WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 


«1.Инвариантность формы дифференциала. Пусть функция u=f(x, y, z) имеет непрерывные частные производные ux/, uy/, uz/, причем x, y, z ...»

ЛЕКЦИЯ N22.

Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

1.Инвариантность формы дифференциала

2.Дифференциалы сложных функций

3.Неявные функции и их дифференцирование

4.Формула Тейлора

1.Инвариантность формы дифференциала.

Пусть функция u=f(x, y, z) имеет непрерывные частные производные ux/, uy/, uz/, причем x,

y, z в свою очередь являются функциями от новых переменных t и v: x=(t, v), y=(t, v),

z=(t, v), также имеющими непрерывные частные производные xt/, xv/, yt/, yv/, zt/, zv/.

Тогда не только существуют производные от сложной функции u по t и v, но эти производные также непрерывны по t и v.

Если бы x, y и z были независимыми переменными, то, как мы знаем, полный дифференциал функции был бы равен du=ux/dx+uy/dy+uz/dz Но в данном случае u зависит через x, y, z от t и v.

Значит du=ut/dt+uv/dv, но ut/=ux/ xt/+uy/ yt/+uz/ zt/; uv/=ux/ xv/+uy/ yv/+uz/ zv/.

du=(ux/ xt/+uy/ yt/+uz/ zt/)dt+(ux/ xv/+uy/ yv/+uz/ zv/)dv;

Подставим:

Сгруппируем члены:

du=ux/(xt/dt+xv/dv)+uy/(yt/dt+yv/dv)+uz/(zt/dt+zv/dv)=ux/dx+uy/dy+uz/dz, что и требовалось доказать.

Мы пришли к той же самой форме дифференциала, что и в случае, когда x, y, z были независимыми переменными (но смысл символов dx, dy, dz здесь уже другой!).

x Пример. u=arctg y x x y x dx + ( 2 )dy du=(arctg )x/dx+(arctg )y/dy= 2 x +y x + y2 y y

2.Дифференциалы сложных функций.

Пусть мы теперь имеем сложную функцию u=f(x1, x2,…, xm), где xi=I(t1, t2,…, tk), (i=1, 2,…, m).

В этом случае первый дифференциал сохраняется в том же виде.

Но здесь уже dx1, dx2,…, dxm являются дифференциалами не независимых переменных, а функций, и, следовательно, сами будут функциями и могут не быть постоянными, как раньше.

Вычисляя второй дифференциал, будем иметь u u u u u u d 2u = ( )dx1 + d ( )dx 2 +... + d ( )dxm + d (dx1 ) + d (dx 2 ) +... + d ( dx m ) = x1 x2 xm x1 x2 xm u 2 u 2 u 2

–  –  –

Мы видим, что для дифференциала порядка выше первого инвариантность формы вообще не имеет места.

Рассмотрим случай, когда x1, x2,…, xm являются линейными функциями от t1, t2,…, tk, то есть когда xi=i(1)t1+i(2)t2+…+i(k)tk+i,(i=1, 2, m), где i(j) и i – const.

dxi=i (1)dt1+…+i(k)dtk=i(1)t1+…+i(k)tk.

Тогда Видим, что все первые дифференциалы в этом случае постоянны.

Отсюда вытекает, что в случае замены независимых переменных x1, x2,…, xn линейными функциям от новых переменных t1, t2,…, tk могут быть сохранены прежние выражения для дифференциалов высших порядков.

3.Неявные функции и их дифференцирование.

Мы знаем, что уравнение: F(x, y)=0 (1), где F(x, y) – функция двух переменных, определяет на множестве M, где xM, неявную функцию y=(x).

Замечание. Не всякое уравнение вида F(x, y)=0 задает неявную функцию.

Например, уравнению x2+y2+1=0 не удовлетворяют никакие действительные значения x и y, и оно не определяет никакой неявной функции.

Каким же условиям должна удовлетворять функция F(x, y), чтобы уравнение F(x, y)=0 определяло единственную неявную функцию y?

–  –  –

и так далее.

dn+1F()=dn+1f(x0+x, y0+y).

Наконец, для (n+1)-го дифференциала Важно отметить, что здесь дифференциалы dx и dy ничем не отличаются от взятых ранее приращений x и y. Действительно, так как dt=1, dx=xdt=x; dy=ydt=y. Подставив

Похожие работы:

«Журнал научных статей "Здоровье и образование в XXI веке" №4, 2012 том 14 ХРОНОСТРУКТУРА БИОРИТМОВ ПРИ МНОГОСУТОЧНОМ МОНИТОРИРОВАНИИ АД И ЧСС Застрожин М.С., Чибисов С.М., Агарвал Р.К. Кафедра общей патологии и патологической физиологи...»

«Прокофьева И.В., Шибанов С.В., Шашков Б.Д. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СРЕДСТВ ИНТЕГРАЦИИ ДАННЫХ В КОРПОРАТИВНЫХ СИСТЕМАХ Интеграция данных является одним из основных инструментов обеспечения функционирован...»

«Р.А. Солодуха, Д.В. Машуков ОПЫТ СИГНАТУРНОГО АНАЛИЗА СТЕГАНОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ S-TOOL THE EXPERIENCE OF THE STEGANOGRAPHY PROGRAM S-TOOL SIGNATURE ANALYSIS Описан алгоритм работы программы S-Tool по извлечению стегановложения, полученный путем дизассемблирования. Сделаны выводы о возможност...»

«ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И СОВРЕМЕННОСТЬ 1999 № 2 С.В. ВЛАСОВА Образование XXI века. Каким ему быть? На каком фундаменте должно строиться образование будущего? Задавшись этим вопросом, мы с необходимостью выходим на аксиологическую проблематику..Абсолютной универсальной, подходящей для всех времен и народов системы ценностей нет. Вместе с тем мо...»

«УТВЕРЖДЕНО Решением Правления ЗАО "МТБанк" Протокол от 30.09.2009 № 60 Инструкция пользователя Подсистемы "Мой Банк"1. Общие положения 1.1. Термины и определения в настоящей Инструкции используются в значениях Договора на обслуживание в подсистеме дистанционног...»

«1 Лабораторные работы по курсу "Хранилища данных" для студентов ИВМиИТ Разработали: проф. Ш.Т.Ишмухаметов, ст.преп. Р.Г.Рубцова Содержание: Лабораторная работа № 1. Работа в Oracle Database Express Edition Лабораторная работа № 3. Работа с базой...»

«ОАО Мобильные Телесистемы Тел. 8-800-250-0890 www.mts.ru MAXI Plus' Федеральный/Городской номер Авансовый метод расчетов Получайте баллы МТС Бонус и обменивайте их на бесплатные минуты, SMS и другие вознаграждения (1 балл = 3 рубля от начислений за Интернетуслуги МТС и 6 рублей от остальных начислений). Узнайте больше у специалистов салона-ма...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.