WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Н. И. Александрова СЕМИНАРЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Н. И. Александрова

СЕМИНАРЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Новосибирск

УДК 517.7

ББК 22.143

А 46

Александрова Н. И. Семинары по линейной алгебре и

дифференциальной геометрии: Учеб. пособие / Новосиб. гос.

ун-т. Новосибирск, 2008. 44 с.

В пособии изложены необходимые для решения задач теоретические сведения по курсу линейной алгебры и дифференциальной геометрии, а также приведены задачи, используемые на практических занятиях на физическом факультете Новосибирского государственного университета во II семестре 1-го курса. На данный курс отводится 16 практических занятий, из которых одно посвящено контрольной работе.

Предназначено для студентов 1-го курса и преподавателей физического факультета.

Печатается по решению методической комиссии физического факультета.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н. А. Кудрявцева © Новосибирский государственный университет, 2008 © Александрова Н. И., 2008 Семинар 1. КРИВЫЕ: УРАВНЕНИЯ,

КАСАТЕЛЬНАЯ, ДЛИНА

Определение. Элементарная кривая есть образ отрезка [ a, b] при взаимно однозначном и непрерывном отображении F : [ a, b ] R 3.



Способы задания кривых.

1)Параметрический: r = r (t ) = { x(t ), y (t ), z (t )}, a t b, где x(t ), y (t ), z (t ) – непрерывные числовые функции, заданные на отрезке [ a, b].

2)Явный: y = y ( x), z = z ( x), x1 x x 2.

3)Неявный: ( x, y, z ) = 0, ( x, y, z ) = 0, где { x, y, z} R 3 и функции и удовлетворяют условиям:

x y z = 2.

rang x y z Определение. Говорят, что кривая принадлежит классу регулярности C n (n = 1,2,..., ), если её можно задать r = { x(t ), y (t ), z (t )}, a t b, формулой вида где x(t ), y (t ), z (t ) C, причём r (t ) 0 для всех t [ a, b]. Кривая n называется гладкой, если она принадлежит классу C 1.

Определение. Прямая называется касательной к кривой в данной её точке, если она является предельным положением секущей, проходящей через данную точку и другую точку кривой, неограниченно приближающуюся к данной.

Теорема о касательной. Гладкая элементарная кривая имеет в каж

–  –  –

Определение. Параметр t на кривой r = r (t ), a t b называется натуральным, если с точностью до постоянного слагаемого он равен длине дуги этой кривой, отсчитываемой (со знаком) от какой-нибудь её точки в каком-нибудь выбранном направлении. Обычно его обозначают s.

Определение. Нормальной плоскостью кривой в точке P называется плоскость, проходящая через точку P ортогонально касательной в этой точке.

Определение. Нормалью плоской кривой в точке P называют прямую, расположенную в её плоскости, ортогональную касательной в этой точке.

Задачи

1.Круг радиуса a катится по прямой без скольжения.

Составить уравнение траектории точки М, жёстко связанной с кругом и находящейся на расстоянии d от его центра. Такие кривые называются циклоидами.

2.Кривой Вивиани называется линия пересечения боковой поверхности кругового цилиндра радиуса R и сферы радиуса 2 R, центр которой находится на образующей цилиндра.

Составить параметрическое уравнение кривой Вивиани.

Указание. Принять за начало координат центр сферы, за ось z образующую цилиндра. Положить y = R sin t.

3.Составить уравнение касательной и нормали к следующим кривым:

a) r = { a cos t, b sin t}, 0 t 2 ;

{ }

b) r = a (t + t 1 ) / 2, b(t t 1 ) / 2, t 0 ;

c) r = { at cos t, at sin t }, t.

4.Составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к следующим кривым:

a) r = {t 3 t 2 5, 3t 2 + 1, 2t 3 16} в точке t = 2 ;

b) r = { R (1 + cos t ), R sin t, 2 R sin ( t 2)}, / 2 t / 2.

5.Вычислить длину дуги следующих кривых:

c) r = {a cos 3 t, a sin 3 t}, 0 t 2 ;

d) r = { a (t sin t ), a(1 cos t )}, 0 t 2 ;

e) r = { a sh t, a ch t, at}, 0 t t 0 ;

f) y = a ch( x a ), 0 x x0.

6.Найти выражение длины дуги кривой, заданной уравнением = ( ) в полярных координатах, от угла 1 до угла 2.

7.Репараметризовать кривые натуральным параметром:

g) r = { a cos t, a sin t, bt} ;

h) r = { ch t, sh t, t}.

Семинар 2. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ

–  –  –

Семинар 3. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ.

ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Элементарной поверхностью называется образ плоской области U при непрерывном взаимно однозначном отображении F : U R 3.

Способы задания поверхности.

r = r (u, v) =

1)Параметрическое задание:

= { x (u, v), y (u, v), z (u, v)}, где r (u, v) – непрерывная векторфункция. При этом u, v изменяются в области на плоскости и называются криволинейными координатами на поверхности.

2)Явное задание: z = f ( x, y ), где f – непрерывная функция, определенная в некоторой области.

3)Неявное задание: ( x, y, z ) = 0, где grad 0.

Определение. Если r (u, v) – непрерывно дифференцируемая вектор-функция и ru rv 0, то параметризация F называется регулярной.

Определение. Точка r0 на поверхности называется особой, если в этой точке ru rv = 0 в случае поверхности, заданной параметрически, и grad = 0 в случае поверхности, заданной неявно.

–  –  –

Определение. Нормальным сечением поверхности F в точке P называется линия пересечения поверхности с произвольной плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке P.

Определение. Нормальной кривизной поверхности F в точке P в направлении вектора = ( 1, 2 ) называется кривизна нормального сечения этой поверхности в точке P в данном направлении.

Утверждение. Нормальная кривизна поверхности F в точке P в направлении = ( 1, 2 ), = 1 вычисляется по формуле k ( P, ) = L( 1 ) 2 + 2M 1 2 + N ( 2 ) 2 = II ( ), где II ( )

– вторая квадратичная форма, L = (ruu, n ), M = (ruv, n ), N = (rvv, n ) – её коэффициенты, n = [ ru rv ] ru rv – нормаль к поверхности. Если 1, то k ( P, ) = II ( ) I ( ).

Утверждение. Для произвольной точки P F справедливо утверждение: либо существуют два взаимно ортогональных направления, называемых главными направлениями, в которых k ( ) имеет экстремальные значения k1 = min k ( ),

–  –  –

Oпределение. Геодезическая кривизна линии L в точке Р по абсолютной величине равна кривизне в этой точке проекции линии L на касательную плоскость к F, проведенную в точке Р. Вычисляется по формуле k g = (rtt, rt, n ) rt.

Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если во всех её точках k g = 0. Это условие эквивалентно следующему: главная нормаль линии в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности в этой же точке.

Утверждение. Через каждую точку поверхности в заданном направлении проходит единственная геодезическая линия.

Теорема Менье. Нормальная кривизна линии L в произвольной точке P равна кривизне нормального сечения поверхности F, проходящей через точку P в направлении линии L.

–  –  –

1.Найти геодезическую кривизну винтовых линий геликоида r = { u cos v, u sin v, av)}.

2.Найти геодезические линии следующих поверхностей:

a) r = { u cos v, u sin v, av)} (геликоид);

b) x 2 + y 2 = z 2 (круговой конус);

c) r = a{sin u cos v, sin u sin v, ln tg u 2 + cos u} (псевдосфера);

d)куб.

–  –  –

Определение. Пусть V n – векторное пространство размерности n над полем вещественных или комплексных чисел.

Скалярным произведением в V n называется отображение, которое каждой паре векторов x, y V n ставит в соответствие число ( x, y ) (действительное или соответственно комплексное) и удовлетворяет следующим аксиомам:





1) ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) для любых чисел, и любых векторов x, y, z V n (линейность по первому аргументу);

2) ( x, y ) = ( y, x ), где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3) ( x, x ) 0 для любого x V n, причём ( x, x ) = 0 если и только если x = 0 (положительная определенность).

Определение. Векторное пространство V n со скалярным произведением над полем вещественных чисел называется евклидовым, а над полем комплексных чисел – унитарным (эрмитовым).

Определение. Пусть e1,..., en – базис в V n, где V n – унитарное пространство. Тогда скалярное произведение n n

–  –  –

При этом векторы z1,..., zk ортонормированны и их линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой векторов x1,..., x k.

Теорема (неравенство Коши – Буняковского). Для любых двух векторов x, y векторного пространства со скалярным произведением имеет место неравенство ( x, y ) x y, причём равенство достигается лишь в случае, когда векторы x, y линейно зависимы.

Теорема (неравенство треугольника для векторов).

x+ y x + y.

Теорема. Определитель матрицы Грама любой системы векторов x1,..., xk в евклидовом пространстве равен квадрату k -мерного объема параллелепипеда, натянутого на векторы x1,..., xk.

–  –  –

(1, 1, 1, 2), (1, 0, 1, 1).

Дополнить эту систему векторов до ортогонального базиса.

5.Подпространство P евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе задано системой линейных уравнений. Найти какой-либо ортонормированный базис в P :

a) x1 x2 x3 = 0 ;

b) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ;

c) x1 x2 x3 x4 = 0, x1 2 x2 + x3 + 4 x4 = 0, x1 3x3 6 x4 = 0.

6.Найти какой-либо ортонормированный базис в подпространстве евклидова пространства, натянутом на систему векторов, заданных в некотором ортонормированном базисе:

a) (101, 101, 99, 99 ), ( 99, 101, 101, 99 ), (101, 99, 99, 101) ;

b) ( 29, 11, 19, 1), (101, 99, 51, 49), ( 52, 48,51, 49 ).

7.Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки векторов (1, 1, 2, 0 ), ( 1, 1, 1, 3).

8.В пространстве (3) многочленов степени не выше

–  –  –

i, j = 1,..., n.

Определение. Матрица называется эрмитовой, если A = A, т. е. aij = a ji.

Определение. Матрица называется косоэрмитовой, если A = A, т. е. aij = a ji.

Определение. Матрица U называется унитарной, если U U = UU = E.

Определение. Матрица Q называется ортогональной, если Q Q = QQ T = E.

T Теорема. Пусть A – эрмитова матрица. Тогда найдется унитарная матрица U такая, что U AU = D – диагональная матрица.

Замечание. Можно показать, что матрица U состоит из ортонормированных собственных векторов матрицы A, расположенных в виде столбцов, а матрица D – из собственных чисел матрицы A.

Задачи

оператор f переводит векторы a1 = (0, 0, 1),

1.Пусть a2 = (0, 1, 1), a3 = (1, 1, 1) ортонормированного базиса в векторы b1 = (1, 2, 1), b2 = (3, 1, 2), b3 = (7, 1, 4). Найти матрицу оператора f в исходном базисе.

2.Пусть A – матрица линейного преобразования в некотором базисе евклидова пространства, G – матрица Грама этого базиса. Найти матрицу A сопряжённого преобразования в том же базисе, если:

–  –  –

квадратичной формой f на V n. Матрица A = (a ij ) называется матрицей квадратичной формы.

Теорема. Для каждой квадратичной формы f на евклидовом пространстве V n существует ортонормированный базис, в котором f имеет канонический (диагональный) вид f = 1 x1 +... + n x n, 1,..., n R. Если форма имеет такой вид, то говорят, что она приведена к главным осям.

Теорема. Пусть есть две квадратичные формы f и g в евклидовом пространстве V n, причём g положительно определена, т. е. g ( x) 0 для всех x 0. Тогда существует базис, в котором обе эти формы одновременно приводятся к диагональному виду.

Алгоритм приведения пары форм к диагональному виду.

Пусть f ( x) = x A f x, g ( x) = x Ag x. Приведем форму g T T

–  –  –

Семинар 10. СОПРЯЖЁННОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение. Линейным функционалом на векторном пространстве V n называется линейное отображение f пространства V n во множество вещественных или комплексных чисел такое, что f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) для любых чисел, и любых векторов x, y V n.

Во множестве линейных функционалов на пространстве V введем операции сложения и умножения на число по n

–  –  –

перестановкам s1,..., s p индексов i1,..., i p, причём знак «+»

берется для чётной перестановки и знак «–» – для нечётной.

Операция альтернирования для контравариантных тензоров и тензоров смешанного строения определяется аналогично.

Аналогично определяются операции симметрирования и альтернирования по группе индексов. Например, T[ij ]k... = (Tijk... T jik... ) / 2, T (ij ) k... = (T ijk... + T jik... ) / 2.

Правило частного. Сформулируем правило на частном примере. Пусть для каждой системы координат задана таблица i lm чисел K jk такая, что для любого тензора Ap произведение K ijk Alm = B ilm ( i, j, k, l, m, p = 1,..., n ) является тензором. Тогда p jkp K ijk – тензор. Это правило остается справедливым при любом количестве верхних и нижних индексов у тензоров K и A.

–  –  –

Определение. Пусть V n – n -мерное евклидово пространство, в котором зафиксирована некоторая декартова система координат ( x1,..., x n ), и пусть e1,..., en – базис, порождающий эту координатную систему. Возьмем вспомогательное арифметическое евклидово пространство R n векторов u = (u1,..., u n ). Пусть G – некоторая открытая область в V n, U – некоторая открытая область в R n, а f : U G – взаимно однозначное отображение области U на G. Так как f взаимно однозначно, то определено обратное отображение f 1 : U G. В координатах это записывается так: x i = x i (u1,..., u n ), i = 1,..., n, u k = u k ( x1,..., x n ), k = 1,..., n.

Будем говорить, что в области G задана криволинейная система координат (u1,..., u n ), если отображение f гладкое и якобиан J = u x 0 в каждой точке области G.

i j Определение. Дадим одной из криволинейных координат постоянное значение u i = const и будем менять остальные.

Получим так называемую координатную гиперповерхность.

Определение. Если закрепить все координаты кроме одной, которая будет меняться, получим так называемую координатную линию.

Локальный базис в криволинейных координатах. Через каждую точку M (u1,..., u n ) проходит n координатных линий i, i = 1,..., n. Обозначим через ri (M ) вектор касательный к i в точке M. Координаты вектора ri (M ) относительно основного фиксированного базиса e1,..., en выражаются по xk ek. Так как якобиан J 0, то система формулам ri ( M ) = ui векторов r1,..., rn образует базис, который называется локальным базисом в точке M, или ковариантным подвижным базисом криволинейной координатной системы.

Преобразование криволинейных координат.

Пусть в области G введены две системы криволинейных координат:

u1,..., u n – старая система, u1',..., u n ' – новая система и задана связь u i ' = u i ' (u1,..., u n ). Это отображение в области G должно быть взаимно однозначным и гладким и во всей области G якобиан J = u u 0. Тогда из определения локального i' i

–  –  –

является дважды ковариантным полем метрического тензора.

2)Обозначим через g ij (u1,..., u n ) элементы обратной матрицы к матрице G = ( g ij ). Тогда числа g ij образуют дважды контравариантное тензорное поле.

–  –  –

1.Найти выражение для символов Кристоффеля в сферической системе координат.

2.Найти выражение для символов Кристоффеля в цилиндрической системе координат.

3.Доказать, что g kl g ij,l = 0.

4.Доказать, что символы Кристоффеля не являются тензорами.

Семинар 15. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

ОПЕРАТОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

–  –  –

1.Задано векторное поле T = grad (1 r ), r 2 = x 2 + y 2 + z 2 в трехмерном пространстве за исключением начала координат.

Найти компоненты этого поля в следующих системах координат: а) полярной, б) цилиндрической, в) сферической.

2.Для ковекторного поля T = grad (1 r ), r 2 = x 2 + y 2 + z 2 найти divT в следующих системах координат: а) полярной,

б) цилиндрической, в) сферической.

3.Для произвольного ковекторного поля найти выражение дивергенции в следующих системах координат: а) полярной,

б) цилиндрической, в) сферической.

4.Для ковекторного поля T = grad (1 r ), r 2 = x 2 + y 2 + z 2 найти rotT в следующих системах координат: а) полярной,

б) цилиндрической, в) сферической.

5.Для произвольной функции найти лапласиан в следующих системах координат: а) полярной, б) цилиндрической, в) сферической.

6.Доказать, что если Tij – ротор ковариантного векторного поля, то Tij,k + T jk,i + Tki, j = 0.

7.В метрике g11 = g 22 = (u ) + (u ), g 33 = 1, g ij = 0 при i j вычислить ротор ковекторного поля µ 1 = 1, µ 2 = sin u 2, µ 3 = u1.

–  –  –

Семинар 1. Кривые: уравнения, касательная, длина………….

.3 Семинар 2. Кривизна и кручение……………………………….6 Семинар 3. Уравнения поверхности. Первая квадратичная форма поверхности ………………...8 Семинар 4. Вторая квадратичная форма поверхности……….12 Семинар 5. Геодезические кривые…………………………….14 Семинар 6. Геометрия евклидовых и эрмитовых пространств……...…………………………………15 Семинар 7. Самосопряжённый оператор……..…………….…20 Семинар 8. Ортогональный оператор…………………………23 Семинар 9. Приведение пары форм к диагональному виду …………………………….27 Семинар 10. Сопряжённое пространство…..…………………28 Семинар 11–12. Тензоры и операции над ними..……………31 Семинар 13. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве……..……………….35 Семинар 14. Дифференцирование векторных и тензорных полей в криволинейных координатах..38 Семинар 15. Основные дифференциальные операторы в криволинейных координатах..……40

–  –  –

Подписано в печать 09.01.08. Формат 60 84 116. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 5.1. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 150 экз. Заказ №

--------------------------------------------------------------------------------Редакционно-издательский центр НГУ

Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Измайлов Р.Б. Некрасова А.П. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ СОЗДАНИЕ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ПЛАНОВ С ПРИМЕНЕНИ...»

«Инвентаризация жмыстарын жргізу масаты ауыл шаруашылы жерлерін дрыс тиімді пайдалану жолдарын анытау, пайдаланылмай жатан жерлерді анытап шара олдану болып табылады [3]. дебиеттер 1. азастан Республикасыны 2012 жылы жер жадайы жне оны пайдалану туралы жиынты талдамалы есебі. Астана, 2013ж. 215с.2. Научн...»

«Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта им. М.Т.Елизарова АВТОМАТИЧЕСКИЕ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ ВЫКЛЮЧАТЕЛИ П...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Ю.Н. Костюк, А.Н Леднев. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению курсовых работ по курсу "Общая геология" Список тем курсовых работ Для студентов 1 ку...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) И нститут транспортной техники и организации производства _ (И Т Т О П )_, Кафедра "Локомотивы и локомотивное хозяйство" В. П. СКЕПСКИЙ ТЕХНОЛОГИЯ РЕМОНТА ТЕПЛОВОЗОВ Методические указания к лабораторным работам для студентов IV...»

«Утверждаю Министр охраны окружающей среды Республики Казахстан от 5 ноября 2010 г. №280-п Система нормативных документов по охране окружающей среды Руководящий нормативный документ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАСЧЕТУ ВЫБРОСОВ ПАРНИКОВЫХ ГАЗОВ В АТМОСФЕРУ ОТ ПОЛИГОНОВ ТВЕРДЫХ БЫТОВЫ...»

«ЛОГИСТИКА Омск 2009 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО "Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)" ЛОГИСТИКА Учебное пособие для решения практическ...»

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОЙ ПОДГОТОВКИ АКТИВА БАЗОВЫХ ВУЗОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ (УМО) В ОБЛАСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ООП), РЕАЛИЗУЮЩИХ ФЕДЕРАЛЬНЫЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬН...»

«Курбатов Ю.Л. Масс Н.С. Кравцов В.В. НАГНЕТАТЕЛИ И ТЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ В ТЕПЛОТЕХНИКЕ Рекомендовано Министерством образования и науки Украины в качестве учебного пособия “НОРД-ПРЕСС” Донецк, 2011 УДК [621.51:621.63:621.1.6...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григо...»










 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.