WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ Том 20, № 4 2014 ТРУДЫ ИНСТИТУТА ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ТРУДЫ

ИНСТИТУТА

МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Том 20, № 4 2014

ТРУДЫ

ИНСТИТУТА

МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

УрО РАН

ВЫХОДЯТ 4 РАЗА В ГОД

Том 20 №4 2014

ЕКАТЕРИНБУРГ

Труды Института математики и механики УрО РАН. Том 20, № 4. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2014. 332 с.

ISSN 0134–4889 Главный редактор акад. РАН В. И. Бердышев Зам. гл. редактора д-р физ.-мат. наук В. В. Кабанов Научные редакторы д-р физ.-мат. наук А. Л. Агеев, д-р физ.-мат. наук А. Р. Данилин Редакционная коллегия канд. физ.-мат. наук Н. В. Маслова (отв. секретарь), д-р физ.-мат. наук А. Г. Бабенко, д-р физ.-мат. наук А. В. Васильев, д-р физ.-мат. наук Вэньбинь Го (Китай), М. И. Гомоюнов, д-р физ.-мат. наук М. И. Гусев, д-р физ.-мат. наук А. Ф. Клейменов, д-р физ.-мат. наук А. С. Кондратьев, д-р физ.-мат. наук А. И. Короткий, канд. физ.-мат. наук П. Д. Лебедев, д-р физ.-мат. наук Н. Ю. Лукоянов, д-р физ.-мат. наук В. И. Максимов, д-р физ.-мат. наук А. Д. Медных, д-р физ.-мат. наук В. С. Монахов (Беларусь), д-р физ.-мат. наук И. Ф. Сивергина (США), д-р физ.-мат. наук И. Д. Супруненко (Беларусь), д-р физ.


-мат. наук М. Ю. Хачай Редакционный совет чл.-корр. РАН С. М. Асеев, чл.-корр. РАН В. В. Васин, акад. РАН А. В. Кряжимский, акад. РАН А. Б. Куржанский, чл.-корр. РАН В. Д. Мазуров, чл.-корр. РАН С. В. Матвеев, чл.-корр. РАН А. А. Махнев, акад. РАН Ю. С. Осипов, чл.-корр. РАН Н. Н. Субботина, чл.-корр. РАН Ю. Н. Субботин, чл.-корр. РАН В. Н. Ушаков, чл.-корр. РАН А. Г. Ченцов, чл.-корр. НАН Украины А. А. Чикрий (Украина) Отв. редакторы выпуска д-р физ.-мат. наук М. И. Гусев, д-р физ.-мат. наук Т. Ф. Филиппова c Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, 2014

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

Том 20 № 4 2014 СОДЕРЖАНИЕ

–  –  –

19 октября 2014 г. исполнилось 75 лет выдающемуся российскому математику и механику, специалисту в области процессов управления, действительному члену Российской академии наук Александру Борисовичу Куржанскому.

Академику Куржанскому принадлежат фундаментальные результаты в области математической теории управления, теории оптимизации, дифференциальных уравнений и их приложений, методов математического моделирования и системного анализа. Им развиты теория апостериорного гарантированного оценивания и идентификации динамических систем по результатам наблюдений, методы синтеза управлений в условиях реально доступной информации, теория и методы решения обратных задач наблюдения для эволюционных систем. Разработаны новые вычислительные методы эллипсоидального и полиэдрального исчисления в теории управления и оценивания, теория синтеза импульсных управлений и быстрых управлений.

В 1957 г. после окончания с медалью средней школы № 1 в Свердловске А. Б. Куржанский поступил на энергетический факультет Уральского политехнического института (УПИ) им. C. М. Кирова. Лекции по высшей математике студентам энергофака читал профессор Николай Николаевич Красовскиий, он же вел упражнения в группе, где учился А. Б. Куржанский.

Именно с этого времени под сильным впечатлением от общения с Н. Н. Красовским началось увлечение Александра Борисовича математикой. Будучи студентом УПИ, он одновременно посещает лекции на заочном отделении физико-математического факультета Уральского государственного университета им А. М. Горького (УрГУ), где сдает экзамены по всем основным курсам факультета. Защитив в 1962 г. в УПИ диплом с отличием, А. Б. Куржанский продолжил обучение в аспирантуре математико-механического факультета университета под руководством Н. Н. Красовского. После защиты в 1965 г. кандидатской диссертации работал на организованной в те годы Н. Н. Красовским кафедре прикладной математики университета.

С 1967 г. А. Б. Куржанский сотрудник Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, ныне Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН (ИММ УрО РАН). В 1971 г. он успешно защищает докторскую диссертацию “Управление экстремально связанным движением и позиционное наблюдение”, развивающую ряд актуальных направлений математической теории управления. Все это время он продолжает читать лекции и вести семинары в университете, активно работает с дипломниками и аспирантами. В 1973 г. он возглавляет созданную в Институте лабораторию (позднее отдел) оптимального управления, где работали его ученики, выпускники УрГУ. В 1976 г. за цикл работ по математической теории управления А. Б. Куржанскому совместно с Н. Н. Красовским, Ю. C. Осиповым, А. И. Субботиным была присуждена Ленинская премия. В 1977 г. А. Б. Куржанский был назначен директором Института математики и механики АН СССР, сменив на этом посту академика Н. Н. Красовского. В этой должности он проработал до 1983 г., много сил и времени отдавая укреплению авторитета ведущих научных направлений Института, развитию его международных контактов, оснащению современной вычислительной техникой. В 1981 г. он был избран членом-корреспондентом, а в 1990 г.

действительным членом АН СССР по Отделению механики и процессов управления.

Работы А. Б. Куржанского получили международное признание. В 1984 г. он получает приглашение возглавить методологическую программу “Системы и принятие решений” в Международном институте прикладного системного анализа (Лаксенбург, Австрия). В этом институте А. Б. Куржанский работал с 1984 по 1992 гг., осуществляя руководство программой и созданным в ее рамках проектом “Динамические системы”. Пребывание Александра Борисовича на этом посту способствовало значительному укреплению авторитета программы и Института в целом. К работе в проектах программы он сумел привлечь ведущих ученых Австрии, СССР, США, Франции, Японии и других стран. В этот период при его непосредственном участии было организовано несколько десятков научных конференций, изданы большое количество научных статей и ряд монографий. В течение нескольких лет А. Б. Куржанский был одновременно и заместителем директора Международного института прикладного системного анализа.

В 1992 г. он был удостоен звания Почетного ученого (Honorary Scholar) этого института.

С 1992 г. А. Б. Куржанский профессор Московского государственного университета (МГУ), организатор и заведующий кафедрой системного анализа на факультете вычислительной математики и кибернетики этого университета.

Широк и разнообразен круг научных интересов А. Б. Куржанского. Он автор более 200 научных работ, в том числе ряда монографий, опубликованных в ведущих отечественных и зарубежных изданиях.

Появившаяся в ранних работах А. Б. Куржанского по теории двойственности задач управления и наблюдения концепция позиционного наблюдения привела его в дальнейшем к созданию и развитию теории гарантированного апостериорного оценивания состояний и параметров динамических систем по результатам наблюдений. В рамках данной теории оценки состояний динамических систем с неопределенными возмущениями по данным наблюдений формируются апостериори по ходу процесса наблюдения в виде функций (вообще говоря, многозначных) от наблюдаемого сигнала. Характеризующие оценки уравнения минимаксной фильтрации возникают как альтернатива классическим соотношениям стохастической фильтрации, полученным в работах А. Н. Колмогорова, Н. Винера, Р. Калмана. Они находят все большее применение в задачах навигации, управления движением механических систем, инженерии, биомедицины, в решении проблем, связанных с изучением окружающей среды.

В дальнейшем А Б. Куржанским, его учениками и коллегами, методы гарантированного оценивания были распространены на системы со случайными возмущения, имеющими неточно известные характеристики (например, первые и вторые моменты случайных величин или функции распределения). Такие системы принято называть статистически неопределенными.

Теория гарантированного оценивания была развита также для систем с запаздыванием и систем, описываемых уравнениями в частных производных. В последнем случае особенно важное значение приобретает проблема регуляризации задач наблюдения в связи с неустойчивостью решений относительно помех. Для указанных систем была разработана конструкция вспомогательной задачи гарантированного оценивания, динамическая оценка в которой в форме уравнений минимаксного фильтра служит регуляризованным решением обратной задачи.





Во многих разделах теории управления и дифференциальных игр возникают задачи описания траекторных трубок динамических систем с неопределенными параметрами. В серии работ Александра Борисовича и его учеников, посвященной проблемам многозначного анализа, были предложены аналоги дифференциальных уравнений в пространствах множеств и развита теория таких уравнений. Были созданы конструктивные методы описания семейств траекторий дифференциальных включений, сохраняющихся (выживающих) в течение предписанного времени в пределах заданного множества фазового пространства. Получены эволюционные уравнения (уравнения интегральной воронки), описывающие динамику во времени областей достижимости дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. Введен и исследован новый класс эволюционных уравнений, в терминах решений которых дано описание конфликтно-достижимых областей управляемой системы, множеств разрешимости задачи об управлении при наличии фазовых ограничений и противодействия, семейств сильно и слабо инвариантных отображений.

А. Б. Куржанский 7 Важное место в трудах А. Б. Куржанского занимает разработка вычислительных алгоритмов решения задач гарантированного оценивания и управления. Им была развита техника эллипсоидальных аппроксимаций выпуклых множеств и на ее базе получены эволюционные уравнения для внешних и внутренних эллипсоидальных оценок для различных многозначных интегралов, представляющих, в частности, прямые и попятные области (трубки) достижимости для систем высокой размерности. Принципиальной особенностью развиваемых А. Б. Куржанским методов (в отличие от других известных результатов по эллипсоидальным оценкам в теории управления) является возможность получения сколь угодно точных двусторонних приближений решений путем пересечения внешних и объединения внутренних эллипсоидальных оценок по множествам управляющих параметров. Поскольку отдельные оценки вычисляются независимо, процедуры аппроксимации допускают эффективное распараллеливание вычислений. Подобные же идеи были заложены в схему построения оценок при помощи другого конечно-параметрического класса множеств параллелотопов. На основе предложенных алгоритмов были разработаны эффективные вычислительные процедуры и созданы пакеты прикладных программ для решения задач оценивания и синтеза управлений в линейных системах с неопределенными возмущениями.

Задачам синтеза управлений для систем с реально доступной информацией всегда уделялось особое место в работах А. Б. Куржанского и его научной школы. Теория гарантированного апостериорного оценивания послужила основой для разработки новых оригинальных методов синтеза стратегий управления, когда в качестве состояний системы рассматриваются информационные множества. Значительным достижением стала формулировка А. Б. Куржанским принципа оптимальности при неопределенности и принципа разделения для таких задач. Задачу синтеза оказалось возможным разделить на конечномерную задачу оценивания и бесконечномерную (в классе траекторных трубок) задачу управления. Решение каждой из подзадач, получаемое посредством применения соответствующего варианта гамильтонова формализма, в линейном случае сводится к построениям в конечномерных пространствах.

Существенное продвижение в работах А. Б. Куржанского и его учеников из МГУ получено в решении трудной проблемы синтеза управлений для импульсных систем. Разработанная теория синтеза опирается на обобщения вариационных неравенств Гамильтона Якоби Беллмана. В рамках созданной теории допускается использование “быстрых управлений”, содержащих импульсы высших порядков. Программный вариант подобных управлений изучался еще в ранних работах Александра Борисовича. Разработка теории синтеза импульсных управлений позволила в рамках единой формализации изучать и задачи управления для гибридных систем, содержащих скачкообразные перестройки состояний.

Заметное место в работах А. Б. Куржанского последних лет занимает актуальная тематика координированного целевого синтеза управления группой управляемых объектов, совершающих совместное движение к целевому множеству. Разрабатываемые подходы к решению опираются на развитые им ранее теорию и методы синтеза управлений системами с многозначными траекториями, учитывающие эффект нелинейности систем, недоопределенность моделей и неполноту текущих измерений в каналах обратной связи.

Обширна и многогранна научно-организационная деятельность Александра Борисовича.

Он входит в состав редколлегий ряда ведущих отечественных и международных научных журналов и серий монографий издательств Springer и Birkhuser. В качестве председателя и a члена оргкомитетов и программных комитетов он принимает активное участие в организации и проведении многих международных конференций высокого уровня. Он регулярно выступает с пленарными и приглашенными докладами на престижных международных конгрессах и конференциях, с лекциями и докладами во многих ведущих университетах и научных центрах в России и за рубежом.

А. Б. Куржанский возглавляет Национальный комитет России по автоматическому управлению, он член бюро Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, член Национальных комитетов России по теоретической и прикладной механике и по системному анализу при Президиуме РАН. На протяжении ряда лет он был председателем экспертного совета ВАК по математике и механике.

Высокий авторитет А. Б. Куржанского в международных научных кругах позволяет ему достойно представлять интересы России в международных организациях. Он давно и плодотворно работает в ИФАК (Международная федерация автоматического управления), был членом Руководящего совета ИФАК. Александр Борисович удостоен знака Почетного деятеля ИФАК. Во многом благодаря его авторитету и энергии удалось провести в России в последние годы несколько крупных международных конференций ИФАК, а также привлечь ведущих мировых специалистов к участию в ряде организуемых в нашей стране, в том числе, в Екатеринбурге, конференций по теории управления.

Работа со студентами и аспирантами всегда была в числе основных приоритетов для А. Б. Куржанского. С 1965 по 1984 гг. он работал на математико-механическом факультете Уральского государственного университета им. А.М. Горького ассистентом, доцентом, профессором кафедры прикладной математики. Именно здесь раскрылся его талант педагога.

Им было прочитано большое количество общих и специальных курсов по современным разделам математики. Увлеченность и эрудиция, глубина и оригинальность изложения материала всегда привлекали студентов на его лекции и семинары. Среди учеников Александра Борисовича более 30 докторов и кандидатов наук (в их числе несколько заведующих кафедрами и профессоров ведущих вузов), успешно занимающихся математическими исследованиями и преподавательской деятельностью в России и за рубежом.

Возглавив в 1992 г. созданную им кафедру системного анализа на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, А. Б. Куржанский за короткий период времени сумел собрать команду высококлассных специалистов, разработать программы и организовать обучение студентов по ряду новых перспективных направлений теории управления и системного анализа. На кафедре уделяется большое внимание не только теоретическим вопросам, но и приложениям системного анализа в механике, биологии, экологии, экономике и финансах. Кафедра стала одной из лучших и весьма популярна среди студентов на факультете. Все более заметную роль в жизни кафедры системного анализа играют молодые доценты и ассистенты, ее выпускники. Они неоднократно отмечались стипендиями и грантами для молодых ученых.

Несмотря на большую занятость административной и научной работой, сам А. Б. Куржанский по сей день несет значительную лекционную нагрузку, читая для студентов кафедры несколько спецкурсов.

А. Б. Куржанский возглавляет известную научную школу по теории управления, в работе которой принимают участие сотрудники и аспиранты кафедры а также его ученики из Екатеринбурга. В 1999 г. А. Б. Куржанскому присвоено звание “Заслуженный профессор Московского государственного университета”.

Все прошедшие годы и поныне А. Б. Куржанский поддерживает тесные контакты с ИММ УрО РАН, городом Екатеринбургом и Свердловской областью. Он руководит научной тематикой отдела оптимального управления Института, состоящего из его учеников (среди которых 6 докторов наук), возглавляет ряд проектов, реализуемых в отделе. Ученики Александра Борисовича и руководство Института всегда ощущали его искреннюю заинтересованность и деятельное участие в делах, постоянную поддержку и помощь при решении многих научных и организационных вопросов.

А. Б. Куржанского отличает широта интересов и незаурядная эрудиция. Он прекрасно разбирается во многих вопросах, не связанных непосредственно с его работой, является тонким ценителем классической музыки и литературы, знатоком мировой и отечественной истории.

А. Б. Куржанский всегда был и остается настоящим патриотом России, глубоко и искренне переживающим за судьбу страны и происходящие в ней процессы.

Александр Борисович встречает свой юбилей полным творческой энергии, новых идей и планов, активно продолжая плодотворную научную и педагогическую работу.

Коллектив Института математики и механики им. Н. Н. Красовского Уро РАН, редколлегия журнала, ученики, коллеги и друзья сердечно поздравляют Александра Борисовича со славным юбилеем, желают ему крепкого здоровья, новых творческих свершений и успехов!

А. Б. Куржанский 9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. О построении методом моментов оптимального управления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку // Автоматика и и телемеханика. 1964. Т. 25, № 5. С. 624–630.

2. Об аналитическом конструировании регулятора в системе с помехой, зависящей от управления // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, № 2. С. 204–213.

3. О вычислении оптимального управления в системе с неполной информацией // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №3. С. 360–373.

4. К вопросу о наблюдаемости систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 3.

С. 298–303 (совм. с Н.Н. Красовским).

5. Задачи об управлении для системы дифференциальных уравнения с запаздыванием // Прикл.

математика и механика. 1966. Т. 30, № 6. С. 1121–1124.

6. Об аппроксимации нестационарных управляемых систем с запаздыванием по времени // Международный конгресс математиков: тез. кратких науч. сообщ. Москва, 1966. С. 13 (совм. с Э.Г. Альбрехтом и др.).

7. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 12. С. 2094–2104.

8. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами // Прикл. математика и механика. 1968. Т. 32, № 2. С. 194–202 (совм. с Ю.С. Осиповым).

9. К теории оптимального управления при ограничениях на переменные состояния // 4-й Междунар.

конгр. по автомат. управлению: тр. Варшава: ИФАК, 1969 (совм. с Ю.С. Осиповым).

10. Об оптимальном управлении при стесненных координатах // Прикл. математика и механика. 1969.

Т. 33, № 4. С. 705–719 (совм. с Ю. С. Осиповым).

11. К управлению линейной системой обобщенными воздействиями // Дифференц. уравнения. 1969.

Т. 5, № 8. С. 1360–1370 (совм. с Ю.С. Осиповым).

12. К управляемости в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 9.

С. 1715–1718.

13. Об одной задаче управления при ограниченных координатах. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1970. № 5. С. 22–28 (cовм. с Ю.С. Осиповым).

14. О некоторых задачах наблюдения и управления в случайных обстоятельствах // Автоматика и телемеханика. 1970. № 12. С. 15–25 (совм. с И.Я. Кацем).

15. К задачам программного преследования в линейных системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1970. № 3. С. 18–29 (совм. с Ю. С. Осиповым).

16. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 3. С. 429–439.

17. Дифференциальные игры сближения при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР.

1970. Т. 192, № 3. С. 491–494.

18. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 10.

С. 1800–1809.

19. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений - I // Дифференц. уравнения. 1971.

Т. 7, № 9. С. 1591–1602 (совм. с М.И. Гусевым).

20. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений - II // Дифференц. уравнения.

1971. Т. 7, № 10. С.1789–1800 (совм. с М.И. Гусевым).

21. О двойственности статистических задач оптимального управления и наблюдения // Автоматика и телемеханика. 1971. № 3. C. 12–21 (совм. с И.Я. Кацем).

22. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1971.

Т. 7, № 8. С. 1398–1409.

23. Дифференциальные игры наблюдения // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 3. С. 527–530.

24. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1973. № 5. С. 20–31.

25. К задачам оптимального наблюдения // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37, № 5. С. 771–786 (совм. с И.Я. Кацем).

26. Оптимальные системы сочетания управления и наблюдения // Прикл. математика и механика.

1974. Т. 38, № 1. С. 12–24.

27. Задачи наблюдения и дифференциальные игры // Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1974. С. 138–188.

28. Программное управление по неполным данным // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 12.

С. 2162–2172.

29. On minmax control and estimation strategies under incomplete information // Problems of Contr.

Inform. Theory. 1975. Vol. 4, № 3. P. 205–218.

30. Оптимальные системы с импульсными управлениями // Дифференц. игры и задачи управления.

Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1975. С. 131–156.

31. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221, № 3.

С. 535–538 (совм. с И.Я. Кацем).

32. On multicriterial solutions in game-theoretic problems of control // IIASA Proc. Workshop Decision Making with Multiple Conicting Objectives. Laxenburg, 1975. Vol. 2. P. 51–67 (with M. I. Gusev).

33. Control and parameter estimation for systems with distributed parameters // Proc. 6th IFAC Congress.

Boston, 1975.

34. Оптимальные управления ансамблем траекторий // Игровые задачи управления. Свердловск: Издво УНЦ АН СССР, 1976. С. 53–68 (совм. с О.И. Никоновым).

35. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях I // Дифференц. уравнения. 1976.

Т. 12, № 8. С.1434–1446 (совм. с И.Я. Пищулиной).

36. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях II // Дифференц. уравнения. 1976.

Т. 12, № 9. С.1568–1579 (совм. с И.Я. Пищулиной).

37. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях III // Дифференц. уравнения. 1976.

Т. 12, № 12. С. 2149–2158 (совм. с И.Я. Пищулиной).

38. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, № 1. С. 3–13 (совм. с Б.И. Ананьевым и Г.С. Шелементьевым).

39. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229, № 6. С. 1295–1298 (совм. с М.И. Гусевым).

40. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

41. Об информационных множествах управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 11.

С. 1957–1965.

42. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 79–87 (совм. с И.Я. Кацем).

43. Об информационных множествах управляемой системы // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240, № 1.

С. 14–17.

44. Динамические задачи принятия решений в условиях неопределенности // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. С. 197–235.

45. Multiciterial game-theoretic problems of control for systems with incomplete information // Link Sci.

and Appl. Automatic Control.: Proc. 7th Triennial World Congress IFAC (Helsinki, 1978). Oxford, 1979.

Vol. 2. P. 1041–1048 (with M.I. Gusev).

46. Dynamic control system estimation under uncertainty conditions. I // Problems Control Inform.

Theory/Problemy Upravlen. Teor. Inform. 1980. Vol. 9, no. 6. P. 395–406.

47. Dynamic control system estimation under uncertainty conditions. II // Problems Control Inform.

Theory/Problemy Upravlen. Teor. Inform. 1981. Vol. 10, no. 1. P. 33–42.

48. Estimation of control system dynamics under uncertainty in parameters and inputs// Contr. Sci.

Technol. Progr. Soc.: Proc. 8th Triennial World Congress IFAC (Kyoto, 1981). Oxford, 1982. Vol. 1.

P. 655–661.

49. On evolution equations in estimation problems for systems with uncertainty. Laxenburg, 1982. 10 p.

(Working Paper / IIASA; WP-82-49).

50. Evolution equations for problems of control and estimation of uncertain systems // Proc. of the Int.

Congress of Mathematicians. Warszawa, 1983. P. 1381–1402.

51. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 72–93 (совм. с А.С. Кощеевым).

52. Оптимального управления математическая теория // Мат. энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 38–41.

53. Оптимальное управление // Мат.энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 41–42.

54. Оптимальное управление позиционное // Мат. энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 42–47.

55. Оптимальное управление программное // Мат. энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 47–51.

56. Понтрягина принцип максимума // Мат. энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 487–489.

57. On adaptive processes in problems of guaranteed control // Prepr. 9th World Congress IFAC (Budapest, 1984). Vol. 5. P. 176–180 (with O.I. Nikonov).

А. Б. Куржанский 11

58. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, № 4. С. 183–184.

59. Об оценивании распределенных полей по результатам наблюдений // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. Междунар. конф. (Новосибирск, 1983). Новосибирск, 1986.

С. 102–108 (совм. с А.Ю. Хапаловым).

60. Об аналитическом описании пучка выживающих траекторий дифференциальной системы // Докл.

АН СССР. 1986. Т. 287, № 5. С. 1047–1050.

61. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального // Докл. АН СССР. 1986.

Т. 289, № 1. С. 38–41 (совм. с Т.Ф. Филипповой).

62. Inverse problems in multiobjective dynamic optimization // Lect. Notes Econ. and Math. Systems. 1986.

Vol. 285. P. 374–382.

63. Об адаптивных процессах гарантированного управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.

1986. № 4. С. 3–15 (совм. с О. И. Никоновым).

64. On the solution sets for uncertain systems with phase constraints // Stochastic Optimization / eds. V.

Arkin, A. Shirayev, R. Wets. Berlin etc.: Springer, 1986. P. 675–687. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 81.)

65. The nonlinear ltering problem for a multistage system with statistical uncertainty // Proc. of the II IFAC Symposium on Stochastic Control (Vilnius, 1986.) 1987. P. 189–194 (with B.I. Anan’ev).

66. On the state estimation problem for distributed systems // Analysis and Optimization of Systems / eds. A. Bensoussan, J.L. Lions. Berlin etc.: Springer, 1986. 102–113. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 83.)

67. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научн.-техн. прогресс. М.: Наука,

1987. Т. 1. С. 187–195 (совм. с М.И. Гусевым).

68. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уравнения.

1987. Т. 23, № 8. С. 1303–1315 (совм. с Т.Ф. Филипповой).

69. Inverse problems in multiobjective dynamic optimization // Toward Interactive and Intelligent Decision Support Systems / eds. Y. Sawaragi, K. Inoue, H.V. Nakayama. Berlin etc.: Springer, 1987. P. 374–382.

(Ser. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems; vol. 285.)

70. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation. Laxenburg, 1988. 25 p. (Working Paper / IIASA; WP-88-091) (with T.F. Filippova).

71. Dynamics of the set of viable trajectories to a dierential inclusion: the evolution equation // Problems Control Inform. Theory/Problemy Upravlen. Teor. Inform. 1988. Vol. 17, no. 3. P. 137–144 (with T.F. Filippova).

72. On stochastic ltering approximations of estimation problems for systems with uncertainty // Stochastics. 1988. Vol. 23. P. 109–130.

73. Identication – a theory of guaranteed estimates. Laxenburg, 1988. 78 p. (Working Paper / IIASA;

WP-88-55).

74. Set-valued calculus in problems of adaptive control // Modelling and Adaptive Control / ed.

A.B. Kurzhanski and Ch.I. Byrnes. Berlin etc.: Springer, 1988. P. 189–200. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 105.)

75. Set-valued solutions to control problems and their approximation // Analysis and Optimization of Systems / eds. A. Bensoussan, J.L. Lions. Berlin etc.: Springer, 1988. P. 775–785. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Systems; vol. 111) (with I. Vlyi ).

a

76. Identication – a theory of guaranteed estimates // From Data to Model / ed. J.C. Willems. Berlin etc.:

Springer, 1989. P. 135–214.

77. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation // Les Annales de l’Institut Henri Poincare, Analyse Non-lineaire. Paris: Bordas, 1989.

P. 339–363 (with T.F. Filippova).

78. On a unied framework for deterministic and stochastic treatment of identication problems. Laxenburg,

1989. 39 p. (Working Paper / IIASA; WP-89-013) (with M. Tanaka).

79. Noninvertible evolution systems: guaranteed estimates and the regularization problem. Laxenburg, 1989.

10 p. (Working Paper / IIASA; WP-89-058) (with I.F. Sivergina).

80. Optimal inputs for guaranteed identication. Laxenburg, 1989. 12 p. (Working Paper / IIASA; WP-89with B.N. Pschenichnyi and V.G. Pokotilo).

81. Observers for distributed systems // Proc. IFAC Symp. on Distributed Parameter Systems (Perpignan, 1987). New York: Pergamon Press, 1989. P. 481–484 (with A.Yu. Khapalov).

–  –  –

107. On viable tubes generated by synthesized decision strategies for uncertain systems. Laxenburg, 1993.

11 p. (Working Paper / IIASA; WP-93-312) (with O.I. Nikonov).

108. On the stabilization of uncertain dierential systems // Comparison Methods and Stability Theory (Waterloo, ON, 1993). New York: Dekker, 1994. P. 217–225. (Ser. Lecture Notes in Pure and Appl.

Math.; vol. 162).

109. Guaranteed State Estimation for Dynamic Systems: Ellipsoidal Techniques // Internat. J. Adapt.

Control Signal Process. 1994. Vol. 8, no. 1. P. 85–101 (with K. Sugimoto and I. Vlyi).

a

110. Evolution equations for pencils of trajectories of synthesized control systems // Russian Acad. Sci.

Dokl. Math. 1994. Vol. 48, no. 3. P. 606–611 (with O. I. Nikonov).

111. Modeling techniques for uncertain systems / eds. A.B. Kurzhanski, V.M. Veliov. Boston: Birkhuser, a 1994. 288 p. (Ser. Progr. Systems Control Theory; vol. 18).

112. Гарантированное оценивание распределенных процессов по результатам наблюдений // Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 15. 1995. № 1. С. 33–40.

113. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. МИАН.

1995. Vol. 211. С. 304–315 (совм. с Т.Ф. Филипповой).

114. Nonlinear ltering: the set-membership (bounding) and the H-innity techniques // Proc. 3th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems Design. Oxford: Pergamon Press, 1995. P. 409–418 (with J.S. Baras).

115. Theoretical framework and approximation techniques for parallel computation in set-membership state estimation // IMACS Multiconf. Proc. of Symposium on Modelling, Anal. and Simulation (CESA’96).

Lille,1996. Vol. 2. P. 849–854 (with E.K.Kostousova).

116. Ellipsoidal state estimation for uncertain dynamical systems // Bounding Approaches to System Identication / eds. by M. Milanese, J. Norton, H. Piet-Lahanier, E. Walter. New York: Plenum Press,

1996. P. 213–238 (with T.F. Filippova, K. Sugimoto, I. Vlyi).

a

117. Ellipsoidal calculus for estimation and feedback control // Systems and Control in the Twenty-First Century (St. Louis, MO, 1996). Boston: Birkhuser, 1997. P. 229–243.

a

118. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhuser, 1997. 321 p. (Ser. Systems and a Control: Foundations and Applications) (with I. Vlyi).

a

119. Гарантированные оценки точности вычисления в задачах управления и оценивания // Вычисл.

технологии. 1997. Т. 2, № 1. С. 19–27 (совм. с Е.К. Костоусовой).

120. Set-valued calculus and dynamic programming in problems of feedback control // Variational Calculus, Optimal Control and Applications: Proc. Intern. Conf. (Trassenheide, 1996). Basel: Birkhuser Verlag, a

1998. P. 163–174. (Ser. Intern. Series of Numerical Math.; vol. 124).

121. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // Докл. РАН. 1998. Т. 360, № 2. C. 161–166 (совм. с И.Ф. Сивергиной).

122. Динамическое программирование в задачах идентификации систем с распределенными параметрами // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, № 6. C. 899–912 (совм. с И.Ф. Сивергиной).

123. Mathematical models for simulation of environmental monitoring systems // Proc. of the 1998 Conf.

on Mission Earth: Modeling and Simulation of the Earth System: 1998 Western Multiconference. San Diego, 1998. P. 89.

124. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Тр. МИАН. 1999. Т. 224.

С. 234–248.

125. Two approaches to viability and set-membership state estimation // Dynamics and Control.

Amsterdam: Gordon and Breach, 1999. P. 93–100. (Ser. Stability and control; vol. 9.)

126. Systems and decision sciences: the research methodology for sustainable development // Systems Analysis Modelling Simulation. 2000. Vol. 39, № 3. P. 381–391.

127. Теория синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина // Мат. сб. 2000. Т. 191.

№ 6. С. 69–100 (совм. с Н.Б. Мельниковым).

128. Достижимость при постоянно действующих возмущениях // Докл. РАН. 2000. Т. 372. № 4.

С. 446–450 (совм. с П. Варайя).

129. Ellipsoidal techniques for reachability analysis // Proc. Pittsburg conf. “Hybrid systems–2000”. Berlin etc.: Springer, 2000. P. 202–214. (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol. 1790) (with P. Varaiya).

130. Ellipsoidal techniques for reachability analysis: internal approximation // System Control Lett. 2000.

Vol. 41, no. 3. P. 201–211 (with P. Varaiya).

131. On the state estimation problem under mixed uncertainty // Proc. MTNS-2000. Perpignan, 2000. 6 p.

(with I.A. Digailova).

132. The information states in the boundary control inverse problem of parabolic type // Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде: тез. докл. конф.

Екатеринбург, 2000. C. 40 (with I.F. Sivergina, M.M. Sorokina).

133. Dynamic optimization for reachability problems // J. Optim. Theory Appl. 2001. No. 2. P. 227–251 (with P. Varaiya).

134. Ellipsoidal techniques for reachability problems under nonellipsoidal constraints // Proc. NOLCOS-01.

St. Petersburg, 2001. P. 735–740 (with M.N. Kirilin).

135. A nonlinear state estimation problem under mixed uncertainty // Proc. NOLCOS-01. St. Petersburg,

2001. Vol. 2. P. 547–552 (with I.A. Digailova).

136. Нелинейный синтез управления при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1474–1484 (совм. с А.Н. Дарьиным).

137. On reachability under uncertainty // SIAM J. Control Optim. 2002. Vol. 41, no. 1. P. 181–216 (with P. Varaiya).

138. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: External approximations // Optim. Methods Softw. 2002. Vol. 17, no. 2. P. 177–206 (with P. Varaiya).

139. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part II: Internal approximations. Box-valued Constraints // Optim. Methods Softw. 2002. Vol. 17, no. 2. P. 207–237 (with P. Varaiya).

140. Reachability analysis for uncertain systems – the ellipsoidal technique // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. B. 2002. Vol. 9, no. 3. P. 347–367 (with P. Varaiya).

141. Reachability under state constraints – the ellipsoidal technique // Proc. 15th Triennial World Congress.

Barcelona, 2002. P 306. (with P. Varaiya).

142. The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization / eds.: A. Rantzer, C. Byrnes. Berlin etc.: Springer,

2003. P. 193–202. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 286).

143. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения.

2003. Т. 39. № 11. С. 1474–1486 (совм. с А.Н. Дарьиным).

144. An inverse problem for the telegraph equation // System Modeling and Optimization: Proc. of the 21st IFIP TC7 (Sophia, 2003) / eds. J. Cagnol, J.-P. Zolesio. Berlin etc.: Springer, 2005. P. 177–190. (Ser.

IFIP Advances in Information and Communication Technology; vol. 166) (with M. M. Sorokina).

145. О синтезе управлений по результатам измерений // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68.

Вып. 4. С. 547–563.

146. On some nonstandard dynamic programming problems of control theory // Variational Methods and Applications / eds. F. Giannessi, A. Maugeri. New York: Kluwer Acad. Pub., 2004. P. 613–627 (with P. Varaiya).

147. Задача достижимости при стохастических возмущениях // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40.

№ 11. С. 1495–1499 (совм. с И.А. Дигайловой).

148. Control synthesis for state constrained and obstacle problems // Proc. of NOLCOS-04. Stuttgart:

Elsevier Science, 2004. P. 813–818 (with I.M. Mitchell, P. Varaiya).

149. Дифференциальные уравнения в задачах синтеза управлений. 1. Обыкновенные системы // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 1. С. 12–22.

150. The diagnostics of safety zones in motion planning // Optim. Methods Softw. 2005. Vol. 20, no. 2–3.

P. 231–239.

151. О задачах синтеза управлений по реально доступной информации // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2005. Вып. спец. С. 113–122.

152. Метод динамического программирования в задаче синтеза импульсных управлений // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 11. C. 1491–1500 (совм. с А.Н. Дарьиным, А.И. Селезневым).

153. Nonlinear control synthesis under double constraints // Proc. of 16th IFAC World Congress. Prague,

2005. P. 440 (with A.N. Daryin).

154. Reachability analysis under control-dependent stochastic noise // Proc. of 16th IFAC World Congress.

Prague, 2005. P. 202 (with I.A. Digailova).

155. Метод динамического программирования в задачах синтеза управлений // Сб. тр. конф. “Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)”. Минск, 2005. Т. 2. С. 51–65 (совм. с А.Н. Дарьиным).

156. On some nonstandard dynamic programming problems of control theory // Nonconvex optimization and its applications / eds. F. Giannessi, A. Mangeri. Berlin etc.: Springer, 2005.

P. 589–603. (Ser. Nonconvex Optimiz. and Its Appl.; vol. 79) (with P. Varaiya).

А. Б. Куржанский 15

157. A dynamic programming approach to the impulse control synthesis problem // Proc. of Joint 44th IEEE Conf. on Decision and Control and European Control Conf. (ECC 2005). Seville, 2005. P. 8215–8220 (with A.N. Daryin, A.V. Seleznev).

158. Reachability under uncertainty and measurement noise // Math. Comput. Model. Dyn. Syst. 2005.

Vol. 11, no. 2. P. 183–194 (with P. Varaiya).

159. Ellipsoidal techniques for hybrid dynamics: the reachability problem // New directions and applications in control theory / eds. Wijesuriya Dayawansa, Anders Lindquist, Yishao Zhou. Berlin etc.: Springer,

2005. P. 193–205. (Ser. Lecture Notes in Control and Inform. Sci.; vol. 321.)

160. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона Якоби в теории управления // Тр. ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. C. 173–183.

161. Успокоение многозвенной колебательной системы в условиях неопределенных возмущений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 11. C. 1452–1463 (совм. с И.В. Востриковым, А.Н. Дарьиным).

162. Задачи динамики и управления в гибридных системах // Тр. Междунар. сем. “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона Якоби”. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та,

2006. Т. 1. С. 1–16 (совм. с П. Варайя).

163. Optimization techniques for state-constrained control and obstacle problems // J. Optim. Theory Appl.

2006. Vol. 128, no. 3. P. 499–521 (with I.M. Mitchell, P. Varaiya).

164. Ellipsoidal techniques for reachability under state constraints // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 45, no. 4. P. 1369–1394 (with P. Varaiya).

165. О синтезе систем с импульсным управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007.

№ 4. С. 2–12.

166. Синтез управлений в классе обобщенных функций высших порядков // Дифференц. уравнения.

2007. Т. 43, № 11. С. 1443–1453 (совм. с А.Н. Дарьиным).

167. Closed-loop impulse control of oscillating systems // Proc. of 3rd IFAC Workshop on Periodic Control Systems (PSYCO’07). St. Petersburg, 2007. P. 169–201. (with A.N. Daryin).

168. On the Hamiltonian techniques for designing nonlinear observers under set-membership uncertainty // Prepr. of the 7th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. Pretoria, 2007. Р. 633–638 (with M.I. Gusev).

169. The Hamilton–Jacobi equations for nonlinear target control and their approximation // Analysis and Design of Nonlinear Control Systems (in Honor of Alberto Isidori). Berlin etc.: Springer, 2008. P. 77–90 (with P. Varaiya).

170. Dynamic programming for impulse controls // Annual Reviews in Control. 2008. Vol. 32, no. 2.

P. 213–227 (with A.N. Daryin).

171. Impulse control inputs and the theory of fast feedback control // Proc. of 17th World Congress IFAC.

Seoul, 2008. P. 4869–4874 (with A.N. Daryin).

172. Stochastic reachability and measurement feedback // Proc. of 17th World Congress IFAC. Seoul, 2008.

P. 14336–14341 (with I. A. Digailova, P. Varaiya).

173. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 11.

С. 1523–1533 (совм. с П. А. Точилиным).

174. Задача управлением групповым движением. Общие соотношения // Докл. РАН. 2009. Т. 426, № 1.

С. 20–25.

175. Импульсные управления в моделях гибридных систем // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5.

С. 716–727 (совм. с П. А. Точилиным).

176. The control of linear systems under feedback delays // Vienna Conf. of Math. Modelling (MATHMOD 2009). Vienna, 2009. P. 451–459 (with A.N. Daryin, I.V. Vostrikov).

177. Output feedback strategies for systems with impulsive and fast controls // Proc. of the 48th IEEE Conf.

on Decision and Control (CDC-09). Shanghai, 2009. P. 2801–2806 (with A.N. Daryin, I.A. Digailova).

178. Избранные труды А.Б. Куржанского. М.: Изд-во МГУ, 2009. 756 c.

179. О задаче синтеза импульсных управлений по результатам измерений // Тр. ИММ УрО РАН.

2009. Vol. 15, № 3. C. 92–105 (cовм. с А.Н. Дарьиным, И.А. Дигайловой).

180. О синтезе импульсных управлений и теории быстрых управлений // Тр. МИАН. 2010. Vol. 268.

С. 215–230.

181. Hamiltonian techniques for the problem of set-membership state estimation // Internat. J. Adapt.

Control Signal Process. 2010. Vol. 25, no. 3. P. 249–263.

182. Области достижимости линейных и некоторых классов нелинейных дискретных систем и управлений ими // Проблемы управления и информатики. 2010. № 1. С. 5–21 (совм. с В.М. Кунцевичем)

183. On the problem of output feedback control under set-membership uncertainty // Proc. of the 8th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems (NOLCOS-10). Bologna: Elsevier, 2010. P. 60–65 (with P. Varaiya).

184. On synthesizing team target controls under obstacles and collision avoidance // J. Franklin Inst. 2010.

Vol. 347, no. 1. P. 130–145 (with P. Varaiya).

185. Роль макромоделирования в активном управлении транспортной сетью // Тр. МФТИ. 2010.

Том 2, № 4. C. 100–118 (cовм. А.А. Куржанским, П. Варайя).

186. О синтезе целевого управления в классе импульсных воздействий при фазовых ограничениях // Proc. 5th Intern. Symp. “Generalized Statements and Solutions of Control Problems” (GSSCP-2010).

Уланбатор, 2010. P. 132–135 (совм. с А.Н. Дарьиным).

187. Output feedback observers and control under non-Gaussian types of noise // Proc. of 19th Intern. Symp.

on Math. Theory of Networks and Systems (MTNS 2010). Budapest, 2010. P. 69–72 (with I.A. Digailova).

188. Output feedback control under set-membership uncertainty // J. Optim. Theory Appl. 2011. Vol. 151, no. 1. P. 11–32 (with P Varaiya).

189. Быстрые воздействия в задаче синтеза управлений при неопределенности // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 963–971 (совм. с А.Н. Дарьиным).

190. К задаче синтеза управлений при неопределенности по данным финитных наблюдателей // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1599–1607 (совм. с П.А. Точилиным).

191. On the theory of fast controls under disturbances // Proc. of 18th IFAC World Congress. Milano, 2011.

P. 3486–3491 (with A. Daryin and Y. Minaeva).

192. Attenuation of uncertain disturbances through fast control inputs // Special Intern. Conf. on Complex Systems: Synergy of Control, Computing and Communications (COSY 2011). 2011. P. 49–52 (with A.N. Daryin).

193. Estimation of reachability sets for large-scale uncertain systems: from theory to computation // Proc. of the 51st IEEE Conf. on Decision and Control (CDC 2012). Maui, 2012. P. 7401–7406 (with A.N. Daryin).

194. The mathematics of impulse control // Proc. of the 20th Intern. Symp. on Math. Theory of Networks and Systems (MTNS 2012): Abstracts Book. Melbourne, 2012. P. 1–4 (with T.F. Filippova).

195. Метод вычисления инвариантных множеств линейных систем большой размерности при неопределенных возмущениях // Докл. РАН. 2012. Т. 446, № 6. С. 607–611 (совм. с А.Н. Дарьиным).

196. Оптимальное управление эллипсоидальными движениями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1525–1532 (совм. с А.И. Месяцем).

197. О задаче управления эллипсоидальным движением // Тр. МИАН. 2012. Т. 277. С. 168–177.

198. Параллельный алгоритм вычисления инвариантных множеств линейных систем большой размерности при неопределенных возмущениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 1. С. 47–57 (совм. с А.Н. Дарьиным).

199. Output feedback guaranteed tracking control through nite observers // Proc. of the 52nd IEEE Conf.

on Decision and Control (CDC 2013). Florence, 2013. P. 4448–4453 (with P.A. Tochilin).

200. Ellipsoidal motions for applied control: from theory to computation // Proc. of the 52nd IEEE Conf.

on Decision and Control (CDC 2013). Florence, 2013. P. 5816–5821 (with A.I. Mesyats).

201. Nonlinear feedback types in impulse and fast control // Proc. of the 9th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems (NOLCOS 2013). Toulouse, 2013. С. 235–240 (with A. N. Daryin).

202. Задача слежения в пределах интервала времени по данным финитных наблюдателей // Дифференц. уравнения. 2013. Т 49, № 5. С. 656–666 (совм. с П.А. Точилиным).

203. The specics of closed-loop impulse control // Prepr. of the 19th Word Congress IFAC (Cape Town, 2014). P. 1655–1660 (with A.N. Daryin).

204. The mathematics of team control // Proc. of the 21st Intern. Symp. on Math. Theory of Networks and Systems (MTNS 2014). Groningen, 2014. С. 1755–1758 (with A.I. Mesyats).

205. Управление эллипсоидальными траекториями. Теория и вычисления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, № 3. С. 404–414 (совм. с А.И. Месяцем).

206. О задаче группового управления в условиях препятствий // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3.

С. 166–179.

207. Dynamics and сontrol of trajectory tubes. Theory and computation. Basel: Birkhuser, 2014. 445 p.

a (with P. Varaiya). (Ser. Systems and Control: Foundations and Applications; vol. 85) (with P. Varaiya).

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

–  –  –

Рассмотрена задача оценивания для обратного стохастического дифференциального уравнения в присутствии статистически неопределенных помех. Используется подход из теории гарантированного оценивания. Предполагается, что статистически неопределенные помехи совместно с некоторыми процессами, входящими в уравнение, стеснены интегральными ограничениями. В линейном случае доказана теорема об аппроксимации случайных информационных множеств детерминированными при стремлении коэффициентов диффузии к нулю. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: обратное стохастическое дифференциальное уравнение, броуновское движение, случайное информационное множество.

B. I. Anan’ev. On the estimation of backward stochastic dierential equations.

We consider an estimation problem for a backward stochastic dierential equation in the presence of statistically indeterminate noise. We use the approach of the theory of guaranteed estimation and assume that the statistically indeterminate noise, as well as some processes entering the equation, is subject to integral constraints. In the linear case, we prove a theorem on the approximation of random information sets by deterministic sets as the diusion coecient vanishes. Examples are considered.

Keywords: backward stochastic dierential equation, Brownian motion, random information set.

–  –  –

Рассмотрим вначале один из возможных подходов гарантированного оценивания [1] в применении к детерминированному n-векторному дифференциальному уравнению

–  –  –

Предположим, что существует единственное решение уравнения (0.3) в классическом смысле, т. е. V (t, x) дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению всюду при всех возможных t, x. Тогда информационное множество (далее ИМ) X (t, y) можно описать [1; 2, формула (2.2)] неравенством X (t, y) = {x Rn ; V (t, x) (0.4) 1}.

Однако нетрудно заметить, что никаких свойств гладкости от функции V (t, x) можно не требовать и считать соотношение (0.4) просто определением ИМ. Тем не менее уравнение (0.3) в ряде случаев все же будет выполняться в обобщенном смысле [3], при этом входящие в него функции могут быть разрывными.

Напомним, что ИМ X (t, y) содержит все возможные состояния x(t) = x, которые совместимы с проведенными измерениями вплоть до момента t и с ограничениями (0.2).

Пусть теперь в уравнение (0.1) добавлено диффузионное слагаемое, т. е. мы имеем стохастическое дифференциальное уравнение (далее СДУ) (0.5) dx(t) = f (t, x(t))dt + Z(t)dW (t), где W (t) стандартное k-мерное броуновское движение. Уравнение (0.5) будем понимать в смысле Ито [4] и считать его стохастическим “возмущением” детерминированного уравнения (0.1). Ограничения на неопределенные параметры сохраним в прежнем виде (0.2). Но в таком случае прием, связанный с построением функции V (t, x), лишен смысла, поскольку уравнение (0.5), вообще говоря, нельзя решать обратно по времени. Вследствие неопределенности не проходит также и построение оптимальных оценок на основе наблюдаемых -алгебр, как в теории нелинейной фильтрации [5].

Один из возможных выходов из создавшейся ситуации состоит в изучении модифицированного стохастического уравнения (0.6) dx(t) = h(t, x(t), Z(t))dt + Z(t)dW (t), t [0, T ], где h(t, x, 0) = f (t, x), которое также можно считать стохастическим “возмущением” уравнения (0.1) и которое уже можно решать обратно по времени, изменив понятие решения. Рассмотрим решение уравнения (0.6) подробнее. Пусть стандартное k-мерное броуновское движение W (t) = [w1 (t);... ; wk (t)] (вектор-столбец) задано на полном вероятностном пространстве (, F, P ); x(t) Rn, Z(t) Rnk. Относительно функции h(·, ·, ·) предполагается, что

–  –  –

Отметим, что теорема верна и при условии зависимости Ft -согласованным образом функции h от случайного элемента. Уравнения типа (0.6) с граничным условием на правом конце траектории называются обратными стохастическими дифференциальными уравнениями (далее ОСДУ). В отличие от прямых СДУ вида (0.5) решение ОСДУ представляется парой согласованных процессов. Обратные СДУ впервые рассмотрены в работе [7] в связи с доказательством стохастического принципа максимума. Отметим также, что ОСДУ находят применение в задачах финансовой математики.

Настоящая работа представляет собой расширенное и дополненное изложение результатов, анонсированных в [8]. Кроме того, здесь добавлены результаты по оцениванию прямыхобратных СДУ.

–  –  –

где F (·), Qi (·, ·), i = 1, 2, неотрицательные борелевские функции. Для функций в (1.2) допускаются и бесконечные значения, для того чтобы охватить случай геометрических ограничений.

Функция g(t, x) в (1.1) обычно предполагается глобально липшицевой по x и измеримой по t. Поскольку наблюдаемый процесс (1.1) не является, вообще говоря, процессом Ито и статистика помехи неопределенная, стохастический подход, связанный с формированием наблюдаемых -алгебр Fty = {y(s), s [0, t]} и нахождением условного среднего E(x(t)|Fty ) из 20 Б. И. Ананьев

–  –  –

Множество X 0 (t, y) состоит из всех векторов x(t; ), для которых доставляет минимум левой части этого неравенства при условии x(0; ) X0. Множество X 0 (T, y) непусто, если X0 компактно. В отличие от предыдущего примера здесь задача, по существу, конечномерна.

2. Решение задачи фильтрации в линейно-квадратичном случае

–  –  –

Обсудим корректность решения уравнения (2.5). Введем О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что система (2.1) является стохастически вполне наблюдаемой в момент T, если A G GA, 0, т. е. оператор A G GA является коэрцитивным.

В случае, когда поток Ft F0, приведенное определение совпадает с понятием детерминированной вполне наблюдаемости [1]. Поскольку в случае стохастической полной наблюдаемости оператор A G RGA имеет ограниченный обратный, приходим к утверждению.

–  –  –

Множество (2.6) будет ограничено тогда и только тогда, когда система вполне наблюдаема в детерминированном смысле.

3. Аппроксимация СИМ при малых коэффициентах диффузии

–  –  –

Здесь мы воспользовались неравенством Шварца и тем, что совместимое финальное состояние. Следовательно, существует помеха (·) такая, что выполняются уравнение наблюдения в (2.1) и ограничение (3.1). Отметим, что полученная оценка не зависит от.

Пусть задано 0. Используя найденные оценки, подберем q() так, чтобы

–  –  –

Рассмотрим случай, когда финальное состояние уравнения (0.6) или (2.1) является не произвольным элементом пространства L2 (FT ), а равно = g(u(T )), где u(t) решение прямого n l-векторного СДУ

–  –  –

где W (t) то же самое броуновское движение, что в (0.6), (2.1). Прямое уравнение (4.1) следует решать в паре с обратным уравнением (0.6). Для их решения обычно используют четырехшаговую схему [6; 11]. Она состоит в следующем.

Ш а г 1. Полагаем z(t, u, p) = p(t, u) для всех (t, u, p) [0, T ] Rl Rnl.

Ш а г 2. Находим набор функций (t, u) = [ 1 (t, u);... ; n (t, u)] как классическое решение системы параболических уравнений в частных производных:

–  –  –

Фактически справедлив следующий результат.

Теорема 4 [6, теорема 7.5.3]. Предположим, что (4.2) допускает классическое решение (t, u) с ограниченными первыми u и вторыми uu производными. Предположим также, что функции b(t, u) и (t, u) равномерно липшицевы по u, а значения b(t, 0) и (t, 0) ограничены.

Тогда процесс (u(·), x(·), Z(·)), определенный (4.1), (4.3), представляет собой адаптированное к Ft решение для прямых-обратных уравнений (4.1), (0.6).

Отметим, что теорема 4 дает достаточные условия совместной разрешимости уравнений (4.1), (0.6). Ее доказательство проводится путем применения формулы Ито к процессу (t, u(t)).

Необходимые условия разрешимости системы (4.2) и соответствующая литература приведены в [11]. Имеются также и численные схемы решения, изложенные, например, в [12].

Обратимся к задаче 1. Если параметры уравнения (4.1) заданы и выполняются условия теоремы 4, то задача оценивания для ОСДУ (0.6) особого смысла не имеет, поскольку решение [x(·); Z(·)], как случайный процесс, однозначно определяется через решение u(t) прямого СДУ (4.1). Пусть теперь начальное состояние, например, для (4.1) точно не известно и стеснено ограничением

–  –  –

0.9 0.8 1 0.7 0.1 0.5 0.6 0.5 0.5 0.4 0.05 0.5 0.3 0.2

–  –  –

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

306 c.

2. Куржанский А.Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона Якоби в теории управления. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. C. 173–183.

3. Nonsmooth analysis and control theory / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski New York: Springer-Verlag, 1998. 276 p.

4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003. 399 с.

5. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987. 318 с.

6. Yong J, Zhou X. Stochastic controls: Hamiltonian systems and HJB equations. New York: SpringerVerlag, 1999. 438 p.

7. Bismut J.M. An introductory approach to duality in optimal stochastic control // SIAM Rev. 1978.

Vol. 20. P. 62–78.

8. Ананьев Б.И. Оценивание состояний обратных стохастических дифференциальных уравнений со статистически неопределенными помехами. [Электрон. ресурс] // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014 (Москва, 16–19 июня, 2014 г.): сб. докл. С. 2604–2611.

9. Ananyev B.I. State estimation for linear stochastic dierential equations with uncertain disturbances via BSDE approach // AIP Conference Proceedings. 2012. Vol. 1487. P. 143–150.

10. Ананьев Б.И. Минимаксная квадратичная задача коррекции движения // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, вып. 3. С. 436–445.

11. Jin Ma, Protter P., Yong J.M. Solving forward-backward stochastic dierential equations explicitly a four step scheme. // Probab. Theory Related Fields. 1994. Vol. 98, no. 3. P. 339–359.

12. Bouchard B., Touzi N. Discrete-time approximation and Monte Carlo simulation of backward stochastic dierential equations. // Stochastic Process. Appl. 2004. Vol. 111. P. 175–206.

–  –  –

УДК 517.977.52

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ СКАЧКА РЕШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ

СИСТЕМЫ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ1

А. В. Арутюнов, Д. Ю. Карамзин, Ф. Л. Перейра В работе исследуются свойства множителей Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач с фазовыми ограничениями. Получены достаточные условия непрерывности решения сопряженного уравнения в зависимости от способа выхода экстремальной траектории на границу фазового ограничения. Доказательство использует понятие замыкания по мере измеримой по Лебегу функции и теорему Каратеодори.

Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума, фазовые ограничения.

A. V. Arutyunov, D. Yu. Karamzin, F. L. Pereira. Conditions for the absence of jumps of the solution to the adjoint system of the maximum principle for optimal control problems with state constraints.

Properties of Lagrange multipliers from the Pontryagin maximum principle for problems with state constraints are investigated. Sucient conditions for the continuity of the solution of the adjoint solution depending on how the extremal trajectory approaches the state constraint boundary are obtained. The proof uses the notion of closure by measure of a Lebesgue measurable function and the Caratheodory theorem.

Keywords: optimal control, maximum principle, state constraints.

–  –  –

В работе исследуется классическая задача оптимального управления с фазовыми ограничениями типа неравенств. Задачи с фазовыми ограничениями часто востребованы в различного рода инженерных приложениях, что обуславливает интерес к ним математиков. Большой вклад в развитие задач с фазовыми ограничениями внесли Р.В. Гамкрелидзе, А.Я. Дубовицкий, В.А. Дубовицкий, М.И. Зеликин, А.Б. Куржанский, А.А. Милютин, Ю.С. Осипов, Н.Т. Тынянский, Ф. Кларк, М.М. Ферейра, Г. Халкин, Г. Маурэр, Р.Б. Винтер и др. (см., например, [1–13]).

В работе получены некоторые достаточные условия гладкого выхода экстремальной траектории на границу допустимой области в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Эти результаты приводят к достаточным условиям отсутствия скачка у решения сопряженной системы принципа максимума Понтрягина. Настоящая работа является продолжением исследований, предпринятых в [14]. Отметим, что вопрос о гладкости выхода экстремальной траектории на границу фазового ограничения ранее также исследовался в [10].

Работа выполнена в рамках реализации государственного задания Министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности (проект 1.333.2014/K), при поддержке РФФИ (проект 13-01-00494) и при поддержке FCT (Португалия, проект UID/EEA/00147/2013).

30 А. В. Арутюнов, Д. Ю. Карамзин, Ф. Л. Перейра

–  –  –

Здесь NC (p) означает предельный нормальный конус ко множеству C в точке p в смысле [16, с. 4], а supp( j ) носитель меры j. Кроме того, используются следующие обозначения.

Во-первых, если у отображений H, G, f (и так далее) и их производных какие-нибудь из аргументов опущены, то вместо них подставлены значения x (t), u (t) или множители Лагранжа (t), 0 соответственно. Во-вторых, все множители Лагранжа или элементы сопряженных пространств рассматриваются как вектор-строки, в то время как вектор-функции или векторы такие, как f, x, u, рассматриваются как вектор-столбцы. Градиенты функций считаются элементами сопряженных пространств, а элементы матрицы Якоби отображения n Rk i /x (x), и ее строками являются градиенты координатных имеют вид F F (x) : R j функций F i.

Процесс (p, x, u ), удовлетворяющий ПМ, называется экстремальным, а набор (,, ) множителями Лагранжа. Как известно, любой оптимальный процесс удовлетворяет ПМ, а именно справедлива следующая теорема (см. [3; 11]).

Теорема 1. Пусть процесс (p, x, u ) является оптимальным в задаче (1).

Предположим, что в точке p фазовые ограничения согласованы с концевыми. Тогда процесс (p, x, u ) удовлетворяет ПМ.

–  –  –

Далее будем предполагать, что функция G дважды непрерывно дифференцируема. Основным результатом работы является следующая теорема, развивающая теорему 2 из [14].

Рассмотрим допустимый процесс (p, x, u ). Положим J(t) = {j : Gj (x (t), t) = 0}. Через j ( ) будем обозначать значение атомарной составляющей (атом) меры j в точке.

–  –  –

Пусть (t, t ). Поясним, что если j J( ) и функция Gj дифференцируема в точке, то dGj /dt( ) = 0. Это, очевидно, вытекает из того, что траектория x является допустимой и, значит, функция Gj достигает максимума в точке. Далее, из теоремы 2 вытекает, что если функция Gj в точке недифференцируема, то j ( ) = 0. Следовательно, если для любого j J( ) функция Gj в точке дифференцируемой не является, то ( ) = 0 и, значит, решение сопряженной системы (3) в точке непрерывно. Таким образом, разрывы функции из принципа максимума возможны лишь в точках гладкого выхода экстремальной траектории на границу.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 основано на приводимых ниже утверждениях. Вначале введем необходимые обозначения и понятия. Пусть (t) : R Rm заданная измеримая ограниченная функция.

О п р е д е л е н и е 2. Замыканием по мере справа функции (t) в точке называется множество + ( ), состоящее из векторов u Rm таких, что

–  –  –

существует. Тогда L conv (t ), где (t ) замыкание по мере функции в точке t. Сделаем это.

Возьмем произвольное 0. Множество (t ) компактно. Покроем его конечной сетью

-кубов Ki, i = 1,..., N (они не предполагаются ни открытыми ни замкнутыми) следующим образом. Каждый куб имеет длину стороны, они попарно не пересекаются, а их объединение содержит в себе (t ). Положим Ti () := {t [t, t +] : (t) Ki }. Из определения замыкания по мере несложно вытекает существование числа (0, ) такого, что

–  –  –

только тогда, когда функция Gj дифференцируема в точке. Поэтому либо выход на границу, либо сход с границы в точке не является гладким. Следовательно, в силу леммы при t = существует C 0, для которого выполнено либо (12), либо (13). Но из каждой из этих оценок вытекает, что j ( ) = 0. Полученное противоречие завершает рассмотрение. Теорема доказана.

Из приведенного доказательства вытекает следующий, более общий, результат.

–  –  –

Тогда выход на границу j-го фазового ограничения в точке гладкий и, значит, функция Gj (t) = Gj (x (t), t) дифференцируема слева в точке и ее производная слева в этой точке равна нулю.

Аналогично, если рост меры j в точке слева больше, чем линейный, т. е.

–  –  –

Тогда сход с границы j-го фазового ограничения в точке гладкий и, значит, функция Gj (t) = Gj (x (t), t) дифференцируема справа в точке и ее производная справа в этой точке равна нулю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125, № 3. С. 475–478.

2. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983. 393 с.

3. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Докл.

АН СССР. 1963. Т. 149, № 4. С. 759–762.

4. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами // Прикл. математика и механика. 1968. Vol. 32, № 2. C. 194–202.

5. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Физматлит, 1977.

392 с.

6. Куржанский А.Б. Об аналитическом описании пучка выживающих траекторий дифференциальной системы // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, № 5. С. 1047–1050.

7. Maurer H. Dierential stability in optimal control problems // Appl. Math. Optim. 1979. Vol. 5, iss. 1.

P. 283–295.

8. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1984. № 4. С. 60–68.

9. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304, № 1. С. 11–14.

10. Необходимое условие в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.А. Чуканов. М.: Наука, 1990. 320 с.

11. Arutyunov A.V., Aseev S.M. State constraints in optimal control. The degeneracy phenomenon // Systems Control Lett. 1995. Vol. 26, no. 4. P. 267–273.

12. Ferreira M.M.A., Vinter R.B. When is the maximum principle for state constrained problems nondegenerate? // J. Math. Anal. Appl. 1994. Vol. 187, no. 2. P. 438–467.

13. Pereira F.L. A maximum principle for impulsive control problems with state constraints // Comput.

Math. Appl. 2000. Vol. 19, no. 2. P. 137–155.

14. Арутюнов А.В. Свойства множителей Лагранжа в принципе максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 12.

С. 1621–1630.

Условия отсутствия скачка решения сопряженной системы 37

15. Arutyunov A.V., Karamzin D.Yu., Pereira F.L. The maximum principle for optimal control problems with state constraints by R.V. Gamkrelidze: Revisited // J. Optim. Theory Appl. 2011.

Vol. 149. P. 474–493.

16. Mordukhovich B. Variational analysis and generalized dierentiation. I: Basic theory. Berlin: SpringerVerlag, 2006. 584 p. (Grundlehren Series, Fundamental Principles of Mathematical Sciences; vol. 330.) Арутюнов Арам Владимирович Поступила 10.07.14 д-р физ.-мат. наук, профессор Российский университет дружбы народов e-mail: arutun@orc.ru Карамзин Дмитрий Юрьевич д-р. физ.-мат. наук старший науч. сотрудник Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН e-mail: dmitry_karamzin@mail.ru Перейра Фернандо Лобо профессор Университет г. Порто, Португалия e-mail: p@fe.up.pt

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

–  –  –

В задаче о приближении непрерывной на отрезке вектор-функции линейными функциями в чебышевской метрике установлены необходимые и достаточные условия на наилучшую приближающую функцию.

Ключевые слова: вектор-функция, аппроксимация, критерий.

V. I. Berdyshev. Linear approximation of vector functions.

In a problem on the approximation of a vector function continuous on an interval by linear functions in the Chebyshev metric, necessary and sucient conditions on the best approximation function are established.

Keywords: vector function, approximation, criterion.

Введение

В проблемах навигации автономных аппаратов актуальна задача приближения траектории в трехмерном пространстве линейными или кусочно-линейными функциями. Даже в простейшем случае линейной аппроксимации поиск эффективных характеристических свойств наилучшей аппроксимирующей функции не прост.

В данной работе исследуется задача наилучшего приближения непрерывной вектор-функции

–  –  –

Для вещественнозначных и комплекснозначных функций характеристические свойства полиномов наилучшего приближения установлены П. Л. Чебышевым и А. Н. Колмогоровым (см., например, [1]). Приведем вариант обобщения [2] классической теоремы А. Н.

Колмогорова [3] на случай непрерывной на компакте M вектор-функции:

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН “Динамические системы и теория управления” при финансовой поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1022) и программы государственной поддержки ведущих университетов РФ (соглашение 02.А03.21.0006 от 27.08.2013).

Линейная аппроксимация вектор-функций 39

–  –  –

множество точек максимального уклонения функции l от Z. Если множество значений (t) для точек максимального уклонения плотно на отрезке [0, 2], то, как легко видеть, функция l является ближайшей к Z из класса L. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что имеется интервал из отрезка [0, 2] ненулевой длины ( 0, + 0 ), (1.2) 0 0, свободный от точек множества Mz, концы которого принадлежат M. Для дальнейшего изложения удобно осуществить поворот системы координат так, чтобы значение отобразилось в нуль. Не ограничивая общности, будем также предполагать, что z(t) = 1. Введем следующие обозначения (см. рисунок):

t

–  –  –

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.

2. Зуховицкий С.И., Крейн М.Г. Замечание об одном возможном обобщении теорем Хаара и А. Н. Колмогорова // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, № 1. С. 217–229.

3. Колмогоров А.Н. Замечания по поводу многочленов П. Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции // Успехи мат. наук. 1948. Т. III, вып. 1(23). С. 216–221.

–  –  –

Транспортная задача математического программирования модифицирована для анализа экономики железнодорожных грузоперевозок в современных российских условиях. Построен вариационный принцип в форме пары взаимно двойственных задач выпуклого программирования,из которого находится конкурентное равновесие в модели железнодорожных перевозок. Предложен подход к анализу несовершенной конкуренции, распределению посреднической прибыли и роли коммуникационных ограничений в транспортной сети.

Ключевые слова: общественные блага, модель грузоперевозок, коммуникационные ограничения, теорема Фенхеля, преобразование Лежандра Юнга Фенхеля, конкурентное равновесие.

M. P. Vashchenko, Ya. S. Pronin, A. A. Shananin. A mathematical model of the economics of railway cargo transportation.

The transportation mathematical programming problem is modied for the analysis of the economics of railway cargo transportation in modern Russia. A variation principle in the form of a pair of mutually dual convex programming problems is constructed, and a competitive equilibrium in the railway transportation model is found from this principle. An approach to the analysis of imperfect competition, distribution of the intermediary’s prot, and the role of communication constraints in a transportation network is proposed.

Keywords: public goods, cargo transportation model, communication constrains, Fenchel theorem, Legendre– Young–Fenchel transform, competitive equilibrium.

Введение

Железнодорожные грузоперевозки играют определяющую роль в сохранении экономической целостности страны. Государственная политика сдерживания потребительской инфляции за счет ограничения тарифов на услуги естественных монополий как следствие порождает дефицит финансовых ресурсов на обновление и модернизацию их основных фондов. В качестве возможного подхода к решению проблемы обычно предлагается выделить некоторый сегмент деятельности естественной монополии и привлечь в него частных инвесторов. В российской системе железнодорожных перевозок недостаток финансовых ресурсов привел к необходимости решать проблему обновления вагонного парка. Эта проблема была решена в процессе начавшегося в 2001 г. реформирования ОАО “РЖД” за счет привлечения частных инвесторов и допуска на рынок грузоперевозок коммерческих компаний, являющихся владельцами вагонного парка и посредниками между ОАО “РЖД” и потребителями услуг по грузоперевозке.

Появление таких посредников могло привести к росту тарифов на грузоперевозки, сокращению железнодорожного грузооборота и специализации на перевозке высокодоходных грузов.

Поэтому при реформировании ОАО “РЖД” были выделены крупные компании ОАО “Первая грузовая компания”, ОАО “Федеральная грузовая компания” и ОАО “ТрансКонтейнер”. В управлении этими компаниями сохраняется государственное влияние, структура их совокупного грузооборота в целом сохранила дореформенные пропорции, и они осуществляют более 80% грузоперевозок. Это позволило, обновив парк грузовых вагонов и устранив их дефицит, не допустить неконтролируемый рост тарифов и сокращение грузооборота. В частности, за счет перекрестного субсидирования сохраняется перевозка грузов с низкой доходностью, что важно Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-07-13110 офи-м-РЖД).

Математическая модель экономики железнодорожных грузоперевозок 45 для сохранения целостности страны. Однако проявились и негативные последствия. Небольшие коммерческие компании повысили тарифы, предложив лучшее качество услуг (более короткие сроки перевозок), и стали специализироваться на перевозке высокодоходных грузов.

Такая специализация вызвала увеличение перегона порожняка, увеличила нагрузку на транспортную инфраструктуру в целом, что порождает увеличение сроков обслуживания. Кроме того, увеличение тарифов оказывает влияние на спрос на услуги по железнодорожным грузоперевозкам. В частности, увеличился объем перевозок высокодоходных грузов автотранспортом.

Все эти последствия являются упущенной прибылью для системы железнодорожных грузоперевозок в целом и нуждаются в анализе, учитывающем косвенные последствия принимаемых решений. Естественным языком для этого являются математические модели, учитывающие специфику экономических отношений, сложившихся в отрасли. Удачным примером такого анализа может служить знаменитая работа Л.В. Канторовича и М.К. Гавурина [1], которая послужила исходной посылкой для наших исследований. В современных российских условиях модель и постановки задач из [1] нуждаются в модификации, с тем чтобы учесть влияние рыночной конъюнктуры и тарифов на спрос на услуги по железнодорожным грузоперевозкам, а также возможности извлечения сверхприбыли.

–  –  –

В условиях совершенной конкуренции при наличии объемов железнодорожных перевозок k 0 k-го товара из j-го пункта производства в i-й пункт потребления из условий дополzij няющей нежесткости к ограничениям (1.8) следует выполнение соотношения pk = pk + ck.j i ij Рассмотрим вопрос о характере рыночных отношений в современной России на примере внутренних железнодорожных перевозок зерна в 2013 г. между субъектами РФ. Общий объем внутренних перевозок зерна за 2013 г. в стране составил 140428 вагонов емкостью 65 т, причем данные о ценах производителей и покупателей имелись для 85060 вагонов, (61% от общего объема внутренних железнодорожных грузоперевозок зерна). Тарифы на перевозку вагонов с зерном из j-го пункта производства в i-й пункт потребления определяются расстоянием4 ij между ними по формуле

–  –  –

где (•) субдифференциал функции (•).

Таким образом, анализ монопольного извлечения сверхприбыли перевозчиком сводится к анализу двухуровневой задачи оптимизации. В силу выпуклости функции (c) имеем

–  –  –

Поскольку функция (p) не возрастает по переменной p, можно положить на оптимальном решении p = p + c.

Тогда задача минимизации (2.1)–(2.2) сводится к следующей задаче:

–  –  –

Нетрудно вычислить, что в случае олигополии Курно = 2n/(2n + 1). Из (2.6) видно, что увеличение числа перевозчиков приводит к увеличению объема грузоперевозок и снижению тарифов на грузоперевозки (к монотонности обратных функций спроса). В случаях, когда n = 1, объем грузоперевозок, определяемый по формуле (2.6), равен объему грузоперевозок z () монопольного грузоперевозчика. При n + объем грузоперевозок стремится к c объему перевозок в условиях совершенной конкуренции: показатель 1, т. е. общесистемные потери исчезают. В зависимости от индекса рыночной концентрации Герфиндаля Хиршмана HHI грузооборот уменьшается в 10000/(10000 + HHI) раз, а показатель общесистемных потерь в 20000/(20000 + HHI) раз.

Таким образом, монопольный эффект мог бы объяснить посредническую прибыль, которую мы зарегистрировали при анализе железнодорожных перевозок зерна. Возникают вопросы: что препятствует развитию конкуренции и какую роль в этом играют коммуникационные ограничения?

–  –  –

Обозначим пропускную способность железной дороги по перевозке грузов из узловой станции на узловую станцию через V. Пропускную способность узловой станции по приему и отправлению грузов обозначим M.

Рассмотрим задачу о максимизации прибыли экономической системы с учетом коммуникационных ограничений:

–  –  –

Здесь множители Лагранжа t к коммуникационным ограничениям (3.4) интерпретируются как теневые наценки при эксплуатации ограниченной пропускной способности железной дороги, соединяющей узловые станции и, а множители Лагранжа к коммуникационным ограничениям (3.5) как теневые наценки при эксплуатации ограниченной пропускной способности узловой станции.

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что набор неотрицательных чисел

–  –  –

решением двойственной задачи (3.7)–(3.9)6. При этом оптимальные значения функционалов в задачах (3.1)–(3.6) и (3.7)–(3.9) равны.

Будем говорить в этом случае, что конкурентное равновесие (3.10) соответствует паре взаимно двойственных задач выпуклого программирования (3.1)–(3.6) и (3.7)–(3.9).

Математическая модель экономики железнодорожных грузоперевозок 53

–  –  –

По теореме Фенхеля [2, с. 46, 47] оптимальные значения функционалов в задаче (3.1)–(3.6) и двойственной к ней задаче (3.7)–(3.9) равны.

Откуда следует, что коммуникационные ограничения пропускной способности (3.5), (3.6), влияющие на множители Лагранжа {t, t} и тем самым на разность цен в пунктах потребления и производства, порождают посредническую прибыль:

–  –  –

Отметим, что реализация инвестиционных проектов по увеличению пропускной способности коммуникационных ограничений {M, V t} (сортировочных станций или железнодорожных путей) приводит к уменьшению доходов (3.14). Поэтому для реализации этого предложения потребуется разделить финансовые потоки (3.11) и (3.14) и создать самостоятельную организационную структуру, финансирующую инвестиционные проекты по развитию системы железнодорожного транспорта и получающую денежные средства от ОАО “РЖД” (3.14) и государства. Реализация инвестиционных проектов по увеличению пропускной способности транспортной системы приводит к уменьшению размеров денежного потока (3.14), но увеличивает оптимальное значение функционала в задаче (3.1)–(3.6), а значит, совокупные прибыли потребителей (3.12) и (3.13). Было бы логично, если бы часть увеличивающихся за счет этого поступлений с налога на прибыль государство направляло на инвестиции в систему железнодорожного транспорта.

В экстремальной задаче (3.7)–(3.9) для анализа тарифов на грузоперевозки множители Лагранжа {t, } являются оценками экономического эффекта от инвестиций в увеличение пропускной способности железной дороги V по перевозке грузов из узловой станции на узловую станцию и пропускной способности M узловой станции по приему и отправлению грузов. Решение задач (3.1)–(3.6) при различных значениях V, M позволяет выделить субъектов рассматриваемой экономической системы, заинтересованных в увеличении пропускных способностей и реализации соответствующих инвестиционных проектов.

–  –  –

Отметим, что поскольку каждый пункт производства или потребления содержит несколько различных железнодорожных станций, при идентификации мы получим интервал Математическая модель экономики железнодорожных грузоперевозок 55

–  –  –

была совместна, необходимо и достаточно, чтобы вектор f (k )| k принадлежал ij ij (k | ), k | (, ) конической оболочке = con (, ).

ij ij Изучение связи комбинаторных свойств конуса с архитектурой пространственно распределенных рынков представляется интересной и важной задачей.

Проведенный на языке математических моделей анализ проблемы формирования тарифов на железнодорожные грузоперевозки позволяет сделать ряд выводов.

1. Ограничение пропускной способности может увеличивать разрыв между ценами в пунктах производства и ценами в пунктах потребления и порождает посредническую прибыль.

2. Ограничение на рост тарифов не позволяет системе железнодорожных грузоперевозок участвовать в извлечении посреднической прибыли и порождает недостаток финансовых средств на увеличение пропускной способности, модернизацию и обновление основных средств.

3. Привлечение частных инвестиций в обмен на привилегии в извлечении посреднической прибыли не является “системным решением проблемы”, поскольку увеличение пропускной способности железнодорожной сети приводит к уменьшению разницы между ценами в пунктах производства и потребления и уменьшает посредническую прибыль.

4. Модельные примеры показывают, что максимизация посреднической прибыли может приводить к существенному сокращению объемов производства и снижению эффективности грузовых потоков.

5. В отличие от агентов, заинтересованных в извлечении посреднической прибыли, общество в целом (государство), в частности некоторые производители и потребители, заинтересовано в увеличении пропускной способности грузоперевозок.

6. Вычисляемые модели взаимодействия экономических агентов с учетом коммуникационных ограничений могут выявить инвесторов, заинтересованных в увеличении пропускной способности и модернизации железнодорожных грузоперевозок.

Отметим, что вопросам анализа воспроизводства и распределения товаров и услуг, предоставляемых государством и естественными монополиями, посвящена разработанная около ста лет назад концепция равновесия Э. Линдаля (1919) (см, например, [4–6]) в модели с общественными благами. Равновесие по Линдалю предполагает, что вложения экономического агента в 56 М. П. Ващенко, Я. С. Пронин, А. A. Шананин финансирование общественного блага определяются предельной полезностью для него общественного блага. Под общественными благами в этой модели понимаются товары и услуги, которыми могут пользоваться одновременно разные потребители. Примерами отраслей, производящих такие товары и услуги, являются инфраструктурные отрасли (естественные монополии). Основным результатом исследования таких моделей является теорема о механизме конкурентного равновесия, который должен допускать дифференциацию цен (перекрестное субсидирование), т. е. потребители различных типов за предоставленное общественное благо должны платить по разным тарифам. Каким должен быть компромисс между интересами различных экономических агентов? Для анализа этого вопроса можно предложить разные подходы. Отметим, например, цикл работ по исследованию игр с иерархическим вектором интересов [7–11].

–  –  –

являются ее решением. Действительно, обозначим множители Лагранжа к ограничениям (3.8) k через zij 0 (i I, j J, k K) и составим функцию Лагранжа задачи (3.7)–(3.9):

–  –  –

получаем с учетом (3.5), (3.6), что если маршруты грузоперевозок между пунктами производства и потребления k | i I, j J, k K зафиксированы, то множители Лагранжа ij

–  –  –

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Канторович Л.В., Гавурин М.К. Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков // Проблемы повышения эффективности работы транспорта. М.: Изд-во АН СССР,

1949. С. 110–138.

2. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.

3. Lindahl E. Just taxation – A positive solution / ed. trans. (English) Е. Henderson // Classes in the Theory of Public Finance / eds. R.A. Musgrave and A.T. Peacok. New York: Macmillian, 1958.

P. 168–176.

4. Булавский В.А., Калашников В.В. Метод однопараметрической прогонки для исследования состояния равновесия. // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30, № 4. С. 129–133.

5. Стиглиц Дж.Ю. Экономика государственного сектора. М.: Инфра-М, 1997. 718 с.

6. Florenzano M., del Mercato E.L. Edgeworth and Lindahl-Foley equilibria of a general equilibrium model with private provision of pure public goods // J. Public Economic Theory. 2006. Vol. 8, no. 5.

P. 713–740.

7. Гермейер Ю.Б., Ватель И.А. Игры с иерархическим вектором интересов // Изв. АН СССР.

Техническая кибернетика. 1974. № 3. C. 54–69.

8. Устойчивые компромиссы в играх со структурированными функциями выигрыша / Н.С. Кукушкин, И.С. Меньшиков, О.Р. Меньшикова, Н.Н. Моисеев // Журн. вычисл. математики и мат.

физики. 1985. Т. 25, № 12. С. 1761–1776.

9. Кукушкин Н.С. О существовании устойчивых исходов в теоретико-игровой модели экономики с общественными благами // Докл. АН ССР. 1991. Т. 20, № 1. С. 25–28.

10. Kukushkin N.S. A condition for existence of Nash equilibrium in games with public and private objectives // Games and Economic Behavior. 1994. Vol. 7. P. 177–192.

11. Kukushkin N.S. On existence of stabe and ecient outcomes in games with public and private objectives // Internat. J. Game Theory 1992. Vol. 20, no. 3. P. 295–303.

–  –  –

Ващенко Михаил Петрович канд. физ.-мат. наук науч. сотрудник ВЦ РАН e-mail: mikhail.vashchenko@gmail.com Пронин Яков Срегеевич аспирант МФТИ ГУ e-mail: pronin.yakov@gmail.com

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

–  –  –

УДК 514.17; 532.5

ОДИН КЛАСС РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ТОРЕ

С СОЛЕНОИДАЛЬНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ1

В. П. Верещагин, Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных Рассматривается система уравнений относительно пары (V, p) векторного и скалярного полей в торе D, состоящая из уравнения Эйлера при задаваемом векторном поле f и уравнения соленоидальности поля V.

Изучается проблема существования решений (V, p) этой системы, у которых линии векторного поля V внутри D совпадают с меридианами вложенных в D торов с единой осевой окружностью. Установлены условия на векторное поле f, при которых эта задача разрешима, и описан весь класс таких решений.

Ключевые слова: скалярное и векторное поля, уравнение Эйлера, дивергенция, ротор.

V. P. Vereshchagin, Yu. N. Subbotin, N. I. Chernykh. A solution class of the Euler equation in a torus with solenoidal velocity eld.

A system of equations with respect to a pair (V, p) of a scalar eld and a vector eld in a torus D is considered. The system consists of the Euler equation with a given vector eld f and the solenoidality equation for the eld V. We seek for solutions (V, p) of this system for which lines of the vector eld V inside D coincide with meridians of tori embedded in D with the same circular axis. Conditions on the vector eld f under which the problem is solvable are established, and the whole class of such solutions is described.

Keywords: scalar and vector elds, Euler equation, divergence, curl.

–  –  –

относительно пары (V, p) векторного V = V(X, t) и скалярного p = p(X, t) полей в D 4 = {(X, t) : X D, t [0, )}, где D тор в пространстве R3. Далее через X = x(x1, x2, x3 ) обозначается произвольная точка из R3, задаваемая радиусом вектором X = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3, относительно декартовой системы координат Ox1 x2 x3 с началом O и осью Ox3, совпадающими с центром симметрии и осью симметрии тора, и с базисом e1, e2, e3 ; через обозначена положизадаваемое в D 4 непрерывное векторное поле; через тельная постоянная; через f = f (X, t) дифференциальный оператор Гамильтона; через (a, b) и [a, b] скалярное и векторное произведения векторов a, b включая случай, когда один из них совпадает с символическим вектором = e1 /x1 + e2 /x2 + e3 /x3. Для дивергенции и ротора векторного поля a и градиента скалярного поля используются формулы diva = (, a), rot a = [, a], grad u = u.

Ясно, что тор D = Drc,r0 вполне определяется радиусом rc 0 его осевой окружности Lc и внутренним радиусом r0 (0, rc ) как область в R3, образованная вращением открытого круга {(x1 rc )2 + x2 r0, x2 = 0} радиуса r0 вокруг оси Ox3.

Решение системы (1) будем понимать как непрерывно дифференцируемую в D 4 векторфункцию V (короче гладкую функцию) и непрерывную по t и гладкую по X в D функцию p, в каждой точке из D 4 обращающую уравнения системы (1) в равенства. При этом на Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Один класс решений уравнения Эйлера в торе 61 компоненту V решения (V, p) системы (1) будем накладывать еще геометрическое условие:

линии векторного поля V(X, t) при каждом t 0 лежат в сечениях тора D плоскостями, перпендикулярными осевой окружности Lc тора, и в каждом сечении являются окружностями с центром на Lc. Аналогичные решения для уравнений движения сплошной среды в аксиально симметричном цилиндрическом слое найдены в работе авторов [1].

Отметим, что качественному исследованию динамических потоков на 2-мерном торе после работ Пуанкаре [2] и Колмогорова [3] посвящено много работ (см. [4] и приведенный там список литературы). А построенные в работе векторные поля V = V(X(r,, ), t) порождают потоки специального вида на поверхности каждого вложенного тора Drc,r (0 r r0 ), согласованные при каждом V(X, t) между собой по непрерывности, образуя возможные движения сплошной среды в объеме тора D, подчиненные уравнению Эйлера.

1. Для описания полей введем в части пространства R3, содержащей тор D, специальную систему криволинейных координат, поставив при неизменном rc 0 в соответствие каждой точке x (R3 \Lc )\Ox3 тройку чисел (r,, ) = (r(X), (X), (X)) (которая также будет зависеть от фиксированного во всей работе радиуса rc ) следующим образом. Проведя полуплоскость через ось Ox3 и точку X(x1, x2, x2 ) Ox3, определяем (см. рисунок) угол = (X) между и положительным направлением оси Ox1 и точку Xc () = rc (e1 cos + e2 sin ) (= Lc ). Теперь можно определить r = r(X) = |X Xc ()| и, при X Lc, угол = (X) между e3 и (X Xc ()), так что пара (r, v) это полярные координаты точки X в полярной системе координат в полуплоскости с центром в точке Xc () и полярной осью, сонаправленной с ортом e3. Тем самым установлено взаимооднозначное соответствие, в частности, между точками X D\Lc и тройками чисел (r,, ) (0, r0 ) [0, 2) [0, 2) их криволинейными координатами. Точки из Lc = {Xc () : [0, 2)} вполне определяются парой чисел (r = 0, ) при заданной константе rc 0 и соответствующем угле. Тем не менее, применяя далее обозначение X(r,, ) для точек X(r(X), (X), (X)), мы для краткости и единообразия сохраним такое обозначение X(0,, ) и для X Lc, хотя от параметра здесь ничего не зависит.

–  –  –

не меняя символьного обозначения этих и других векторных и скалярных функций при переходе от декартовых координат (x1, x2, x3 ) к криволинейным (r,, ) и наоборот.

В этих обозначениях сформулированное выше условие на линии векторного поля V(X, t) в аналитической форме означает, что в D 4 должно выполняться равенство (7) V(r,,, t) = (r,,, t)e (, ) с гладкой правой частью в области D 4, так что функция, естественно, изначально должна быть определенной, 2-периодической по и и гладкой в D 4 = [0, r0 ) R R R+ R4.

Однако в составе формулы (7) функция при каждом t R+ рассматривается как скалярное поле в D, определяя в точках X тора D векторное поле V с помощью подстановки (r,, ) X.

2. Отвлекаясь пока от системы уравнений (1), изучим свойства произвольного векторного поля a вида (7), полагая в D 4 = D R+

–  –  –

Как отмечалось, условие гладкости, наложенное в этом утверждении на функцию, для его справедливости является также и необходимым. Будем в дальнейшем считать условия этого утверждения выполненными.

3. Условия на функцию, обеспечивающие гладкость поля (8)–(9) в D, удобнее было определить, приведя вектор-функцию (r,, )e (, ) к декартовым координатам. Однако исследовать систему уравнений (1) в торе удобнее в криволинейных координатах (r,, ), тесно связанных с геометрией тора. Предварительно нужно выразить в этих координатах ряд дифференциальных операторов над векторными и скалярными полями.

Дифференцируя правые части формул (2) и сравнивая результаты с самими формулами (2), выводим равенства

–  –  –

откуда по-прежнему видно, что поле a поперечно вихревое в D 4 и (теперь в силу (13), (14), (23)) rot a r=0 = 0.

Далее, подставляя (25) в (21), видим, что для векторного поля a, удовлетворяющего предложению 2, в D 4 справедлива формула

–  –  –

этого уравнения, где P(t) произвольная непрерывная на [0, ) функция. В результате мы получаем следующий, как нам представляется, интересный факт.

Теорема. Система уравнений (1), состоящая из уравнения Эйлера для пары (V, p) и уравнения соленоидальности для V, тогда и только тогда имеет решение в D 4 с векторфункцией скорости V(X(r,, )t)), принадлежащей классу векторных полей M(D), и давлением p(X, t), гладким по X в D 4 и непрерывным по t в точках промежутка [0, ), когда поле сил f (X(r,, ), t) задается формулой (40) с любой фиксированной парой функций и, удовлетворяющих условиям () и (), соответственно. При этом компонента V решения не зависит от функции в определении f (40) и совпадает с вектор-функцией a из множества (38) с функцией, вошедшей в определение f (40). А компонента p решения не зависит от функции и определяется формулой (41).

70 В. П. Верещагин, Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Верещагин В.П., Субботин Ю.Н., Черных Н.И. К механике винтовых потоков в идеальной несжимаемой невязкой сплошной среде // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 120–134.

2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л., 1947. 392 с.

3. Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. 1953. Т. 93, № 5. С. 763–766.

4. Negrini P. Stability problem for the Euler equation on the 2-dimensional torus // S. Paulo J. of Math.

Sci. 2011. Vol. 5, no. 1. P. 89–98.

Верещагин Владимир Пантелеевич Поступила 18.08.2014 д-р физ.-мат. наук, профессор Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН г. Екатеринбург Субботин Юрий Николаевич д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН e-mail: yunsub@imm.uran.ru Черных Николай Иванович д-р физ.-мат. наук, профессор Институт математики и механики Н. Н. Красовского УрО РАН e-mail: Nikolai.Chernykh@imm.uran.ru

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

–  –  –

Рассматривается игровая задача сближения для системы, динамика которой описывается уравнением в частных производных, не принадлежащим типу Ковалевской, т. е. не разрешенным относительно производной по времени. В гильбертовом пространстве функций уравнение с краевыми условиями записывается в абстрактной форме в виде дифференциально-операторного уравнения. С использованием метода разрешающих функционалов получены достаточные условия приведения динамического вектора системы на цилиндрическое терминальное множество. Результаты иллюстрируются на модельном примере, связанном с процессом фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах.

Ключевые слова: дифференциальная игра, многозначное отображение, разрешающий функционал, уравнение в частных производных, оператор.

L.A. Vlasenko, A.A. Chikrii. On a dierential game in a distributed system.

We consider the game problem of approach for a system whose dynamics is described by a partial dierential equation not of Kovalevskaya type, that is not solved in time derivative. In a Hilbert function space, the equation with boundary conditions are written in an

Abstract

form as a dierential operator equation. Using the method of resolving functionals, we obtain sucient conditions for the approach of a dynamical vector of system to a cylindrical terminal set. Results are exemplied by means of a model problem concerning ltering uids in fractured-porous rocks.

Keywords: dierential game, set-valued mapping, resolving functional, partial dierential equation, operator.

Введение

В математической теории управления и теории динамических игр разработаны фундаментальные методы исследования систем с сосредоточенными параметрами [1–7], установлены связи между различными подходами [8]. Динамика этих систем описывается дифференциальными уравнениями в конечномерных пространствах. Динамика систем с распределенными параметрами описывается уравнениями в частных производных. Абстрактной формой этих уравнений являются дифференциально-операторные уравнения в банаховых или гильбертовых пространствах. Работы [9–12] посвящены изучению дифференциальных игр в распределенных системах. В работе [9] используется первый прямой метод Л. С. Понтрягина, в работах [10;11] изучается правило экстремального прицеливания Н. Н. Красовского, а в работе [12] метод разрешающих функций [13; 14] распространяется на случай гильбертовых пространств (метод разрешающих функционалов).

В общем случае уравнения в частных производных являются не разрешенными относительно старшей производной по времени, т. е. уравнениями, не принадлежащими типу Ковалевской, или типа Соболева [15]. Абстрактной формой этих уравнений являются неявные дифференциально-операторные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной. Мы изучаем дифференциальную игру в системе, которая описывается уравнением в частных производных не типа Ковалевской, а также неявным дифференциально-операторным уравнением в абстрактном гильбертовом пространстве. Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [12] с помощью метода разрешающих функционалов. Здесь мы изучаем динамические игры в системах, для описания динамики которых используем более широкие классы дифференциально-операторных уравнений и уравнений в частных производных по сравнению с [12].

72 Л. А. Власенко, А. А. Чикрий

1. Постановка задачи для системы с распределенными параметрами

–  –  –

где ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей, = ; u(t, x) и v(t, x) управляющие воздействия источника и стока. В разд. 3 мы уточним ограничения на функции aij (x), a0 (x), 1 (x), 2 (x), q(x). Заметим, что дифференциальное выражение Ay (1.4) использовалось при описании динамики конфликтно-управляемой системы с распределенными параметрами в [11]. В отличие от работы [11] в настоящей статье дифференциальное выражение Ay (1.4) также присутствует под производной по времени /t в уравнении (1.1) и в начальном условии (1.3). Допустимые управления источника u(t, x) и стока v(t, x) удовлетворяют ограничениям, которые мы также уточним в разд. 3.

При постановке задачи будем учитывать, что для системы не типа Ковалевской (1.1)–(1.4) динамической компонентой является не состояние y(t, x), а функция Ay(t, x), которая входит в уравнение (1.1) под знаком производной по времени и для которой ставится начальное условие (1.3). Цель игры в системе (1.1)–(1.4) состоит в приведении динамической компоненты Ay(t, x) в ноль за конечное время в классе допустимых управлений источника при любом допустимом управлении стока. Момент времени T будем считать достаточно большим, так что игра должна закончиться не позже этого момента.

Будем придерживаться подхода, принятого в [17, гл. V, §2] к исследованию смешанных задач. В гильбертовом пространстве L2 () функций, суммируемых в квадрате на, смешанную задачу (1.1)–(1.4) запишем в виде начальной задачи для дифференциально-операторного уравнения. Роль операторов играют дифференциальные выражения по x из (1.1) c краевыми условиями (1.2); решение y(t, x) трактуется как функция от t со значениями из L2 (). Детали такого перехода описываются в разд. 3. Заметим, что переход от уравнения в частных производных с краевыми условиями к дифференциально-операторному уравнению в теории дифференциальных игр был использован в [10].

2. Дифференциальная игра в абстрактных гильбертовых пространствах

–  –  –

Здесь A, B замкнутые линейные операторы, действующие из сепарабельного вещественного гильбертова пространства H1, вообще говоря, в другое сепарабельное вещественное гильбертово пространство H2 с областями определения DA, DB соответственно, D = DA DB = {0}; K1, K2 ограниченные линейные операторы из сепарабельных вещественных гильбертовых пространств U, V в пространство H2 ; управления преследователя u(t) и убегающего v(t) предполагаются сильно измеримыми вектор-функциями, принимающими значения из областей управления U0 и V0, которые предполагаются замкнутыми выпуклыми ограниченными множествами в пространствах U и V. Целью игры в системе (2.1), (2.2) является приведение динамического вектора Ay(t) на терминальное множество M за конечное время (не превосходящее T ) в классе допустимых управлений преследователя при любом допустимом управлении убегающего.

Чтобы применить метод разрешающих функционалов [12] к исследованию дифференциальной игры в системе (2.1), (2.2), опишем решения y(t) этой системы при различных допустимых управлениях. Предварительно исследуем вспомогательную начальную задачу (2.2) для уравнения d (2.3) [Ay(t)] + By(t) = (t), 0 t T.

dt Будем использовать следующие обозначения: L(H1, H2 ) пространство линейных ограниченных операторов из H1 в H2, L(H1, H1 ) = L(H1 ); L2 (0, T ; H1 ) пространство H1 -значных 1 (0, T ; H ) функций, интегрируемых с квадратом нормы на [0, T ]; W2 пространство Соболева H1 -значных функций, которые принадлежат L2 (0, T ; H1 ) вместе со своими обобщенными производными. Функции из W2 (0, T ; H1 ) будем считать непрерывными на [0, T ], изменив их, если это необходимо, на множестве меры “ноль”. Пусть (t) L2 (0, T ; H2 ). Решением начальной задачи (2.3), (2.2) называется функция y(t) L2 (0, T ; H1 ) такая, что y(t) D для почти всех t [0, T ], Ay(t) W2 (0, T ; H2 ), y(t) почти всюду удовлетворяет уравнению (2.3) и выполнено начальное условие (2.2). Выясним условия разрешимости начальной задачи (2.3), (2.2) и опишем решения.

Пусть H1, H2 комплексные оболочки вещественных пространств H1, H2, A, B комплексные расширения операторов A, B [18, гл. XIII, § 2]. Предположим, что пучок операторов A + B : D = DA DB H2 имеет резольвенту (A + B)1 L(H2, H1 ) при || C1 (C1 0) и норма резольвенты удовлетворяет оценке

–  –  –

его сужение Q1 L(H2 ) на вещественное пространство H2 и оператор Q2 = E Q1 L(H2 ).

Через E мы обозначаем единичный оператор. Операторы Q1, Q2 являются взаимно дополнительными проекторами в пространстве H2. Замкнутый линейный оператор

–  –  –

(полагаем 00 = E).

Вернемся к изучению дифференциальной игры в системе (2.1), (2.2). Будем предполагать справедливость ограничения (2.4) и выполнение равенств

–  –  –

Учтем, что динамический вектор Ay(t) (2.7) является элементом подпространства H = Q1 H2 пространства H2. Как и в [12–14], терминальное множество имеет цилиндрический вид

–  –  –

имеет непустые и замкнутые образы. Действительно, 0 (t,, v) для всех (t,, v) V0.

Если (t) M1, то (t,, v) = [0, ) является замкнутым множеством. Если (t) M1, то замкнутость образов (t,, v) является следствием слабой компактности множества M1 и образов (t,, v). Теперь определим разрешающий функционал (2.11) (t,, v) = sup 0 : (t,, v), (t,, v) V0, который является опорной функцией многозначного отображения (t,, v) (2.10). Если (t) M1, то (t,, v) =. Если (t) M1, то разрешающий функционал ограничен и в силу компактности множества (t,, v) (2.10) точная верхняя грань в (2.11) достигается. Если (t) M1, то с применением теоремы об опорной функции 8.2.14 [22] устанавливаем, что разрешающий функционал является измеримым по (, v) [0, t] V0.

Детали доказательств приведенных выше фактов можно найти в [12].

Пусть V множество сильно измеримых вектор-функций v( ) : [0, T ] V0 V. Если v(·) V и (t) M1, то подобно предыдущим рассуждениям получаем, что измеримы по [0, t] многозначное отображение (t,, v( )) и разрешающий функционал (t,, v( )). Введем множество t

–  –  –

Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемой системы (2.

1), (2.2) с терминальным множеством M (2.8) справедливо ограничение (2.4) с некоторыми положительными постоянными C1 0, C2 0 и целым числом r 0, выполнено условие Понтрягина, начальный вектор q в (2.2) и операторы K1, K2 в (2.1) удовлетворяют соотношениям (2.6) и для некоторого селектора (t, ) 0 (t, ) множество (2.12) имеет непустое пересечение с отрезком [0, T ]. Тогда динамический вектор Ay(t) системы (2.1), (2.2) может быть приведен на терминальное множество M (2.8) в момент T0 [0, T ].

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1 осуществляется по схеме доказательства теоремы из [12]. При этом необходимо учесть, что теорема в [12] доказывается в частном случае оценки (2.4), когда показатель степени r = 0. Также в работе [12] операторы K1, K2 при управлениях u(t), v(t) в уравнении (2.1) являются единичными и, следовательно, совпадают пространства H2 = U = V. Приведем схему доказательства.

Многозначное отображение

–  –  –

измеримо в силу теоремы 8.2.9 о прообразе [22]. Если v( ) произвольная измеримая функция из [0, T0 ] в V0, то многозначное отображение U1 (, v( )) измеримо по [0, T0 ]. В силу теоремы измеримого выбора 8.1.3 [22] многозначные отображения U1 (, v) и U1 (, v( )) имеют измеримые селекторы u1 (, v) и u1v ( ). Заметим, если многозначное отображение U1 (, v) имеет суперпозиционно измеримый селектор u1 (, v) (см. определение в [23, п. 17.8]), функция u1v ( ) = u1 (, v( )) является измеримым селектором многозначного отображения U1 (, v( )).

Например, суперпозиционная измеримость будет, если u1 (, v) является отображением Каратеодори, т. е. непрерывным по v.

В случае (T0 ) M1 управление преследователя u( ) на промежутке [0, T0 ] положим равным измеримому селектору u1v ( ) многозначного отображения U1 (, v( )). При таком выборе управления преследователя динамический вектор Ay(t) системы (2.1), (2.2) будет приведен на терминальное множество M (2.8) в момент T0 при любых допустимых управлениях убегающего.

Рассмотрим случай (T0 ) M1. В силу теоремы 8.2.9 о прообразе [22] многозначное отображение U2 (, v) = u U0 : eW (T0 ) Q1 [K1 u K2 v] (T0, ) (2.14) (T0,, v)[M1 (T0 )], (, v) [0, T0 ] V0, измеримо. Для произвольной измеримой функции v( ) : [0, T0 ] V0 многозначное отображение U2 (, v( )), [0, T0 ], также измеримо. В силу теоремы измеримого выбора 8.1.3 [22] многозначные отображения U2 (, v) и U2 (, v( )) имеют измеримые селекторы u2 (, v) и u2v ( ).

Если многозначное отображение U2 (, v) имеет суперпозиционно измеримый селектор u2 (, v), в частности удовлетворяющий условию Каратеодори, то можно положить u2v ( ) = u2 (, v( )).

Введем функцию t

–  –  –

Управление преследователя u( ) на промежутке [0, t ) положим равным измеримому селектору u2v ( ) многозначного отображения U2 (, v( )), а на промежутке [t, T0 ] равным измеримому селектору u1v ( ) многозначного отображения U1 (, v( )). При таком выборе управления преследователя динамический вектор Ay(t) системы (2.1), (2.2) будет приведен на терминальное множество M (2.8) в момент T0 при любых допустимых управлениях убегающего. На этом изложение схемы доказательства теоремы завершается.

3. Приложение к конфликтно-управляемой задаче фильтрации

–  –  –

Оператор A является самосопряженным; его спектр состоит из счетного множества вещественных собственных чисел конечной кратности {m } c точкой сгущения (в этой поm=1 следовательности каждое собственное число повторяется с учетом кратности); соответствующие собственные функции {em (x)} образуют ортонормированный базис в L2 () [17, гл. II].

m=1 Смешанную задачу (1.1)–(1.4) будем интерпретировать как абстрактную задачу (2.1), (2.2) в пространстве H1 = H2 = L2 () с единичными операторами K1, K2. Решение смешанной задачи (1.1)–(1.4) будем понимать в смысле решения абстрактной задачи (2.1), (2.2). Функция y(t, x) L2 ((0, T ) ) является решением смешанной задачи (1.1)–(1.4), если y(t, ·) o W2 () W2 () для почти всех t [0, T ], Ay(t, ·) W2 (0, T ; L2 ()), y(t, x) удовлетворяет (1.1)–(1.3) для почти всех t [0, T ], x. Терминальное множество (2.8) есть M = {0}, M0 = H = ImA, M0 = {0}, M1 = {0}, = E. Здесь ImA образ оператора A. Области управления источника U0 и стока V0 представляют собой замкнутые шары в L2 () радиусов 1 и 2 соответственно. Покажем, что для игровой задачи в системе (1.1)–(1.4) выполнены условия теоремы 1.

Комплексная оболочка H1 = H2 вещественного пространства H1 = H2 есть комплексное пространство L2 (). Комплексные расширения A, B операторов A, B также определяются дифференциальными выражениями (3.2), а их область определения D = DA = DB есть o пересечение комплексных пространств W2 (), W2 (). Покажем, что для пучка операторов A + B справедливо ограничение (2.4) с показателем степени r = 0 (ср. с результатами приложений в [24]). Если ноль не является точкой спектра оператора A, то требуемый результат следует из представления A + B = (E + B A1 )A. Если ноль является собственным числом оператора A, то справедливо ортогональное разложение: H1 = KerA ImA, где KerA = Y0 ядро оператора A, ImA = Y1 его образ. Пусть 0, 1 операторы ортогонального проектирования на Y0, Y1 соответственно.

Для операторов A, B введем блоки:

–  –  –

Пересечение [0, T ] будет непустым, если T T0.

Таким образом, для игровой задачи в системе (1.1)–(1.4) выполнены условия теоремы 1.

Наименьшее время T0 приведения динамической компоненты системы в ноль определяется из соотношения (3.8).

Многозначные отображения (2.13), (2.14) представляют собой следующие выражения:

U1 (, v) = {u(x) U0 : Q1 u = Q1 v},

–  –  –

где t есть момент переключения с управления u(, x) = u2 (, v( )) на управление u(, x) = u1 (, v( )), который согласно (2.15) определяется с помощью соотношения

–  –  –

Таким образом, мы получили следующий результат.

Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемой системы (1.

1)–(1.4) выполняются следующие предположения: функции aij (x), a0 (x), 1 (x), 2 (x), q(x) принимают вещественные значения; функции 1 (x), 2 (x) являются ограниченными и измеримыми на, inf 2 (x) 0;

x aij (x) C 1 (), a0 (x) C(), aij (x) = aji (x), дифференциальное выражение (1.4) удовлетворяет условию равномерной эллиптичности (3.1); области управления источника U0 и стока V0 суть замкнутые шары в L2 () радиусов 1 и 2, 1 2 ; функция q(x) L2 () отлична от нуля на некотором множестве из положительной меры и удовлетворяет соотношениям (3.3), (3.7), где 1, 2 определены в (3.4); T T0, где T0 определено в (3.8).

Тогда динамическая компонента Ay(t, x) системы (1.1)–(1.4) может быть приведена в ноль за наименьшее время T0 при любом допустимом управлении стока v(t, x) V0 и допустимом управлении источника u(t, x) U0 вида (3.9), где момент t переключения управления удовлетворяет соотношению (3.10) с разрешающим функционалом (t,, v) (3.5).

80 Л. А. Власенко, А. А. Чикрий

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М.: Наука, 1988. Т. 2. 576 c.

2. Красовский Н.Н., Субботин А.Н. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

455 с.

3. Isaacs R. Dierential Games. New York: John Wiley, 1965. 480 p.

4. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

392 с.

5. Kurzhanski A.V., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhuser, 1997.

a 321 p.

6. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary dierential equations: dynamic systems. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

7. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

288 с.

8. Куржанский А.Г., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона Якоби // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 6. С. 69–100.

9. Никольский М.С. Об управлении при наличии противодействия // Вестн. Моск. ун-та. 1972.

№ 1. C. 67–72.

10. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 6. C. 1314–1317.

11. Осипов Ю.С. Позиционное управление в параболических системах // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. C. 195–201.

12. Власенко Л.А., Чикрий А.А. Метод разрешающих функционалов для одной динамической игры в системе типа Соболева // Проблемы управления и информатики. 2014. № 4. C. 5–14.

13. Chikrii A.A. Conict-controlled processes. Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997.

424 p.

14. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИАН.

2010. Т. 271. C. 76–92.

15. Соболев С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской // Докл. АН СССР. 1952. Т. 82, № 2. C. 205–208.

16. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960.

Т. 24. C. 852–864.

17. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 c.

18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

19. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax (t) + Bx(t) = f (t) // Дифференц. уравнения. 1975.

Т. 11, № 11. C. 1996–2010.

20. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. Днепропетровск: Изд-во “Системные технологии”, 2006. 273 с.

21. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Иностр. лит., 1962. 830 с.

22. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkhuser, 1990. 461 p.

a

23. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. М.: Наука, 1966. 500 с.

24. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semilinear functional dierential equations // Nonlinear Anal. 2003. Vol. 55, no. 1–2. P. 125–139.

Власенко Лариса Андреевна д-р тех. наук, профессор Харьковский нац. университет им. В. Н. Каразина e-mail: lara@rutrus.com Чикрий Аркадий Алексеевич д-р физ.-мат. наук, профессор член- корр. НАН Украины зав. отделом Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАНУ e-mail: chik@insyg.kiev.ua

ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

–  –  –

УДК 517.972.2

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА

В ЗАДАЧАХ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

С НЕТРАНЗИТИВНЫМ ОТНОШЕНИЕМ ПРЕДПОЧТЕНИЯ1

–  –  –

В статье представлены необходимые, а также достаточные условия первого и второго порядка для точек, доставляющих -минимум отображению со значениями в векторном пространстве, на котором задано нетранзитивное отношение предпочтения. Используя аналитическое представление отношения предпочтения с помощью подходящего семейства сублинейных функций, исследуемая задача векторной оптимизации сводится сначала к скалярному неравенству, из которого затем с помощью средств вариационного анализа выводятся условия -минимальности для допустимых точек исходной задачи.

Ключевые слова: векторная оптимизация, нетранзитивное предпочтение, нелинейная скаляризация, условия оптимальности второго порядка.

V. V. Gorokhovik, M. A. Tromovich. First and second order optimality conditions in vector optimization problems with nontransitive preference relation.

We present rst and second order conditions, both necessary and sucient, for -minimizers of vectorvalued mappings over feasible sets with respect to a nontransitive preference relation. Using an analytical representation of the preference relation by means of a suitable family of sublinear functions, we reduce the vector optimization problem under study to a scalar inequality, from which with the tools of variational analysis we then derive minimality conditions for the initial vector optimization problem.

Keywords: vector optimization, nontransitive preference, nonlinear scalarization, second order optimality conditions.

Введение

В наиболее общем виде задача векторной оптимизации формулируется в настоящее время (см., например, монографии [4; 31], а также обзорную статью [28] и содержащуюся в ней библиографию) как задача минимизации или максимизации отображений, принимающих значения в упорядоченном векторном пространстве, т. е. в вещественном векторном пространстве, на котором задано отношение частичного порядка или предпорядка, согласованное с алгебраическими операциями данного векторного пространства. В такой общей формулировке задачи векторной оптимизации включают в себя целый ряд важных прикладных задач, связанных с рациональным выбором.

Вместе с тем в монографии [15] отмечается, что в приложениях, в частности в экономике и социологии, нередко встречаются такие ситуации, когда рациональный выбор приходится осуществлять, сравнивая возможные альтернативы по нетранзитивному отношению предпочтения, которое, следовательно, не является ни отношением частичного порядка, ни отношением предпорядка. Простой модельный пример такой ситуации приводится в статье [34]. Для математического моделирования таких задач рационального выбора в [34] предлагается обобщить принятую в настоящее время формулировку задачи векторной оптимизации, допустив, что отношение предпочтения, при помощи которого сравниваются значения минимизируемого (или максимизируемого) векторнозначного отображения, может не быть транзитивным.

Предлагаемая ниже формулировка задачи векторной оптимизации с нетранзитивным (точнее Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект № Ф14Д-002).

82 В. В. Гороховик, М. А. Трофимович говоря, с необязательно транзитивным) отношением предпочтения несколько отличается от той, которая дана в [34], хотя по сути они идентичны.

Начнем с уточнения определения понятия отношения предпочтения.

Под отношением предпочтения, определенным на множестве Y, мы понимаем в данной статье произвольное асимметричное бинарное отношение, заданное на Y. (Асимметричность означает выполнение для любых y1, y2 Y импликации y1 y2 = y2 y1, где отрицание отношения.) С содержательной точки зрения свойство асимметричности представляется вполне естественным для отношений предпочтения: если альтернатива A “лучше” альтернативы B, то B не может быть “лучше” A.

Вместе с тем мы не исключаем, что отношение предпочтения может обладать и другими свойствами, в частности быть транзитивным (y1 y2, y2 y3 = y1 y3 ), однако априори не предполагаем, вообще говоря, наличие этого свойства у отношений предпочтения.

Если Y является вещественным векторным пространством, то говорят [1], что бинарное отношение (произвольное, не обязательно отношение предпочтения), определенное на Y, согласовано с алгебраическими операциями, заданными на Y, если для любых y1, y2, y Y и любого R, 0, имеют место следующие импликации:

–  –  –

Конус P называется при этом конусом положительных элементов согласованного бинарного отношения.

Для согласованных асимметричных бинарных отношений соответствующий им конус положительных элементов P также является асимметричным (P (P ) = ). В тех же случаях, когда согласованное бинарное отношение транзитивно, P является выпуклым конусом.

Таким образом, между совокупностью согласованных отношений предпочтения, определенных на векторном пространстве Y, и семейством асимметричных конусов из Y существует взаимно однозначное соответствие, при этом выпуклым асимметричным конусам и только им соответствуют транзитивные отношения предпочтения.

Пусть F : X Y отображение из некоторого множества X в вещественное векторное пространство Y, на котором задано отношение предпочтения, согласованное с алгебраическими операциями пространства Y. Пусть, кроме того, задано подмножество Q из X.

Будем говорить, что точка x Q доставляет отображению F : X Y –минимум на подмножестве Q X, если не существует точки x Q такой, что F (x) F () или, иначе, x если F (x) F () для всех x Q.

x Нетрудно видеть, что точка x Q является точкой -минимума отображения F : X Y на множестве Q в том и только том случае, когда (F (Q) F ()) (P ) =.

x Предположим далее, что Y является топологическим векторным пространством, а определенное на нем отношение предпочтения таково, что intP = и clP = cl(intP ) = Y.

Здесь intM и clM внутренность и замыкание множества M соответственно.

Считая эти предположения выполненными, введем на векторном пространстве Y наряду с отношением производные отношения и, определив их следующим образом:

–  –  –

и реализована в [3], ее детальное изложение может быть найдено в монографии [4]. В настоящее время подобная методика получила широкое распространение и используется многими авторами (см., например, [25; 37]).

Завершая введение, отметим, что разработанная в данной статье методика вывода условий оптимальности для решений задач векторной оптимизации с нетранзитивным отношением предпочтения может быть использована также для исследования гарантированно оптимальных решений в задачах векторной оптимизации с неточно заданным отношением предпочтения в случае, когда неточность понимается как множественная неопределенность. Это означает, что лицу, осуществляющему выбор решения, известно лишь семейство (множество) возможных реализаций отношения предпочтения, в то же время конкретная его реализация в момент принятия решения неизвестна. Не вдаваясь в детали, отметим, что идейно определение гарантированно оптимального решения восходит к работам А. Б. Куржанского [13;14], посвященным исследованию задач оптимизации и оптимального управления в условиях неопределенности.

Авторы посвящают данную работу Александру Борисовичу Куржанскому в связи с его 75-летним юбилеем.

1. Нелинейная скаляризация задачи векторной оптимизации с нетранзитивным отношением предпочтения Данные выше определения понятий (слабого, сильного) -минимума в задаче векторной оптимизации являются, по существу, теоретико-множественными. Вместе с тем аналитические средства более развиты и приспособлены для анализа функций и отображений, нежели множеств. Естественно поэтому попытаться найти эквивалентные формулировки для данных определений, выраженные в функциональных терминах. Такие формулировки можно получить, представив отношение предпочтения аналитически. Заметим, что аналитические представления существуют для произвольных отношений предпочтения. Для этого достаточно использовать, например, либо индикаторную функцию самого отношения предпочтения, либо индикаторную функцию конуса положительных элементов в случае согласованного отношения предпочтения. Проблема поэтому заключается в том, чтобы выбрать для представления отношения предпочтения такую функцию, дифференциальные свойства которой обеспечивали бы в последующем эффективное проведение вариационного анализа задачи. Ранее было показано (см. [4]), что любое транзитивное согласованное отношение предпочтения с телесным конусом положительных элементов может быть представлено аналитически при помощи сублинейных функций, которые, как известно, являются непрерывными и дифференцируемыми по направлениям в любой точке. При соответствующих предположениях относительно дифференциальных свойств целевого отображения задачи векторной оптимизации такой выбор представляющей функции для транзитивного отношения предпочтения позволил (см., например, [4; 5; 7]) установить условия оптимальности первого и второго порядка, использовав для их вывода средства вариационного анализа. Ниже в данном разделе мы показываем, что для представления нетранзитивных согласованных отношений предпочтения с телесным конусом положительных элементов следует вместо сублинейных функций использовать функции из более широкого класса липшицевых положительно однородных функций. Сравнительно недавно [10; 22] было показано что класс липшицевых положительно однородных функций совпадает с классом функций, представимых в виде нижней огибающей компактного (в равномерной метрике) семейства сублинейных функций, поэтому можно говорить о представлении нетранзитивных отношений предпочтения при помощи семейства сублинейных функций. В общем случае, однако, липшицевы положительно однородные функции не являются дифференцируемыми по направлениям в ненулевых точках, что делает невозможным вывод условий оптимальности второго порядка средствами вариационного анализа. Чтобы преодолеть эту трудность, мы вводим в четвертом разделе дополнительное предположение о финитности нетранзитивного согласованного отношения предпочтения.

Задачи векторной оптимизации с нетранзитивным предпочтением 85 На этом мы завершим неформальное обсуждение результатов данного раздела и перейдем к их детальному изложению.

Будем предполагать всюду далее, что векторное пространство Y является конечномерным нормированным пространством (это позволит избежать некоторых технических деталей).

Напомним некоторые необходимые в дальнейшем сведения о положительно однородных функциях.

Функция p : Y R называется положительно однородной, если для любого y Y и любого вещественного числа 0 справедливо равенство p(y) = p(y).

Выпуклая (вогнутая) положительно однородная функция : Y R называется сублинейной (суперлинейной). Очевидно, что если функция : Y R сублинейна, то суперлинейная функция.

Каждой сублинейной функции : Y R в пространстве линейных непрерывных функционалов Y однозначно соответствует выпуклое компактное подмножество

–  –  –

где p = {} некоторое семейство суперлинейных функций : Y R.

Семейство сублинейных функций p = {}, удовлетворяющее равенству (1.1), будем называть, следуя [10], прямым верхним экзостером положительно однородной функции p, а семейство суперлинейных функций p = {}, удовлетворяющее равенству (1.2), прямым нижним экзостером.

прямой верхний экзостер функции p, то семейство := { | p }, соЕсли p p стоящее из субдифференциалов сублинейных функций из p, назовем [10] двойственным верхним экзостером функции p, а семейство := {() | }, где p прямой нижний p экзостер функции p, будем называть [10] двойственным нижним экзостером функции p.

Отметим, что в работах В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [11; 16] прямые верхние (нижние) экзостеры называются исчерпывающими семействами верхних выпуклых (нижних вогнутых) аппроксимаций. Термин экзостер ввел В. Ф. Демьянов [23; 24], применяя его исключительно для двойственных экзостеров.

Символом PC (Y ) будем обозначать совокупность непрерывных положительно однородных функций, определенных на Y. Относительно стандартных операций поточечного сложения и умножения на вещественное число PC (Y ) является векторным пространством, которое при введении нормы p = max |p(y)| превращается в банахово пространство.

y =1 Как уже отмечалось выше, характеристическим свойством непрерывных положительно однородных функций является существование обоих, верхнего и нижнего, экзостеров. В следующем предложении в терминах экзостеров дается характеристика липшицевых положительно однородных функций.

86 В. В. Гороховик, М. А. Трофимович Предложение 1 [10, теорема 7]. Пусть p : Y R положительно однородная функция.

Следующие утверждения эквивалентны:

а) p является липшицевой на всем пространстве Y ;

б) для p существует компактный в банаховом пространстве PC (Y ) прямой верхний экзостер;

с) для p существует компактный в банаховом пространстве PC (Y ) прямой нижний экзостер.

Ниже мы воспользуемся этим предложением для того, чтобы получить аналитическое описание нетранзитивных согласованных отношений предпочтения при помощи семейства сублинейных функций. Начнем с полного описания таких отношений предпочтения, конус положительных элементов которых является открытым.

Предложение 2. Для любого согласованного отношения предпочтения, конус положительных элементов P которого является открытым (P = intP ), существует компактное в пространстве PC (Y ) семейство сублинейных функций такое, что

–  –  –

Если отношение предпочтения является, кроме того, транзитивным, то семейство, удовлетворяющее (1.3), может быть выбрано одноэлементным, т. е. существует сублинейная функция : Y R такая, что

–  –  –

Величина p (y) есть симметризованное расстояние2 от точки y до конуса P.

Непосредственно из определения симметризованного расстояния и того, что конус положительных элементов P является открытым, легко получить, что

–  –  –

Кроме того, из свойств симметризованного расстояния (см. [4]) следует, что функция p : y p (y) является положительно однородной и липшицевой на всем пространстве Y с константой Липшица, равной единице. Значит, в силу предложения 1 заключаем, что для p существует компактный в пространстве PC (Y ) прямой верхний экзостер, т. е. такое компактное в PC (Y ) семейство сублинейных функций, что (1.7) p (y) = min (y), y Y.

Используя равенства (1.6) и (1.7), легко видеть, что при предположениях, сделанных относительно, тождество (0.3) эквивалентно тождеству (1.3).

Для доказательства второй части предложения 2 заметим, что в случае, когда отношение предпочтения транзитивно, соответствующий ему конус положительных элементов P является выпуклым, а это влечет выпуклость функции симметризованного расстояния до P, Симметризованное расстояние от точки до множества введено Ж.-Б. Ириарт-Уррути в [29;30]. Детальная характеристика свойств функции симметризованного растояния содержится в монографии [4], в которой данная функция впервые была использована в теории векторной оптимизациии для аналитического описания транзитивных отношений предпочтения.

Задачи векторной оптимизации с нетранзитивным предпочтением 87 т. е. выпуклость функции p : Y R. Выбрав p в качестве функции, придем к тождеству (1.4). Это завершает доказательство предложения 2.

З а м е ч а н и е. При доказательстве предложения 2 вместо функции расстояния Ириарта-Уррути (1.5) можно воспользоваться и другими положительно однородными функциями, представляющими конус положительных элементов отношения предпочтения, в частности, функцией Красносельского (1.8) pu,P (x) = inf{ | R, u P }, где u фиксированный вектор, принадлежащий intP.

Впервые функция (1.8) была введена М. А. Красносельским [12] для описания согласованных отношений частичного порядка. В векторной оптимизации функция (1.8) впервые появилась в работе К. Герштвиц (Таммер) [27]. Детальное описание свойств функции (1.8) можно найти в монографии [36]. Для описания нетранзитивных отношений предпочтения в задачах векторной оптимизации функция (1.8) использовалась в [26; 34].

Предложение 3. Пусть произвольное согласованное отношение предпочтения такое, что соответствующий ему конус положительных элементов P является телесным, причем clP = cl(intP ). Тогда существует компактное в простанстве PC (Y ) семейство сублинейных функций такое, что

–  –  –

Если отношение предпочтения является, кроме того, транзитивным, то семейство, удовлетворяющее (1.9) и (1.10), может быть выбрано одноэлементным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При сделанных предположениях относительно согласованного отношения предпочтения функция p, определенная равенством (1.5), удовлетворяет соотношениям intP = {y Y | p (y) 0} и clP = {y Y | p (y) 0}, из которых, учитывая определения (0.4) и (0.5), следуют тождества (1.9) и (1.10). Заключительная часть утверждения доказывается также, как и в предложении 2. Предложение 3 доказано.

Сравнивая тождества (1.9) и (1.10) с определениями слабого и сильного -минимума отображения F на множестве Q, приходим к следующей теореме о скаляризации.

–  –  –

Условие (1.11) является, по существу, необходимым, а условие (1.12) достаточным для точек локального -минимума отображения F : X Y на множестве Q.

Важно отметить также то, что условия (1.11) и (1.12) не зависят от конкретного выбора семейства : Y R, удовлетворяющего тождествам (1.9) и (1.10).

Допуская некоторую вольность, можно сказать, что условия (1.11) и (1.12) сводят задачу



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
Похожие работы:

«Инструкция Краткая инструкция "Как начать работу с ПО "Кредитный инспектор".История: 12.02.2012 – создание инструкции. 20.03.2014 – внесены изменения. 20.11.2014 – внесены изменения. 15.05.2015 – внесены изменения. 11.10.2015 – внесены изменения. 10.02.2016 – внесены изменения. 24...»

«УТВЕРЖДЕН распоряжением директора Департамента сельского хозяйства города Севастополя от 30.09.2016 № 302-Р АДМИНИСТРАТИВНЫЙ РЕГЛАМЕНТ предоставления Государственной инспекцией по надзору за техническим состоянием самоходных машин и других видов техники Департамента сельского хозяйства города Севастополя государственной услуги п...»

«Совет народного хозяйства Б е л о р у с с к о г о Э к о н о м и ч е с к о г о административного района Оршанский станкостроительный завод „КРАСНЫЙ БОРЕЦ Универсальный плоскошлифовальный станок высокой точнос...»

«Нателла Крапивина Т +38 067 354 51 77 концертный директор +38 067 466 41 43 +7 985 355 87 17 E natella.krapivina@gmail.com Андрей Алексеев Т +38 099 245 21 37 звукорежиссер E an4music@gmail.com ТЕХНИЧЕСКИЙ РАЙДЕР Уважаемые организаторы! Все технические вопросы решаются со звукорежиссером минимум за три дня до концерта. Переговоры обязательны...»

«Раздел 2 МЕХАНИЗМЫ АНАЛОГИИ В ФОРМИРОВАНИИ КАТЕГОРИИ АНГЛИЙСКИХ НАИМЕНОВАНИЙ ОДЕЖДЫ Поскольку главным принципом моделирования в современной системе словообразования мы считаем аналогию (конечно, при...»

«14 ГЕНЕТИЧЕСКАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ Генетическая рекомбинация включает в себя образование новых генетических комбинаций путем перераспределения и перемещения генетического материала, содержащегося в двух генетически разных организмах. Генетическая рекомб...»

«ОАО Автодизель (Ярославский моторный завод) Электроагрегаты стационарные АД60С-Т400-1Р, АД100С-Т400-1Р Руководство по эксплуатации АД100.3902150 РЭ Ярославль 2007 г СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 3 2. Назначение 4 3. Технические данные 5 4. Состав и комплект поставки 7 5. Устройство и работа 7 6. Устройство и раб...»

«ООО "Оптима51" г. Мурманск, ул. Мира-7 www.optima51.ru optima51@list.ru +7 (911) 303-35-30 Аксессуары для коллекции фирмы LEUCHTTURM и другие аксессуары на складе по состоянию на 15 апреля 2015г. Альбомы ОПТИМА 310766 CLOPBOBIS Папка бокс Classic Optima с кольцевой О механикой для 60/15 листов. 250х277 мм х 1900 руб. 30086...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт: Энергетический Направление подготовки: 13.04.01 Теплоэнергетика и теп...»

«ЛП ^о/ Грес П. В. Руковолство к решению залач по сопротивлению • материалов УДК 539.31.4 ББК 30.121 Г 79 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Г.И. Гребенюк (зап. кафедрой "Строительная механика" Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета); д-р техн. наук, проф. А.С....»

«ОТОПИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА ТЕХНИЧЕСКИЙ ПАСПОРТ ТВЕРДОТОПЛИВНЫЕ КОТЛЫ EKO EKO EL ОТОПИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА СОДЕРЖАНИЕ 1 Вид котла 3 1.1 Размеры 4 1.2 Технические данные согласно EN 303/5 4 1.3 О продукте 5 1.4 Погрузка и хранение котла 5 1.5 Объем поставки 5 2 Установка котла 6...»

«Утверждено распоряжением Администрации Суоярвского городского поселения от 12.01.2015 г. № 2 Администрация Суоярвского городского поселения, далее также "Заказчик...»

«Дмитрий Львович Вайнштейн Разработка метода анализа протяженной тонкой структуры спектров потерь энергии электронов (EELFS) для определения атомной структуры поверхности 01.04...»

«Научный журнал КубГАУ, №118(04), 2016 года 1 УДК 664.8.03 UDC 664.8.03 05.00.00 Технические науки Technical Sciences APPLICATION OF EMF SHF IN PROCESSING ПРИМЕНЕНИЕ ЭМП СВЧ В ТЕХНОЛ...»

«УДК 622.864 ИНФОРМАЦИОННАЯ БАЗА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ А. С. Оголихин e-mail: andrew@bgd.tu-chel.ac.ru Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Россия Риск – количественная мера безопасности (опасности), в первую очередь позволяет специалисту оценить вероятность и возм...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ОТДЕЛЕНИЕ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ НАУК ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ "УФИМСКИЙ ИНСТИТУТ ХИМИИ РАН" ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕН...»

«Лекция 8 Восстановление информации Причины повреждений Логические (Программные сбои, вирусы, ошибки пользователей) Физические (Химические, электрические, механические) Способы восстановления Программный Аппаратный Передаваемая информация 1. Использование сам...»

«НПО "СИБИРСКИЙ АРСЕНАЛ" Сертификат соответствия GSM СИГНАЛИЗАТОР РОСС RU.МЛ05.Н01263 EXPRESS GSM™ Декларация о соответствии ТС № RU Д-RU.МЕ83.В.00105 РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ САПО.425152.030РЭ СОДЕРЖАНИЕ 1 ОПИСАНИЕ И РАБОТА...»

«Институт Государственного управления, Главный редактор д.э.н., профессор К.А. Кирсанов права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 – до 1800) Интернет-журнал "НАУКОВЕДЕНИЕ" №5 2013 Опубликовать статью в журнале http://publ.naukovedenie.ru Серпокрылов...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru Типовые технологические карты на производство отдельных видов работ Раздел 04 ТИПОВЫЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ КАРТЫ НА БЕТОННЫЕ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ РАБОТЫ (МОНОЛИТНЫЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОН) 4.01.0...»

«Рабочая программа учебной Ф ТПУ 7.1 -21/01 дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Томский политехнический университет...»

«тм Каталог Средства индивидуальной защиты пожарного и спасателя 2013/2014 0 3/ 0 Боевая одежда пожарного 1-го уровня защиты (БОП-1) Боевая одежда пожарного предназначена для работы в услоГарантийный срок эксплуатации – 12...»

«BPPF #03/2010RU, Январь 2010 ВНУТРИСТРАНОВОЙ ФАНДРАЙЗИНГ НГО: ВОЗМОЖНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ Егор Мороз, координатор исследования Галина Русецкая, эксперт-социолог Александр Волков, эксперт-юрист Максим Мороз, эксперт-экономист Введение Исследование "Внутристрановой фандрайзинг НГО: возможности и перспективы" проводилось в период с сентября п...»

«Вы можете прочитать рекомендации в руководстве пользователя, техническом руководстве или руководстве по установке KENWOOD KDC-W6031. Вы найдете ответы на вопросы о KENWOOD KDC-W6031 в руководстве (характеристики, техника безопасности, размеры, принад...»

«ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N2 129 УДК 532.532+532.59 СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПРЕРЫВНЫХ ВОЛН НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ СТЕНКУ В. И. Букреев Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Н...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт природных ресурсов Специальность 080502 Экономика и управление на предприят...»










 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.