WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«Динамические системы, вып. 28 (2010), 81–88 УДК 517.98 Порядковая сходимость в эргодических теоремах в пространствах Лоренца М. А. ...»

Динамические системы, вып. 28 (2010), 81–88

УДК 517.98

Порядковая сходимость в эргодических

теоремах в пространствах Лоренца

М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова, Б. А. Рубштейн

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского,

Симферополь 95007. E-mail: kromsh@mail.ru

Университет Бен-Гуриона в Негеве,

Беер-Шева, ИЗРАИЛЬ.

Аннотация. В настоящей работе приводятся необходимые и достаточные условия порядковой

сходимости чезаровских средних для абсолютных сжатий в пространствах Лоренца. Мы рассматриваем случай пространства с бесконечной мерой. Рассмотрение порядковой сходимости приводит как к доминантной, так и к индивидуальной эргодическим теоремам в пространствах W,q и Lp,q. При исследовании используется техника симметричных пространств измеримых функций на пространстве с бесконечной мерой и эргодичной теории.

Ключевые слова: эргодические теоремы, пространства Лоренца, порядковая сходимость.

1. Введение В работах [2], [13], [14] были получены аналоги доминантной эргодической теоремы для абсолютных сжатий в симметричных пространствах измеримых функций на отрезке [0, 1] и на полуоси [0, +). Эти результаты являются обобщениями классических эргодических теорем Данфорда-Шварца на пространствах Lp, 1 p [3].

В случае, когда верны как индивидуальная (IET ), так и доминантная (DET ) эргодические теоремы, имеет место порядковая сходимость ((o)-сходимость ) соответствующих средних Чезаро. Так например, для любого абсолютного сжатия T и f Lp последовательность n n1 T k f является сходящейся в Lp, если 1 p.



k=0 В случае p = 1 последовательность n n1 T k f (o)-сходится в L1, если f L log L.

k=0 В данной заметке изучаются необходимые и достаточные условия порядковой сходимости указанных чезаровских средних пространствах Лоренца W. Мы используем технику и терминологию перестановочно инвариантных пространств из [12], [2], [4], [6], [8] и эргодической теории.

2. Предварительные сведения Пусть (, µ) пространство с бесконечной -конечной неатомической мерой, L0 = L0 (, µ) пространство всех µ-измеримых почти всюду конечных функций f на и Lp = Lp (, µ), 1 p +. В случае, когда = R+ = [0, ) и µ = m — мера Лебега на [0, +), будем писать: L0 = L0 (R+, m).

М. А. МУРАТОВ, Ю. С. ПАШКОВА, Б. А. РУБШТЕЙН c 82 М. А. МУРАТОВ, Ю. С. ПАШКОВА, Б. А. РУБШТЕЙН Линейный оператор T : L1 + L L1 + L называется абсолютным сжатием или (L1, L )-сжатием, если T является сжатием как в L1 так и в L. Обозначим через PAC множество всех абсолютных сжатий.

Для любых T PAC и f L1 + L рассмотрим чезаровские средние 1 k n1 An,T f = Tf

–  –  –

Заметим, что BT f почти всюду конечна, то есть BT f L0 для всех f L1 + L (см. [3]).

Напомним, что банахово пространство (E, · E ) измеримых функций из L0 (, µ) называется перестановочно инвариантным (п.и.) или симметричным, если выполнены следующие два условия:

(i) Если f L0, g E и |f (t)| |g(t)| почти всюду на, то f E и f E gE ;

(ii) Если f L0, g E и f (t) = g (t), то f E и f E = gE.

Здесь f — невозрастающая, непрерывная справа перестановка функции |f |.

Отметим, что невозрастающая перестановка f может быть определена формулой:

–  –  –

Функции f и g называются равноизмеримыми ([12]), если n|f | (y) = n|g| (y), то есть f = g.

Если (, µ) = (R+, m), то п.и. пространство E = E(R+, m) называется стандартным. Для п.и. пространства E(, µ) на произвольном пространстве с мерой (, µ) существует единственное стандартное п.и. пространство E(R+, m) на (R+, m) (называемое стандартной реализацией E) такое, что

–  –  –

Здесь и далее мы не предполагаем, что пространство с мерой (, µ) сепарабельно и изоморфно стандартному пространству с мерой (R+, m).

Известно, что для каждого п.и. пространства E имеет место вложение

–  –  –

Тогда {Dt, 0 t } — группа ограниченных линейных операторов Dt : E E на стандартном п.и. пространстве E = E(R+, m), соответствующем E(, µ).

Функция dE (t) := Dt EE является полумультипликативной на (0, ), то есть

–  –  –

которые называются нижним и верхним индексами Бойда п.и. пространства E (см. [12], [8] ).

3. Пространства Лоренца Пусть W — неубывающая функция на [0, +), вогнутая на (0, +), такая, что W (0) = 0 и W (x) 0 для некоторых x 0. Тогда W — абсолютно непрерывна на (0, ) и ее производная W (x) убывает при x 0. Отметим, что может быть W (0+) 0.

Пространством Лоренца называется множество

–  –  –

(o)-сходится в W тогда и только тогда, когда соответствующая доминантная функция BT f = sup An,T |f | принадлежит W, и последовательность {An,T f }n1 n 1 сходится почти всюду на (, µ).

Будем говорить, что пространство Лоренца W

1) удовлетворяет доминантной эргодической теореме (W DET ), если последовательность чезаровских средних An,T f является порядково ограниченной в W, то есть BT f W для любой функции f W ;

2) удовлетворяет индивидуальной эргодической теореме (W IET ), если последовательность чезаровских средних An,T f является порядково сходящейся в L0, т.е. сходящейся почти всюду на, для любой функции f W ;

3) удовлетворяет порядковой эргодической теореме (W OET ), если T = W W для всех T PAC, т.е., для любого f W и T PAC последовательность чезаровских средних {An,T f }n1 порядково сходится в W.

Заметим что W OET тогда и только тогда. когда W DET и W IET.

Пусть W = W (, µ) пространство Лоренца на пространстве с мерой (, µ), и W (R+, m) — соответствующее ему стандартное пространство Лоренца. Если функция f (L1 + L )(, µ) и f W (R+, m), то f W (, µ).

–  –  –

и положим f (W )H = f W.

Тогда пространство ((W )H, · (W )H ) является п.и. и (W )H — замкнутое подпространство в W.

Наша цель — найти подпространство (W )H.

Предложение 1. [12] Пусть W — пространство Лоренца, dW (t) =

Dt W W и pW — нижний индекс Бойда. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(i). (W )H = W.

(ii). pW 1.

(iii). dW (1/t) dt.

(iv). dW (t) = o(t) при t +.

Отметим, что это предложение верно для любого перестановочно инвариантного пространства E.

Для пространств Лоренца W функция dW (t) имеет следующий вид:

–  –  –

Подпространство (W )H пространства Лоренца W и его нижний индекс Бойда pW легко вычисляется по функции W.

Теорема 1. 1) Пусть WH = WH (, µ) — пространство Лоренца, фундаментальная функция которого WH определяется однозначно из условий:

–  –  –

Для любого пространства Лоренца W имеем:

Теорема 3. 1) Если f WH и f (+) = 0, то последовательность средних An,T f сходится порядково в W.

2) W OET тогда и только тогда, когда W 1 и W (+) = +.

–  –  –

Список цитируемых источников

1. Birkho G. D. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1931. — No. 17. — P. 656–660.

2. Braverman M, Rubshtein B, Veksler A. Dominated ergodic theorems in rearrangement invariant spaces // Studia Mathem. — 1998. — No. 128. — P. 145–157.

3. Dunford N., Schwarts J. T. Convergence almost everywhere of operator averages // J. Rat. Mech. Anal. — 1956. — No. 5. — P. 129–178.

4. Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes — Cambridge: University press, 1992. — 430 p.

5. Hardy G. H., Littlewood J. E. A maximal theorem with function-theoretik application // Acta Math. — 1930. — No. 54. — P. 81–116.

6. Krengel U. Ergodic Theorems — Berlin: de Gruyter Stud. Math., 1985. — 357 p.

7. Lindenstrauss J.,Tzafriri L., Classical Banach Spaces I. Sequemce Spaces. Springer, 1979.

8. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Function Spaces, Berlin:

Springer, 1979. — 327 p.

9. G.G. Lorentz. On the theory of spaces gL. Pacic J. of Math., 1(1951), 411-429.

10. Weiner N. The ergodic theorem // Duke. Math. J. — 1939. — No. 5. — P. 1–18.





11. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ — Москва: Наука, 1977. — 742 с.

12. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов — Москва: Наука, 1978. — 400 с.

13. Муратов М. А, Пашкова Ю. С., Рубштейн Б. А. Доминантная эргодическая теорема в симметричных пространствах измеримых функций для последовательности абсолютных сжатий // Ученые записки ТНУ. — 2003. — Т. 17(56), № 2. — C. 36 – 48.

14. Муратов М. А., Рубштейн Б. А. Аналоги доминантной эргодической теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах // Ученые записки ТНУ. — 2004. — Т. 18(57), № 1. — C. 43 – 51.

Похожие работы:

«Корпоративный договор ООО "Солнечный Крым" Д О Г О В О Р № на организацию предоставления туристических услуг г. Симферополь "_" _ 201_ г. Общество с ограниченной ответственностью "Солнечный Крым", Крым, г. Симферополь, именуемое...»

«РОССИЯ, 198152, Санкт-Петербург, Краснопутиловская ул., д. 25 Тел./факс: +7 (812) 600-48-89 Официальный дилер и сервисный центр Anritsu Тел.: +7 (812) 375-32-44 Официальный представитель Fluke, Tektronix, HIOKI www.radar1.ru, info@radar1.ru Приложение...»

«ЖИЗНЬ с венозным тромбозом Инсульт Инфаркт миокарда Тромбоэмболия легочной артерии Тромбоз глубоких вен e os.e www.trombo Как жить? Содержание Введение 3 Лечение тромбоза 4 Период растворения тромбов 4 Продолжительность лечения тромбоза 4 Противотромбозное лечение пр...»

«Типы датчиков и устройств, работающих совместно с барьером Таблица 3 – Типы применяемых датчиков ИСКРА Барьер Тип датчика/входного сигнала Первичные преобразователи с унифицированным токовым барьер искрозащиты Искра-АТ.02 сигналом от 0 до 5 мА, от 0 до 20 мА, от 4 до 20 мА Искра-...»

«36 РУССКАЯ РЕЧЬ 4/2014 Язык публицистики Публицистический стиль трактата Л.Н. Толстого "Так что же нам делать?" © В. А. ЛЕЩЕВА В статье анализируется трактат Л.Н. Толстого "Так что же нам делать?" с целью выявления особен...»

«Л.Е.Чернова к.ф.н., Днепропетровск " ВСЕМУ СВОЕ ВРЕМЯ И СВОЙ СРОК." (Хронотопия иудаизма) В противоположность месту (пространству) и видимому материальному миру, " Время " – понятие таинственное и неулови...»

«ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР • СЕРИЯ ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ №1 1983 УДК 551.797.(470.11) В.М. СМИРНОВА НАХОДКА ДИАТОМЕЙ В МОРСКИХ МЕЖЛЕДНИКОВЫХ ОТЛОЖЕНИЯХ В ДОЛИНЕ р. ВАГИ До последнего времени единственным содержащим диатомеи разрезом морских межле...»

«Переучет в Microinvest Склад Pro Адрес: гр. София 1618, бул.”Цар Борис III”№215 Тел./факс: 02 9555515, 9555334, Нац.номер: 0700 44 700 e-mail:marketing@microinvest.net, http://www.microinvest.su soft ware company since 1984 СОД...»

«ФеДералЬнаЯ контрактнаЯ система УДК 338 типы контрактов (договоров) и их применение в российской контрактной системе в целях эффективного обеспечения публичных нужд В статье анализируется типология контрактов (договоров) в её преломлении к законодательству Российской Федераци...»










 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.