (S0 ) = RadA (S).

Следовательно, квазитождество

–  –  –

ложна в C при интерпретации yi xi, i = 1,..., n, следовательно, C Qvar(A).

/ Заметим, что если VA (S) =, то наши рассуждения остаются корректными.

В этом случае посылка квазитождества (7) тождественно ложна в A.

Объединяющие теоремы A и C сформулированы для нётеровой по уравнениям алгебры A. Тем не менее значительная часть их доказательства не использует нётеровости по уравнениям. Выделим эти фрагменты в следующем замечании.

Замечание 6.4. Для произвольной алгебры A следующие импликации и эквивалентности теорем A и C имеют место:

{4) 7)} = {1) 2) 3) 5) 6)};

теорема A:

{5)} = {1) 6)} = {2) 3) 4) 7)}.

теорема C:

Теорема C предлагает описание координатных алгебр над нётеровой по уравнениям алгеброй A как конечно порождённых алгебр из квазимногообразия

Qvar(A), поэтому следующие характеризации квазимногообразия Qvar(K) любого класса L-алгебр K могут быть при этом полезными:

Qvar(K) = SPf (K)e = SPPu (K) = SPu P(K) = SPu P (K) = = S s P(K) = s SP(K) = s Ps (K) = SP(K).

L L L L Первое из этих равенств дано А. И. Мальцевым [14, § 11, теорема 4], а остальные — В. А. Горбуновым [1, следствие 2.3.4, теорема 2.3.6].

Продемонстрируем на примере применение объединяющих теорем.

Пример 6.5.

Алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел исследована П. В. Морарем и А. Н. Шевляковым в [30, 62, 77].

Авторы рассматривают моноид N в нескольких сигнатурах L. Далее речь пойдёт только о самом простом из рассмотренных ими случаев.

Пусть L = {+, 0} — основная сигнатура, состоящая из бинарной функции + и константы 0, и N = N; +, 0 — аддитивный моноид натуральных чисел в языке L с естественной интерпретацией символов из L.

100 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Коммутативный L-моноид M называется позитивным, если из x + y = 0 следует, что x = y = 0, для всех x, y M. Моноид M называется моноидом с сокращениями, если из x + z = y + z следует, что x = y, для всех x, y, z M.

Теорема [62].

Для любого конечно порождённого L-моноида M следующие условия эквивалентны:

M — координатный моноид алгебраического множества над N ;

1) M аппроксимируется моноидом N ;

2) M — коммутативный позитивный моноид с сокращениями;

3) квазитождества x, y (x + y = y + x), x, y (x + y = 0 x = 0), 4) x, y, z (x + z = y + z x = z) истинны в M ;

5) M принадлежит Ucl(N );

6) M дискриминируется моноидом N ;

7) M — координатный моноид неприводимого алгебраического множества над N.

Следствие 1. Любое алгебраическое множество над N неприводимо.

Следствие 2. Ucl(N ) = Qvar(N ).

7. Открытые проблемы и вопросы Мы искренне надеемся, что наша серия работ по универсальной алгебраической геометрии станет удобным путеводителем для исследователей, которые вызовутся построить алгебраическую геометрию для ряда классических алгебраических систем. В ближайшем будущем будут напечатаны ещё две работы этой серии: «Нётеровость по уравнениям и компактность» [43], «Эквациональные области и ко-области» [9].

Как уже отмечалось во введении, на сегодняшний день описана структура алгебраических множеств и координатных групп над свободной группой F конечного ранга: неприводимые координатные группы над F — это в точности конечно порождённые предельные группы над F. С нашей точки зрения, есть существенные основания для изучения алгебраической геометрии и над другими известными алгебраическими системами.

7.1. Свободная полугруппа (моноид) Пусть S — свободная неабелева полугруппа (или моноид).

Существует хорошо известный результат Г. С. Маканина о том, что проблема разрешимости систем уравнений над свободной полугруппой алгоритмически разрешима. Также есть работы по оценке сложности соответствующих алгоритмов. Тем не менее до сих пор не известно хорошего описания множеств всех решений для систем уравнений над S (даже для квадратичных уравнений!) и их координатных полугрупп.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания Поскольку, согласно объединяющей теореме A, понятие координатной алгебры эквивалентно понятию предельной алгебры для нётеровой по уравнениям алгебраической системы, мы ставим следующую проблему.

Проблема 7.1. Интересно найти описание предельных полугрупп над S.

7.2. Свободная алгебра Ли Пусть L — свободная алгебра Ли конечного ранга r 2 над полем k.

Проблема 7.2. Интересно развить общую технику для решения уравнений над L и изучить алгебраическую геометрию над L.

Ориентирами для этой задачи служат статьи [33, 42, 64]. В [11] Э. Ю. Даниярова и В. Н. Ремесленников получили результаты, специфичные для свободной алгебры Ли L (см. пример 3.5). Так называемая ограниченная алгебраическая геометрия над алгеброй L была полностью изучена в [11]. Оказалось, что алгебраическая геометрия над L содержит всю диофантову геометрию основного поля k.

Загрузка...

Известно, что квадратичные уравнения, соответствующие алгебраические множества и координатные группы играют важную роль в построении алгебраической геометрии над свободной группой F. С нашей точки зрения, в случае свободной алгебры Ли линейные уравнения должны сыграть аналогичную роль.

Через U(L) обозначим универсальную обёртывающую алгебры L. Алгебра L обладает естественной структурой U(L)-модуля.

Определение 7.3. Уравнение вида x1 1 + x2 2 +... + xn n = w, где w L и i U(L), i = 1, n, назовём линейным уравнением над L.

Заметим, что каждое выражение x ( U(L)) может быть записано в виде суммы слагаемых вида v1,..., vn L.

... [x, v1 ], v2,..., vm, В. Н. Ремесленников и Р. Штёр в [73] показали, что структура решения такого простого линейного уравнения, как [x, a] + [y, b] = 0, a, b L, a = b, весьма сложна. Однако координатная алгебра для уравнения [x, a] + [y, b] = 0 может быть вычислена вполне просто.

Проблема 7.4. Интересно развить специальную технику для решения линейных уравнений над L, найти соответствующие алгебраические множества и координатные алгебры.

7.3. Свободная ассоциативная алгебра Пусть A — свободная ассоциативная алгебра конечного ранга r 2 над полем k.

102 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников Почти ничего не известно о решениях систем уравнений над A. По этой причине мы предлагаем следующую «тестовую проблему» для реализации алгебраической геометрии над A.

Проблема 7.5. Интересно развить ограниченную алгебраическую геометрию над A по тому пути, как это было сделано для свободной алгебры Ли L.

7.4. Нётеровость по уравнениям Объединяющие теоремы демонстрируют, что наиболее перспективными для построения хорошей алгебраической геометрии являются алгебры, нётеровы по уравнениям. По этой причине мы предлагаем следующие открытые проблемы о нётеровости по уравнениям некоторых классических алгебр.

Проблема 7.6. Будет ли нётеровой по уравнениям свободная неабелева алгебра Ли конечного ранга над полем?

Проблема 7.7. Будет ли нётеровой по уравнениям свободная неабелева ассоциативная алгебра конечного ранга над полем?

Проблема 7.8. Когда свободное произведение нётеровых по уравнениям групп нётерово по уравнениям?

Литература [1] Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999.

[2] Гупта Ч. К., Романовский Н. С. Нётеровость по уравнениям некоторых разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 1. — С. 46—59.

[3] Гупта Ч. К., Тимошенко Е. И. Частично коммутативные метабелевы группы: централизаторы и элементарная эквивалентность // Алгебра и логика. — 2009. — Т. 48, № 3. — С. 309—341.

[4] Даниярова Э. Ю. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли. III. Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств: Препринт. — Омск: Изд-во ОмГУ, 2005.

[5] Даниярова Э. Ю. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли: Препринт № 131. — Инст. мат. СО РАН, 2004; Вестн. Омск. ун-та. Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений. — 2007. — С. 8—39.

[6] Даниярова Э. Ю., Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли. I. U-алгебры и универсальные классы // Фундамент. и прикл. мат. — 2003. — Т. 9, вып. 3. — С. 37—63. — http://ofim.

okno.ru/~remesl/articles/alggeomfreemetlie1_rus.pdf.

[7] Даниярова Э. Ю., Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли. II. Случай конечного поля // Фундамент. и прикл. мат. — 2003. — Т. 9, вып. 3. — С. 65—87. — http://ofim.okno.

ru/~remesl/articles/alggeomfreemetlie2_rus.pdf.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания [8] Даниярова Э. Ю., Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Полуобласти и метабелево произведение метабелевых алгебр Ли // Итоги науки и техн. Сер. Соврем.

мат. и её прил. — 2004. — Т. 14. — С. 3—10. — http://ofim.okno.ru/~remesl/ articles/semidomains_rus.pdf.

[9] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. IV. Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, № 6. — С. 715—756.

[10] Даниярова Э. Ю., Онскуль И. В. Линейные и билинейные уравнения над свободной антикоммутативной алгеброй // Вестн. Омск. ун-та. Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений. — 2008. — С. 38—49.

[11] Даниярова Э. Ю., Ремесленников В. Н. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 3. — С. 269—304. — http://ofim.okno.ru/~remesl/articles/bounded_ rus.pdf.

[12] Дворжецкий Ю. С., Котов М. В. Минимаксные алгебраические системы // Вестн.

Омск. ун-та. Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений. — 2008. — С. 130—136.

[13] Маканин Г. С. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1982. — Т. 46, № 6. — С. 1199—1273.

[14] Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.

[15] Мищенко А. А., Трейер А. В. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Sib. Electron. Math. Rep. — 2007. — Vol. 4. — P. 460—481.

[16] Мищенко А. А. Универсальная эквивалентность частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестн. Омск. ун-та. Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений. — 2008. — С. 61—68.

[17] Разборов А. А. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР. (Изв.

РАН) Сер. мат. — 1982. — Т. 48, № 4. — С. 779—832.

[18] Ремесленников В. Н. -свободные группы // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 6. — С. 153—157. — http://ofim.okno.ru/~remesl/articles/ efreegroups1.pdf.

[19] Ремесленников В. Н. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой // Фундам. и прикл. мат. — 2001. — Vol. 7, вып. 3. — С. 873—885. — http://ofim.okno.ru/~remesl/articles/dimalgsets.pdf.

[20] Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика. — 2004. — Т. 43, № 3. — С. 341—352. — http://ofim.okno.

ru/~remesl/articles/remrom2_rus.pdf.

[21] Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. Неприводимые алгебраические множества в метабелевой группе // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 5. — С. 601—621. — http://ofim.okno.ru/~remesl/articles/remrom3_rus.pdf.

[22] Ремесленников В. Н., Тимошенко Е. И. О топологических размерностях u-групп // Сиб. мат. журн. — 2006. — Т. 47, № 2. — С. 415—431. — http://ofim.okno.ru/ ~remesl/articles/topdim_rus.pdf.

[23] Романовский Н. С., Шестаков И. П. Нётеровость по уравнениям универсальной обёртывающей сплетений абелевых алгебр Ли // Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, № 4. — С. 475—490.

104 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников [24] Романовский Н. С. Алгебраические множества в метабелевой группе // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 4. — С. 503—513.

[25] Романовский Н. С. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2009. — Т. 48, № 2. — С. 258—279.

[26] Тимошенко Е. И. Универсальная эквивалентность частично коммутативных метабелевых групп // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, № 2. — С. 263—290.

[27] Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970.

[28] Чирков И. В., Шевелин М. А. Делители нуля в свободных произведениях алгебр Ли с объединением // Сиб. мат. журн. — 2004. — Т. 45, № 1. — С. 229—238.

[29] Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: МЦНМО, 2007.

[30] Шевляков А. Н. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральных чисел.

Неприводимые алгебраические множества // Тр. Инст. мат. и мех. УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 4. — С. 258—269.

[31] Appel K. I. One-variable equations in free groups // Proc. Am. Math. Soc. — 1968. — Vol. 19. — P. 912—918.

[32] Barr M., Wells C. Toposes, triples and theories // Theory Appl. Categ. — 2005. — Vol. 1. — P. 1—289.

[33] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. I.

Algebraic sets and ideal theory // J. Algebra. — 1999. — Vol. 219. — P. 16—79. — http:

//ofim.okno.ru/~remesl/articles/algeom1.pdf.

[34] Baumslag G., Myasnikov A., Romankov V. Two theorems about equationally Noetherian groups // J. Algebra. — 1997. — Vol. 194. — P. 654—664.

[35] Bryant R. The verbal topology of a group // J. Algebra. — 1977. — Vol. 48. — P. 340—346.

[36] Casals-Ruiz M., Kazachkov I. Elements of algebraic geometry and the positive theory of partially commutative groups // Can. J. Math. — 2010. — Vol. 62, no. 3. — P. 481—519. — arXiv:math.GR/0710.4077.

[37] Casals-Ruiz M., Kazachkov I. On systems of equations over free partially commutative groups: Preprint. — arXiv:math.GR/0810.4867.

[38] Casals-Ruiz M., Kazachkov I. On systems of equations over free products of groups:

Preprint. — arXiv:math.GR/0903.2096.

[39] Champetier C., Guirardel V. Limit groups as limits of free groups: Compactifying

the set of free groups // Israel J. Math. — 2005. — Vol. 146. — P. 1—76. — arXiv:

math.GR/0401042.

[40] Chapuis O. -free metabelian groups // J. Symb. Logic. — 1997. — Vol. 62. — P. 159—174.

[41] Chiswell I. M., Remeslennikov V. N. Equations in free groups with one variable // J. Group Theory. — 2000. — Vol. 3, no. 4. — P. 445—466.

[42] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra Discrete Math. — 2008. — Vol. 1. — P. 80—112. — arXiv:math.

AG/08082522.

[43] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures. III. Equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bull. Math. — 2011. — Vol. 35, no. 1. — P. 35—68. — arXiv:math.AG/10024243.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания [44] Eizenbud D. Commutative Algebra with a View towards Algebraic Geometry.

— Berlin:

Springer, 1995. — (Graduate Texts Math.; Vol. 150).

[45] Gaglione A., Spellman D. Some model theory of free groups and free algebras // Houston J. Math. — 1993. — Vol. 19. — P. 327—356.

[46] Grigorchuk R. I., Kurchanov P. F. On quadratic equations in free groups // Contemp.

Math. — 1992. — Vol. 131, no. 1. — P. 159—171.

[47] Groves D. Limits of (certain) CAT(0) groups. I. Compactification // Algebraic Geometric Topology. — 2005. — Vol. 5. — P. 1325—1364. — arXiv:math.GR/04044440.

[48] Groves D. Limits of (certain) CAT(0) groups. II. The Hopf property and the shortening argument: Preprint. — 2004. — arXiv:math.GR/04088080.

[49] Groves D. Limit groups for relatively hyperbolic groups. I. The basic tools: Preprint. — 2004. — arXiv:math.GR/0412492.

[50] Groves D. Limit groups for relatively hyperbolic groups. II. Makanin—Razborov diagrams // Geom. Topol. — 2005. — Vol. 9. — P. 2319—2358. — arXiv:math.GR/ 0503045.

[51] Guba V. Equivalence of infinite systems of equations in free groups and semigroups to finite subsystems // Mat. Zametki. — 1986. — Vol. 40, no. 3. — P. 321—324.

[52] Guirardel V. Limit groups and group acting freely on Rn -trees // Geom. Topol. — 2004. — Vol. 8. — P. 1427—1470. — arXiv:math.GR/0306306.

[53] Hrushovski E. The Mordell—Lang conjecture for function fields // J. Amer. Math.

Soc. — 1996. — Vol. 9. — P. 667—690.

[54] Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group. I. Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra. — 1998. — Vol. 200, no. 2. — P. 472—516.

[55] Kharlampovich O., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group. II. Systems in triangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra. — 1998. — Vol. 200, no. 2. — P. 517—570.

[56] Kharlampovich O., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math. — 2005. — Vol. 378. — P. 213—318. — arXiv:math.GR/0407110.

[57] Kharlampovich O., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups // J. Algebra. — 2006. — Vol. 302, no. 2. — P. 451—552.

[58] Kotov M. V. Equationally Noetherian property and close properties // Southeast Asian Bull. Math. — 2011. — Vol. 35, no. 3. — P. 419—429.

[59] Lyndon R. C. Groups with parametric exponents // Trans. Am. Math. Soc. — 1960. — Vol. 96. — P. 518—533.

[60] Marker D. Model Theory: An Introduction. — New York: Springer, 2002.

[61] McCool J., Pietrowski A. Some finitely presented subgroups for the automorphism group of a free group // J. Algebra. — 1975. — Vol. 35. — P. 205—213.

[62] Morar P., Shevlyakov A. Algebraic geometry over additive positive monoids. Systems of coefficient free equations // Combinatorial and Geometric Group Theory. Dortmund and Ottawa—Montreal Conferences. Selected papers of the conferences on «Combinatorial and geometric group theory with applications» (GAGTA), Dortmund, Germany, August 27—31, 2007, «Fields workshop in asymptotic group theory and cryptography», Ottawa, Canada, December 14—16, 2007, and the workshop on «Action on trees, 106 Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников non-Archimedian words, and asymptotic cones», Montreal, Canada, December 17—21, 2007 / O. Bogopolski, ed. — Basel: Birkh user, 2010. — (Trends Math.). — P. 261—278.

a [63] Myasnikov A., Remeslennikov V. Exponential groups. 2. Extension of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Int. J. Algebra Comput. — 1996. — Vol. 6, no. 6. — P. 687—711. — arXiv:math.GR/9507203.

[64] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations // J. Algebra. — 2000. — Vol. 234. — P. 225—276. — http://ofim.okno.ru/ ~remesl/articles/algeom2.pdf.

[65] Myasnikov A., Remeslennikov V., Serbin D. Regular free length functions on Lyndon’s

free Z(t)-group F Z(t) // Contemp. Math. — 2005. — Vol. 378. — P. 37—77. — http:

//ofim.okno.ru/~remesl/articles/lyndon.pdf.

[66] Myasnikov A., Romanovskii N. Krull dimension of solvable groups: Preprint. — 2008. — arXiv:math.GR/0808.2932.

[67] Plotkin B. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Sib. Adv. Math. — 1997. — Vol. 7, no. 2. — P. 64—97.

[68] Plotkin B. Varieties of algebras and algebraic varieties // Israel J. Math. — 1996. — Vol. 96, no. 2. — P. 511—522.

[69] Plotkin B. Algebras with the same (algebraic) geometry // Математическая логика и алгебра: Сб. статей. К 100-летию со дня рождения академика Петра

Сергеевича Новикова. — Тр. МИАН. — 2003. — Т. 242. — С. 176—207. — arXiv:

math.GM/0210194.

[70] Razborov A. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and Geometric Group Theory. Edinburgh 1993 / A. J. Duncan, N. D. Gilbert, and J. Howie, eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. — (London Math. Soc. Lect. Notes Ser.;

Vol. 204). — P. 269—283.

[71] Remeslennikov V., St hr R. On the quasivariety generated by a non-cyclic free o metabelian group // Algebra Colloq. — 2004. — Vol. 11. — P. 191—214. — http:// ofim.okno.ru/~remesl/articles/remstohr1.pdf.

[72] Remeslennikov V., St hr R. On algebraic sets over metabelian groups // o J. Group Theory. — 2005. — Vol. 8. — P. 491—513. — http://ofim.okno.ru/ ~remesl/articles/remstohr2.pdf.

Remeslennikov V., St hr R. The equation [x, u]+[y, v] = 0 in free Lie algebras // Int. J.

[73] o Algebra Comput. — 2007. — Vol. 17, № 5/6. — P. 1165—1187. — http://ofim.okno.

ru/~remesl/articles/remstohr3.pdf.

[74] Sela Z. Diophantine geometry over groups. I. Makanin—Razborov diagrams // Publ.

Math. IHES. — 2001. — Vol. 93. — P. 31—105.

[75] Sela Z. Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group // GAFA. — 2006. — Vol. 16. — P. 707—730.

[76] Sela Z. Diophantine geometry over groups. VII. The elementary theory of a hyperbolic group: Preprint.

[77] Shevlyakov A. N. Algebraic geometry over natural numbers. The classification of coordinate monoids // Groups, Complexity Cryptology. — 2010. — Vol. 2, no. 1. — P. 91—111.

[78] Shevlyakov A. N. Commutative idempotent semigroups at the service of the universal algebraic geometry // Southeast Asian Bull. Math. — 2011. — Vol. 35, no. 1. —



Похожие работы:

«УДК 519.7 Долгополик Максим Владимирович Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.01.09 дискретная математика и математическая кибернетика Научный ру...»

«ХИМИЯ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ. 2004. №3. С. 29–33. УДК 634.0.861 ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ДУБИЛЬНОГО ЭКСТРАКТА ИЗ ЛУБА БЕРЕЗОВОЙ КОРЫ Т.В. Рязанова1,2, Б.Н. Кузнецов1*, С.А. Кузнецова1, В.А. Левданский1, Н.А. Чупрова2, Е.Г. Киселев2 Институт химии...»

«Лабораторная работа 4 Интерференция света. Бипризма Френеля. Определение параметров бипризмы Френеля по интерференционной картинке. Н.И. Ескин, И.С.Петрухин Описание и методика проведения опытов подготовлены под редакцией проф. кафедры общей физики МФТИ Локшина Г...»

«РЕФЕРАТ Отчет 110 страниц, 2 таблицы, 40 рисунков, 30 источников, 7 приложений. НИЗКОБАРЬЕРНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ, ПРИБОРЫ ВИДЕНИЯ В МИЛЛИМЕТРОВОМ ДИАПАЗОНЕ ДЛИН ВОЛН, ЦЕНТР КОЛЛЕКТИВНОГО ПОЛЬЗОВАНИЯ Выполнены запланированные научные исследования и работы по развитию Центра коллективного пользования "Физика и технология мик...»

«О РАБОТЕ УЧЁНОГО СОВЕТА VII. Проведено 8 заседаний Учёного совета.На заседаниях Учёного совета рассматривались вопросы: Утверждение отчётов о проделанной за 2015 год работе по грантам Президента РФ поддержки молодых...»

«Бармина Екатерина Владимировна Наноструктурирование твердых тел при абляции субнаносекундными лазерными импульсами в жидкостях (01.04.21 – лазерная физика) Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математическ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина Сибирское отделение ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера К.В. Губин, Е.И. Жмуриков, П.В. Логачев, В.Б.Фенелонов, С.В. Цыбуля О СТАБИЛЬНОСТИ И ПРОЧНОСТИ КОНВЕРТОРА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ НЕЙТРОННОЙ МИШЕНИ НА ОСНОВЕ ИЗОТОПА УГЛЕРОДА 13С ИЯФ 2005-1 Новосибирск О стабильности и прочности конвертор...»

«Введение в физику низкотемпературной плазмы Ключарев Андрей Николаевич Мишаков Виктор Григорьевич Тимофеев Николай Алесандрович Введение Понятие Физика низкотемпературной плазмы(ФНТП) включает в себя ряд разделов, посвященных ее основным свойствам, происходящим в ней элементарным и коллективным процессам, технологическим при...»

«Прикладная фотоника №2 УДК 681.5.08 Д.В. Павлов Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, Великий Новгород, Россия МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА ДЛЯ СТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Кратко описана математическая модель волоконно-оптического...»

«Марк Маккартни Уильям Томсон, лорд Кельвин, король викторианской физики В наши дни Колледж Сквер в Белфасте, столице Северной Ирландии, – всего лишь ничем не примечательный ряд домов, выходящих окнами магазинов на улицу, по которой идет поток автомашин. Но именно в одном из этих домов 26 июня 1824 г. родился Уильям Томсон, поздне...»

«Дистанционная подготовка Abitu.ru ФИЗИКА Статья №4. Законы сохранения импульса и энергии. Теоретический материал. В этой статье мы рассмотрим задачи на применение закона сохранения импульса и закона сохранения энергии. Система тел называется замкнутой, если на эту систему не действуют внешние с...»

«VIII Всероссийская конференция с международным участием "Горение твердого топлива" Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, 13–16 ноября 2012 г. УДК 536.46:532.517.4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ВРЕДНЫХ ВЕЩЕСТВ В КА...»

«Кожемова Карина Руслановна Синтез новых пирролсодержащих мономеров и полимеров реакцией (поли)гетероциклизации Специальность 02.00.06высокомолекулярные соединения диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель: доктор химических наук, профессор Мусаев Юрий Исрафилович...»

«asopis pro pstovn matematiky Svatopluk Fuk Спектральный анализ нелинейных oператoрoв asopis pro pstovn matematiky, Vol. 100 (1975), No. 2, 179192 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108771 Terms of use: © Institute of Mathematics AS CR, 1975 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provid...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2010 Т. 2 № 1 С. 83–90 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ЖИВЫХ СИСТЕМ УДК: 577.332:544.272 Моделирование спирализации пептидов, содержащих в своем составе аспарагиновую или глутаминовую кислоту М. С. Кондратьевa, А. В. Кабанов, В. М. Комаров Учреждение...»

«УДК 004.67 М.Ю. Пазюк, проректор, д.т.н. профессор Н.А. Миняйло, доцент, к.т.н. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ СОДЕРЖАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТОВ ЖЕЛЕЗОРУДНОГО КОНЦЕНТРАТА К НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ Запорожская государственная инжен...»

«$ e eM T h иТе МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ! — "е •" = № 4 — 1964 ^т-яя1 ', — НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ Л. П. Ф И Л И П П О В ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ ТВЕРДИХ И ЖИДКИХ МЕТАЛЛОВ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ Данное сообщение представляет собой краткий обзор работ, выполненных груп­ пой сотрудников кафедры молекулярн...»

«Итоговый отчет по выставке 2015 года 22–30.10 ВЫСТАВКА "ХИМИЯ" – КРУПНЕЙШЕЕ МЕРОПРИЯТИЕ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ РОССИИ, МЕСТО ВСТРЕЧИ РОССИЙСКИХ И ЗАРУБЕЖНЫХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ И ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ, ПОСТАВЩИКОВ ПЕРЕДОВЫ...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева УТВЕРЖДАЮ Ректор РХТУ им. Д.И. Менделеева _ В.А. Колесников Программа краткосрочного повышения квалификации преподавателей и научных работников высшей школы по нап...»

«ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЖУРНАЛ № 1(22)' 2004 РАЗДЕЛ: НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ – SCIENTIFIC PUBLICATION БИОГЕОХИМИЯ СЕЛЕНА И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ В ПРОФИЛАКТИКЕ ЭНДЕМИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ЧЕЛОВЕКА Д.б.н. Ермаков В.В. Институт геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского РАН Тезисы доклада на общем собрании Отделения наук о Земле РАН 15....»

«ГОДОВОЙ ОТЧЕТ по результатам деятельности за 2011 год ГОДОВОЙ ОТЧЕТ 2011 открытое акционерное общество "АНГАРСКИЙ ЭЛЕКТРОЛИЗНЫЙ ХИМИЧЕСКИЙ КОМБИНАТ" УТВЕРЖДЕН решением Годового Общего собрания акционеров ОАО "АЭХК" (протокол от 27 июня 2012 года № 3) ПРЕДВАРИТЕЛЬНО УТВЕРЖДЕН решением Совета директоров ОАО "АЭХК" (протокол от...»

«ЛЫГО Ольга Николаевна ПЕРВИЧНЫЕ ФОТОХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В 1,2-ДИГИДРОХИНОЛИНАХ: ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ ДИГИДРОХИНОЛИНА И СОСТАВА СРЕДЫ. 02.00.04 – физическая химия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва 2011 Работа вы...»

«УДК 553.411+550.84 ОСОБЕННОСТИ СОСТАВА ОРГАНИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕДКИХ МЕТАЛЛОВ В ДРЕВНИХ ЧЕРНОСЛАНЦЕВЫХ ФОРМАЦИЯХ СИБИРИ Евсеев В.В., Немеров В.К.1, Серебренникова О.В. Институт химии нефти СО РАН г. Томск, Россия. Институт геохимии СО РАН г. Иркутск, Россия. Проанализирован состав органического...»

«О НЕКОТОРЫХ ПАРАМЕТРАХ КАЙНОЗОЙСКОГО ВУЛКАНИЗМА В БАЙКАЛЬСКОЙ РИФТОВОЙ ЗОНЕ К.Г. Леви Институт земной коры СО РАН, Иркутск, Россия e-mail: levi@crust.irk.ru Детальные исследования вулканических образований Саяно-Байкальской...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА Геология и геофизика, 2015, т. 56, № 9, с. 1643—1663 ПЕТРОЛОГИЯ, ГЕОХИМИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ УДК 550.8.14 ФЛЮИДНЫЙ РЕЖИМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ГРАНИТНЫХ И ПЕГМАТИТОВЫХ МАГМ: ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С.З. Смирнов...»

«Оригінальні дослідження УДК: 616.8-089;617.51;616-006.04 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ВНУТРИАРТЕРИАЛЬНОГО ВВЕДЕНИЯ ХИМИОПРЕПАРАТОВ В СОСТАВЕ КОМПЛЕКСНОГО ЛЕЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ С ГЛИОМАМИ ГОЛ...»

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет Кафедра общей физики Лабораторный практикум по молекулярной физике С.А.Киров, А.М. Салецкий, Д.Э. Харабадзе Изучение явлений переноса в воздухе Задача №219 Москва 2013 -2Лабораторный практикум по молекулярной физике С.А.Киров, А.М. Салецкий, Д.Э. Харабадзе...»

«Hilanders Компания Альфа Лаваль Крупнейший в мире поставщик оборудования и технологий для различных отраслей промышленности и специфических процессов. С помощью наших технологий, оборудования и сервиса мы помогаем заказчикам оптимизировать их прои...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.