WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 


«оглы Условная оптимизация с ограничениями в виде уравнений с монотонными операторами ...»

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Кафедра исследования операций

На правах рукописи

Исмаилов Исмаил Габулла оглы

Условная оптимизация

с ограничениями в виде уравнений

с монотонными операторами

01.01.09 – Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2016

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Спектр практических проблем, которые приводят к задачам условной оптимизации при наличии связей в виде граничных или начально-краевых задач для уравнений с частными производными, очень широкий. Систематическое изучение таких задач начинается с 60-х годов. Ранее исследования в этой области концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач. Благодаря развитию методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др., в последующий период стало возможным проведение общих исследований в этом направлении. Основные результаты того периода систематизированы в монографиях А.Г. Бутковского 1 и Ж.-Л. Лионса2.

В книгах Ж.-Л. Лионса и К.А. Лурье3 обращается внимание на специфику задач оптимизации старших коэффициентов эллиптических уравнений второго порядка, на аспектах разрешимости и вывода необходимых условий оптимальности. В работах М. Мюрата4, Л.В. Корсаковой5, Ю.С. Осипова и А.П. Суетова6 и в работе автора [2] приведены примеры задач оптимизации старших коэффициентов, в которых отсутствует оптимальный коэффициент. В целом, общие

Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.:

Наука, 1965.

Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

Murat M.F. Un contre-example pour de problm du contrle dans les coeficient//CRAS. Sr. A. Paris, 1971.

V. 273. P. 708-711.

Корсакова Л.В. Пример несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управлении//Проблемы мат. анализа ЛГУ. 1977. Вып. 6. С. 60-67.

Осипов Ю.С., Суетов А.П. Об одной задаче Ж.-Л. Лионса//ДАН СССР. 1984. Т. 276. № 2. С. 288-291.

теоремы разрешимости задач оптимизации старших коэффициентов удалось доказать после разработки В.В. Жиковым, С.М. Козловым, О.А. Олейник7, С.

Спаньолой8 и Е. де Джорджи9 и др. теории сходимости обратных операторов – G-сходимости. Эта теория показала, что множество скалярных старших коэффициентов не замкнуто в G-топологии и соответствующее расширение экстремальной задачи (G-замыкания класса скалярных коэффициентов), предложенное У.Е. Райтумом10, приводит к задачам оптимизации в классе матриц. В примере 1 (см. ниже) это означает, что свойства мембраны из изотропного материала могут быть сколь угодно близки к свойствам мембраны из анизотропного материала. Это обстоятельство углубляет важность разработки методов для поиска оптимальных матриц.

Упомянутые Ж.-Л. Лионсом проблемы на пути получения необходимых условий оптимальности решены в работах автора [1-4,7]. Там же получены условия оптимальности, установлена разрешимость некоторых классов задач.

Вопросы существования оптимальной области задания граничных задач рассматривались в работах Ю.С. Осипова и А.П. Суетова, Л.А. Муравья11, А.К.

Керимова12 и др.

Жиков В.В., Козлов С.А., Олейник О.А., Ха-Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов//УМН. 1979. Т. 34. Вып. 5. С. 65-133.

Spognolo S. Convergence in energy for elliptic operators//Proc. 3-rd Symp. Numer. solute. Part. Diff. equations. College park. 1976. P. 469-498.

De Giorge E. Г-convergenza e G-convergenza// Boll. Un. Mat. Ital. 14-A. 1977. № 3. P. 213-220.

Райтум У.Е. Расширение экстремальных задач, связанных с линейным эллиптическим уравнением//ДАН СССР. 1978. Т. 243. № 2. С. 281-283.

Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами//ДАН СССР. 1984. Т. 278. № 3. С. 541-544.

Керимов А.К. Задачи оптимизации со свободными границами// ДАН СССР. 1982. T. 266. № 3. С.

545-548.

–  –  –

Здесь R 2 – некоторая область, а 1, 2 L () – известные функции.

Пример 2. Задача минимизации жесткости кручения или крутящего момента, соответствующего единичной степени кручения, заключается в минимизации функционала J (u ) 2 u ( x)dx на множестве областей { | П} задания

–  –  –

Здесь П R 2 – некоторая область.

Пример 3. Пусть в задаче З1 B B1 V, K K1 K 2, K1 B1, K 2 V, A(k )u A(k1 )u, f (k ) k2.

Тогда операторное уравнение приобретает вид A(k1 )u k2, и мы получаем задачу условной оптимизации с ограничением в виде операторного включения A(k1 )u K 2. В частности, если K1 B1, V R 2, а K 2 R 2 обозначает первую четверть, то задача З1 переходит в задачу матема

–  –  –

Flegel M.L. Constraint Qualifications and Stationarity Concepts for Mathematical Programs with Equilibrium Constrain. Dissertation. Institute of Applied Mathematics and Statistics. University of Wrzburg. 2005.

Ya-Ping Fang, Nan-Jing Huang. Well-posedness for vector variational inequality and constrained vector optimization// Taiwanese Journal of mathematics. 2007. V. 11. №5. P. 1287-1300.

Lignola M.B., Morgan J. Well-posedness for optimization problems with constraints dened by variational inequalities having a unique solution// Journal of Global Optimization. 2000. V. 16. №1. P. 57-67.

Цели исследования.

Целью диссертации является исследование двух основных вопросов, связанных с задачами условной оптимизации со связями в виде операторных уравнений:

1) существование оптимального решения;

2) методы поиска решения: вывод необходимых условий оптимальности и построение численных методов минимизации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказываются (разными методами) условия оптимальности для общей задачи условной оптимизации со связью в виде операторных уравнений, в частности, для задач оптимального управления эллиптическими системами. Из доказанных необходимых условий выводятся принцип максимума Понтрягина и правило множителей Лагранжа для этих задач. Для одного класса невыпуклых задач доказывается необходимое и достаточное условие оптимальности, т.е. на них обобщается теорема Каруша-Куна-Таккера. Доказаны ряд теорем разрешимости оптимизационных задач. Построена теория оптимального выбора области задания граничных задач.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации построена теория задач условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений, приведены общие методы решения таких задач. Вопросы разрешимости, непрерывной зависимости решения от данных задачи и методы решения изложены с единой позиции. Обращено внимание на возможные усиления теорем. Некоторые ранее известные утверждения теории оптимизации получены как следствия построенной теории.

Практическая ценность работы заключается в том, что исследования некоторых типов задач доведены до этапа использования пакетов прикладных программ. Это относится к задачам оптимизации области задания граничных задач, оптимизации коэффициента нелинейного уравнения четвертого порядка.

В некоторых случаях выписываются явные формулы для решений задач.

Методология и методы исследования. Теоремы о существовании экстремума – оптимального коэффициента или правой части – в работе доказываются путем установления компактности множества решений уравнения состояния двумя способами:

1) через их непрерывную зависимость от управляющего параметра;

2) через разрешимость обратных задач.

Для исследования задач о выборе оптимальной области задания эллиптических систем используется идея метода штрафных функций, с помощью которого эта задача приводится к задаче оптимального выбора их младших коэффициентов. Вводится понятие невырожденной задачи, устанавливается критерий ее разрешимости. Для доказательства разрешимости одного класса задач с нелинейным уравнением состояния непосредственно строится минимизирующая последовательность, доказывается ее сходимость.

Доказываются необходимые условия оптимальности, характеризующие решения оптимизационных задач. Для одних типов задач формула решения получаются из условий оптимальности, для решения других предлагаются численные методы.

Апробация результатов. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на научной конференции «XXI Гагаринские чтения»

(Москва, 1995), на международной конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (МГУ, 1996), на международной конференции «Интеллектуальные системы» (Санкт-Петербург, 1996).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах профессора Ф.П. Васильева на факультете ВМК МГУ, профессора Б.Т. Поляка в ИПУ РАН, профессора В.В. Арутюнова в РУДН и профессора А.В. Фурсикова на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. По теме диссертации имеется восемь публикаций. Основные результаты опубликованы в шести статьях из списка ВАК РФ [1-4, 7,8].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 72 наименований.

Объем работы составляет 112 страниц.

Основное содержание работы

В первой главе рассматриваются общая задача условной оптимизации с ограничениями в виде уравнений с монотонными операторами в банаховых пространствах.

Определение. Оператор A : V V называется сильно монотонным, если найдется такое число 0, что при всех u, v V выполнено неравенство

–  –  –

при всех u V выполнено неравенство || u ||2 Au, u.

Для задачи З1 справедливо следующее условие оптимальности.

Лемма 1. Пусть при каждом k K оператор A(k ) сильно монотонный, функционал Лагранжа Н (k, u, w) A(k )u f (k ), w J (k, u) дифференцируем на множестве пар (k, u) K U ( K ), где U (k ) {v V | || v || 1 || f (k ) A(k )0 ||}, A(k )u – отображение, дифференцируемое по u, а оператор А(k ) и функционал f (k ) – липшицевые.

Тогда оптимальная пара ( p, v) в задаче З1 удовлетворяет неравенству H ( p, v, w) H (k, v, w) o(|| p k ||B ), где w – решение сопряженного уравнения H u ( p, v, w) 0.

Эта лемма позволяет, в частности, получить необходимое условие оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина. Например, для решения задачи из примера 1 справедлива следующая Теорема 1. Пусть J (u ) – функционал, дифференцируемый на H 0 (), p( x) K реализует минимум функционала J (u) на множестве K, а v( x) – соответствующее ему решение граничной задачи

–  –  –

Лемма 2. Пусть A(k ) – сильно монотонный оператор при всех k K, J (k, u) – функционал, дифференцируемый на множестве пар (k, u) K U (k ), где U (k ) {v V | || v || 1 || f (k ) A(k )0 ||}, функционал Н (k, z, u, w, ) дифференцируем по u и k, oператор А(k) и функционал f (k ) – липшицевые, ( p, d, v) – оптимальная тройка в задаче З2, a w – решение сопряженного уравнения

H u ( p, d, v, w, ) 0 при некотором G. Тогда ( p, d, v) удовлетворяет следующему условию оптимальности:

H ( p, d, v, w, ) H (k, z, v, w, ) o(|| p k ||B ), k K, z Z.

Дополнительное ограничение (5) обобщает функциональные ограничения в виде равенств и неравенств.

В частности, если K B – выпуклое множество, а Z G – конус, то из леммы 2 следует:

1) H k ( p, d, v, w, ), p k 0, k K.

2) а), F ( p, v) 0 ; б), z 0, z Z.

Условие 1 – это условие стационарности функционала Лагранжа. Равенство 2а выражает свойство дополняющей нежесткости. Неравенство 2б показывает, что принадлежит конусу, сопряженному к Z. Если G – сепарабельное гильбертово пространство, а Z – множество векторов с неотрицательными компонентами, то Z – самосопряженный конус. В этом случае условие 2б выражает неотрицательность множителей Лагранжа, соответствующих ограничениям в виде неравенств. В этих предположениях условия 1 и 2 совпадают с условиями принципа Лагранжа14. Из вида функционала (6) следует равенство H z ( p, d, v, w, ). (7) Учитывая (7) в условиях 2а и 2б, легко заметить, что они выражают условия оптимальности вида (4), сформулированные для задачи минимизации функционала Лагранжа (6) на конусе Z. Условие 1 означает запись вариационного неГалеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989.

–  –  –

где w – решение сопряженного уравнения B*w J (v).

Определение. Говорят, что оператор А : V V не меньше оператора В : V V ( А В), если для любого u V выполнено ( A B)u, u 0.

Определение. Функционал G :{ A : V V } R1 назовем монотонно невозрастающим на множестве операторов {A : V V }, если неравенство А В влечет за собой неравенство G( В) G( А).

Следствие 3. Пусть М – выпуклое подмножество множества линейных коэрцитивных самосопряженных операторов, G( A) – монотонно невозрастающий выпуклый функционал. Тогда для того чтобы оператор B М доставлял минимум функционала J1 ( A, u ) Au, u G ( A) при ограничении Au f, необходимо и достаточно выполнение условия ( Bu( B), u( B) G( B) max[ Au( B), u( B) G( A)].

AM Во второй главе доказываются теоремы о разрешимости минимизационных задач с ограничениями в виде эллиптических дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков.

–  –  –

где P R r, L – непрерывный дифференциальный оператор второго порядка, действующий из пространства H 0 ( П ) в сопряженное с ним пространство H 1 ( П ), В – функция 2n r 1 переменных, измеримая по x и непрерывная по всем остальным аргументам, J : H 0 ( П ) R1, f H 1 ( П ).

–  –  –

Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

Лемма 4. а) Предположим, что в задаче З4 P – связное множество и для каждого q Q существуют такие функции p 0 ( x, q), p1 ( x, q) K, что функции ( x, q), ( x, q), определенные по формулам

–  –  –

Carleman T. ber ein minimal problem der mathematischen physik// Mathematische Zeitschrift. 1918. V.

1. № 2. P. 208-212.

Acker A. A. Free boundary optimization problem// SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1978. V. 9.

№ 6. P. 1179-1191.

Zolesio J.-P. The material derivative (on speed) method for shape optimization// Optimization of Distributed Parameter Structures. Sijthoff and Nordhoff. Alpen aan den Rijn, Netherlands 1980. P. 1089-1151.

Zolesio J.-P. Domain variational formulation for free boundary problems// Optimization of Distributed Parameter Structures. Sijthoff and Nordhoff. Alpen aan den Rijn, Netherlands, 1980. P. 1152-1194.

Осипов Ю.С., Суетов А.П. Об одной задаче Ж.Л. Лионса// Доклады академии наук СССР. 1984. Т.

276. № 2. С. 288-291.

Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами// Доклады академии наук СССР. 1984. T. 278. №3. С. 541-544.

–  –  –

функционала f H m П на пространство H 0m ().

Теорема 7. Пусть A – линейный коэрцитивный ограниченный оператор.

Тогда существует единственное решение u0 граничной задачи (15), соответ

–  –  –

при. Тогда 0 – решение задачи З7.

Таким образом, решение уравнения (15) с коэффициентом (14) можно построить, решая уравнения (15) с коэффициентами k ( П \ ) и переходя к

–  –  –

можно выбирать по требуемому допустимому отклонению от нуля функции u( x) в подобласти П \. Это означает, что для нахождения -оптимальной области достаточно один раз решить задачу З8 для соответствующего значения.

Функционал Лагранжа для задачи З8 имеет вид Н1 k, u, w Au ku f, w H m ( П ) J u.

–  –  –

в ограниченной области Rm, m 1, с гладкой границей С 2 при m 2, соответствующем классу коэффициентов K {k L () |1 ( x) k ( x) 2 ( x) п.в. x }. (21) Здесь 1, 2 L () – известные функции.

Устанавливается однозначная разрешимость граничной задачи ((19),(20)) для любого k K, а затем разрешимость минимизационной задачи. Для решения минимизационной задачи предложен численный метод, доказана его сходимость, найдено необходимое условие оптимальности в виде функционального уравнения.

Определение. Будем говорить, что задача ((19),(20)) удовлетворяет условию (А), если функция а( х, k, q) равномерно липшицева по переменной q с константой L и выполняются следующие неравенства: 0 а( х, p, q) для почти всех x, p, q R1, | g ( x) | M 2 ( Lhd )1 для почти всех x.

Определение.

Будем говорить, что задача ((19),(20)) удовлетворяет условию (В), если функция а( x, p, q) непрерывно зависит от p и q, измерима по х, монотонно не возрастает по q и выполнены следующие неравенства:

0 а ( х, k, q) для почти всех x, p, q R 1, кроме того, функция g неотрицательна почти всюду на.

Теорема 12. Пусть f ( x, q, r ) – непрерывная функция переменных q и r, измерима по х, монотонно не возрастает по r и монотонно не убывает по q, функция а( x, p, q) строго вогнута по p, а граничная задача ((19),(20)) удовлетворяет условиям (А) и (В). Тогда

1) задача ((19),(20)) имеет единственное решение для k K ;

2) на множестве (21) функционал F достигает своего минимума.

Благодарности. Я выражаю глубокую благодарность научному руководителью доценту В.В. Морозову, направившему меня на занятие этой тематикой.

Положения, выносимые на защиту.

1. Для задачи оптимизации оптимизации в банаховых пространствах с ограничением в виде уравнений с сильно монотонными операторами доказываются необходимые условия оптимальности в форме принципа Лагранжа.

2. Задача выбора оптимальной области задания граничных задач для эллиптической системы сведена к задаче оптимизации коэффициентов. С использованием принципа Лагранжа разработан численный метод решения.

3. Разработан итерационный метод поиска оптимальных коэффициентов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.

Работы автора по теме диссертации.

1. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи оптимизации линейных коэрцитивных операторов//Известия вузов. Приборостроение.1994. №7-8. С. 52-55.

2. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи управления коэффициентами для эллиптических уравнений высокого порядка// Вестн. Моск. Ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1996. №3. С. 22-30.

3. Исмаилов И.Г., Морозов В.В. Некоторые задачи оптимального проектирования и сведение их к антагонистической игре// Вестн. Моск. Ун-та.

Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1998. № 2. С. 21-25.

4. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений. Принцип максимума Понтрягина// Вестн. Моск. Ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1998. № 3. С. 31-38.

5. Исмаилов И., Муравей Л.А., Эйниев Э. Некоторые задачи оптимизации конструкций// Труды международной конференции "Интеллектуальные системы". 1996. Т.1. С. 221-226,

6. Ismailov I., Muravey L. Some problems of coefficient control for the elliptic equations of high order//

Abstract

of international conference dedicated to the memory of academician A.N. Tikhonov. М.: Издательство МГУ, 1996. С.81.

7. Ismailov I.G. On optimality conditions in optimization problems on solutions of operator equations. Computational Mathematics and Modeling. 1999.

V. 10. № 1. P. 44-54.

8. Ismailov I.G. Optimality conditions in control problems for systems described

Похожие работы:

«Волошина Татьяна Геннадьевна ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ПОЛИПРЕДИКАТИВНОГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПАРАТАКСИСОМ И ГИПОТАКСИСОМ В ПОЗИЦИИ КОММУНИКАТИВНОГО ШАГА (НА МАТЕРИАЛЕ АНГЛОЯЗЫЧНЫХ СЦЕНАРНЫХ ТЕКСТОВ) Статья раскрывает особенности функционирован...»

«Отчет АУ УР "Региональный центр информатизации и оценки качества образования" за 2013 год "УТВЕРЖДАЮ" Директор АУ УР "РЦИ и ОКО" Н.К. Медведева Отчет о деятельности Автономного учреждения Удмуртской Республики "Региональный центр информатизации и оценки качества образования" и выполне...»

«1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.03 "Теория вероятностей и математическая статистика"1.1. Область применения программы Рабочая программа является частью программы подготовки специалистов среднего звена (ППССЗ) в соответствии с ФГОС по специальности СПО09.02.03 "Программирование в компь...»

«ipLDK-60/100/300/300E Руководство по программированию ipLDK-100/300/300E Руководство по программированию Содержание Таблица аббревиатур и ключевых слов Глава 1. Введение 1.1. СТРУКТУРА РУКОВОДСТВА ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ 1.2. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ДАННЫМ РУКОВОДСТВОМ Глава 2. Функции системы 2.1. ФУ...»

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики Образовательный комплекс "Параллельные численные методы" Лабораторная работа Вычисление простых чисел Кустикова В.Д., Сиднев А.А., Сысоев А.В. При поддержке компании Intel Нижний Новгород Содержание ВВЕДЕНИЕ БЛАГОДАР...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2015 Вычислительные методы в дискретной математике № 4(30) ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ УДК 519.8 АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С ЛОГИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ L-РАЗБИЕНИЯ1 А. В. Адельшин, А. А. Колоколов Институт...»

«Департамент образования Вологодской области Вологодский институт развития образования Центр информатизации и оценки качества образования ОСНОВЫ РАБОТЫ С ПРОГРАММНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ ДЛЯ MAC OS Методические рекомендации Вологда УДК Печатается по реш...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.