WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные матриалы
 

Pages:   || 2 |

«А.А. Мельников, А.В. Ушаков ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ x( k + 1) = [ x( k ), u ( k ) ], y ( k ) = [ x( k ), u ( k ) ] Санкт - Петербург ...»

-- [ Страница 1 ] --

А.А. Мельников, А.В. Ушаков

ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ

x( k + 1) = [ x( k ), u ( k ) ],

y ( k ) = [ x( k ), u ( k ) ]

Санкт - Петербург

Редакционно-издательский отдел

Санкт-Петербургского государственного

университета информационных технологий,

механики и оптики

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

А.А. Мельников, А.В. Ушаков

ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ

Санкт - Петербург УДК [517.938 + 519.713 /.718]: 621.398 Мельников А.А., Ушаков А.В. Двоичные динамические системы дискретной автоматики / Под ред. А. В. Ушакова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 220с., ил. 40.

В монографии освещены вопросы анализа и синтеза двоичных динамических систем, используемых в современной дискретной автоматике «четкой логики».

Монография отражает современные достижения в области теории двоичных динамических систем (ДДС) с использованием возможностей алгебраических методов, которые опираются на матричный формализм метода пространства состояния с учетом специфики свойств матриц над простым двоичным полем Галуа, образующих класс линейных ДДС (ЛДДС), а также формализм автоматной логики, разрабатываемый в рамках теории конечных автоматов (КА), именуемых в монографии в рамках общесистемных представлений нелинейными ДДС (НДДС).


В этой связи авторами решается задача взаимной трансформируемости НДДС в ЛДДС и наоборот. Особняком в монографии стоят проблемы анализа и синтеза двоичных динамических систем, которые сочетают в себе элементы автоматной логики и линейных векторно-матричных представлений, в силу чего авторами выделенные в особый класс гибридных ДДС (ГДДС).

Монография рассчитана на широкий круг специалистов в области дискретной автоматики, отраслевой телемеханики, аспирантов специальности 05.13.05.элементы и устройства вычислительной техники и систем управления», а также студентов старших курсов, обучающихся по направлению 6519.00- «автоматизация и управление» бакалаврской и магистерской подготовки и специальности 2101.00управление и информатика в технических системах» подготовки специалистаинженера.

ISBN © Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2005.

© А. А. Мельников, А. В. Ушаков, 2005.

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр. 49, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, e-mail: ushakov_AV@mail.ru, amndrey@newmail.ru СОДЕРЖАНИЕ CONTENTS……………………………………………………... 5 Принятые сокращения и обозначения………………………… 7 ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………….. 10

1. ЛИНЕЙНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

(ЛДДС) ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ…………………… 13

1.1. Аппарат передаточных функций (матриц) в задаче модельного представления ЛДДС………………………….. 13

1.2. Векторно-матричное модельное представление ЛДДС, параметризованное дискретным временем……………….. 23

1.3. Проблема редуцирования размерности модельных представлений ЛДДС……………………………………..... 34 1.3.1. Редуцирование линейных двоичных динамических систем на основе делимости модулярных многочлена числителя и знаменателя передаточной функции…… 34 1.3.2. Редуцирование линейных двоичных динамических систем на основе анализа структуры пространств управляемости и наблюдаемости ЛДДС……………... 38

1.4. Концепции подобия в теории линейных ДДС…………….. 43 1.4.1. Концепция подобия в задаче декодирования систематических помехозащищенных кодов………… 51 1.4.2. Концепция подобия в задаче синтеза двоичных динамических систем в логике произвольных линейных триггеров………… 55

1.5. Векторно-матричное представление линейного помехозащитного кодопреобразования, не параметризованное дискретным временем…………….. 59 1.5.1. Формирование матриц ПЗК с помощью проверочных равенств при декодировании и кодировании…………………… 64 1.5.2. Формирование матриц ПЗК с использованием матричного уравнения Сильвестра 66 1.5.3. Формирование матриц ПЗК с полной блоковой систематикой…………………….. 69

1.6. Анализ структуры неподвижных состояний и замкнутых циклов ЛДДС………………………………………………... 74 1.6.1. Неподвижные состояния линейной двоичной динамической системы…………. 75 1.6.2. Замкнутые циклы линейных ДДС…………………….. 78

1.7. ЛДДС в задачах дивидендного помехозащитного кодопреобразования………………………………………… 93

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (НДДС) ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ…….. 101

2.1. Построение модельного представления НДДС с использованием средств автоматной логики…..……….. 101

2.2. Построение дивидендных устройств помехозащитного кодопреобразования с помощью НДДС в логике произвольных триггеров………………………….. 117

2.3. НДДС в задачах коррекции искажений помехозащищенных кодов…………………………………. 126

2.4. Дивидендные кодирующие и декодирующие устройства укороченных циклических кодов с коммутируемой структурой………………………………. 136

2.5. Аппарат селлерсовского дифференцирования в задачах анализа булевых описаний НДДС дискретной автоматики 142

3. ГИБРИДНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГДДС) ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ…….. 155

3.1. Проблема заполнения кодового пространства классом гибридных ДДС……………………………………………... 155

3.2. Фактор востребованности переменных булевых описаний двоичных динамических систем…………………………… 169

3.3. Использование фактора востребованности булевых переменных кодов состояний НДДС для рационального использования ресурса помехозащиты 180

3.4. Построение эквивалентного линейного векторноматричного представления НДДС на основе принципа агрегирования переменных булевых описаний…………… 188

3.5. Проблема обмена на паре «аппаратурное пространство – временные затраты» в задачах помехозащитного кодопреобразования……………………………………………… 198 ЗАКЛЮЧЕНИЕ….………………………………………………. 201 ПРИЛОЖЕНИЕ D-преобразование и его свойства…………...

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………… 208

–  –  –

Из истории лаборатории телемеханики………………………… 215

BINARY DYNAMIC SYSTEMS OF DISCRET AUTOMATION

Editor Doctor of Technical Sciences Professor A. V. Ushakov CONTENTS………………………………………………………. 5 Table of Abbreviations and Symbols……………………………... 7 INTRODUCTION………………………………………………... 10

–  –  –

2.1. The Construction of NBDS Model Representation by Means of Finite-State Machine Logic……………………………………. 101

2.2. The Construction of Dividing Devices Noise-Immunity Code Transformation by Means of NBDS in the Arbitrary Flip-Flops Logic…………………………………………………………... 117

2.3. NBDS in Tasks of Noise-Immunity Codes Errors Correction………………………………………………. 126

2.4. The Dividing Encoding and Decoding Devices of Shortened Cyclical Codes with Switching Structure…………………….. 136

2.5. Sellers’ Differentiation Approach in Boolean Description Analysis Tasks of NBDS of Discrete Automation ……………. 142

3. THE HYBRID BINARY DYNAMIC SYSTEMS (HBDS) OF DISCRETE AUTOMATION……………………………...... 155

3.1. The Problem of Code Space infilling with a Hybrid Binary Dynamic Systems Set………………………………………….. 155

3.2. The Request Factor of Boolean Variables of Binary Dynamic Systems Description…………………………………………… 169

3.3. The Use of the Request Factor of State Codes’ Boolean Variables of NBDS for EFFICIENT Employment of Noise Immunity Resource………………………………………………….. 180

3.4. The Design of Equivalent Linear Vector-Matrix Model Representation of NBDS Based on Boolean Description Variables Aggregation Approach………………………………………… 188

3.5. The Problem of “Apparatus Space – Time Expense” Exchange in Tasks of Noise-Immunity Code Transformation…………… 198 CONCLUSION…………………………………………………….. 201 APPLICATION D – Transformation and its Properties…………… 202

–  –  –

Remote Control Laboratory. Brief Historical Review……………... 215

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ





АА – абстрактный автомат БП – блок памяти БФ – булева функция ВА – время «аппаратурное»

ВВ – модель «вход-выход»

ВК – время «канальное»

ВМП – векторно-матричное представление ВНН – вектор невязки наблюдения ВПС – векторный показатель сложности ВС – модель «вход-состояние»

ВСВ – векторно-матричное линейное описание «входсостояние-выход»

ГДДС – гибридная двоичная динамическая система ГСА – граф-схема алгоритма ДА – дискретная автоматика ДДС – двоичная динамическая система ДКП – двоичная кодовая последовательность ДКУ – декодирующее устройство ДНУ – двоичное динамическое наблюдающее устройство ДПВ – диаграмма переходов и выхода ДСНФ – дизъюнктивная совершенная нормальная форма ДУПК – дивидендное устройство помехозащитного кодопреобразования ИВП – источник входной последовательности ИЧК – информационная часть кода КА – конечный автомат КПР – кодовое пространство КС – канал связи КУ – кодирующее устройство ЛДДС – линейная двоичная динамическая система ЛУ – линейное устройство ММ – модулярный многочлен МС – модельная среда НДДС – нелинейная двоичная динамическая система ОПВ – относительная оценка приведенной востребованности ОСВ – оценка степени востребованности ПЗК – помехозащищенный код ПЗКА – помехозащищенный конечный автомат ПНЗК – помехонезащищенный код

–  –  –

Г – гипотеза;

К – концепция;

ПМ – примечание;

Пр. – пример;

ПС – постулат;

С – следствие;

СВ – свойство;

Т – теорема;

У – утверждение;

– знак завершения доказательства утверждения, решения примера, завершения алгоритма;

– знак завершения формулировки утверждения, определения, примечания, следствия, свойства, постулата, гипотезы;

–  –  –

E{ ( • )} – оператор округления величины ( • ) до ближайшего большего целого;

F ( d ) =D { f ( k ) } – D-образ последовательности f ( k ) ;

f ( k ) =D 1{ f ( d ) } – оригинал D-образа последовательности f ( k ) ;

GF ( p ) = { 0,1, 2,..., p 1}, p N – простое поле Галуа;

() GF p n, p, n N – расширенное поле Галуа;

k – дискретное время ( k = 0,1, 2, ), выраженное в числе тактов длительностью t процессов кодопреобразования;

{ } row i, i = 1, n – строчная матричная структура с элементами i в строке;

u ( k ) – входная кодовая последовательность ДДС;

x( k ) – вектор исходного состояния ДДС;

x( k + 1) – вектор состояния перехода ДДС;

y ( k ) – выходная кодовая последовательность ДДС;

& – союз «И» предикатов;

– союз «ИЛИ» предикатов.

ВВЕДЕНИЕ

Вниманию проблемно ориентированного читателя предлагается монография «Двоичные динамические системы дискретной автоматики», которая содержит три тематически замкнутых раздела.

Первый раздел, посвященный проблемам анализа и синтеза линейных двоичных динамических систем (ЛДДС) дискретной автоматики (ДА), инструментально строится на результатах процесса алгебраизации общей теории систем. Алгебраизация методов исследования устройств дискретной автоматики (УДА), которые составляют обширный класс динамических систем над конечными простым и расширенным полями Галуа, стала проникать в практику разработчиков этих устройств в последней трети XX в. На первом этапе она проявилась в использовании векторно-матричных модельных представлений линейных УДА над конечными полями с основанием (характеристикой) два.

Процесс алгебраизации, опираясь на возможности матричного формализма, позволил решить проблемы анализа свойств линейных УДА на основе исследования структуры пространств матриц состояния, управляемости и наблюдаемости и их пересечения, что особенно эффективно проявило себя при анализе структуры неподвижных состояний ЛДДС, их замкнутых циклов, а также при редуцировании размерности УДА. В задачах синтеза ЛДДС устройств ДА применение принципа векторного и матричного подобия позволило конструктивно использовать возможности формализма матричного уравнения Сильвестра (УС) над конечным полем для расширения банка реализаций линейных УДА. Более того, алгебраизация обнаружила свои возможности в переносе идей динамического наблюдения, разработанных в недрах теории систем над бесконечными полями, на УДА и двоичные каналы связи с целью оценки их состояния. Причем в случае постановки задачи оценки начального состояния «регистра помехи» в двоичном канале связи удается по-новому сформулировать задачу помехоустойчивости передачи кодированных сигналов в фазе декодирования, которая также решается с помощью матричного уравнения Сильвестра. Последнее обстоятельство позволило разработать алгоритмическое обеспечение конструирования проверочных и образующих матриц помехозащищенных кодов, также опирающееся на возможности матричного уравнения Сильвестра. В случае неконтролируемой кодовой систематики эта задача может быть решена с помощью SVD-процедуры сингулярного разложения матриц с использованием программной оболочки MATLAB, адаптированной к модулярной арифметике.

Второй раздел, посвященный проблемам анализа и синтеза нелинейных двоичных систем (НДДС) дискретной автоматики, инструментально опирается на результаты в области теории и практики конечных автоматов, которые с точки зрения общей теории систем образуют класс НДДС. В разделе проблемы синтеза и анализа устройств дискретной автоматики в рамках существующих версий автоматной логики рассматриваются как в канонической «автоматной» постановке, так и с использованием граф-схем алгоритмов (ГСА) описания функционирования УДА, при этом разработка методов погружения ГСА в автоматную среду позволила построить алгоритмы синтеза УДА в различных типах автоматной и триггерной логики.

Возможности автоматных представлений УДА распространяются на реализацию циклических дивидендных кодирующих и декодирующих устройств в произвольной триггерной логике, а также устройств коррекции искаженных при передаче по двоичным каналам связи кодовых комбинаций с использованием синдромов и квазисиндромов искажений. Автоматные представления ДДС обнаруживают свои возможности и при построении циклических кодирующих и декодирующих дивидендных устройств укороченных кодов с управляемым циклом деления путем коммутации структуры устройств оптимальных кодов. Богатые возможности в теории и практике автоматных описаний обнаруживает аппарат Селлерса дифференцирования булевых функций. Эти возможности в монографии используются для контроля корректности выбора булевых переменных, оценки их востребованности в процессе функционирования УДА, а также сравнительной оценки «степени нелинейности» и сложности альтернативных реализаций комбинационных схем по числу членов разложения булевых функций в ряд по селлерсовским производным.

Третий раздел монографии посвящен проблемам анализа и синтеза гибридных двоичных динамических систем (ГДДС) дискретной автоматики, сочетающей в себе элементы линейных и нелинейных модельных представлений. Первым признаком гибридности ДДС является размерность ее блока памяти, которая занимает промежуточное положение между размерностью автоматной реализации и линейной при решении одной и той же задачи кодопреобразования. В этой связи важной концептуальной задачей синтеза ГДДС являются проблема «кодового пространства» и формирование способов его заполнения.

В монографии указанные проблемы решаются путем редуцирования линейных ДДС и введением избыточности при кодировании состоянии ДДС, синтезируемых в автоматной логике, с целью приданию им помехозащищенности. Причем последняя задача решается в постановке рационального использования ресурсов помехозащиты, в качестве критерия которого используется фактор востребованности булевых переменных кодов состояний на всех наборах переменных. Еще одним эффективным способом решения проблемы «кодового пространства» на паре НДДС-ЛДДС является обмен аппаратурного пространства на временные затраты. Гибридные ДДС образуют достаточно новый класс двоичных динамических систем, разработка теории которых является весьма актуальной.

Авторы отдают себе отчет в том, что предлагаемая вниманию читателей монография является скромным вкладом в теорию двоичных динамических систем устройств дискретной автоматики, основы которой заложены фундаментальными работами Буля Дж. (Boole G.), К. Шеннона (C.Shannon), Э. Мура (E. Moore), А. Гилла (A. Gill), М. Арбиба (M. Arbib), У. Питерсона (W. Peterson), Ф. Селлерса (F. Sellers), Д. Бохманна (D. Bochmann), Х. Постхофа (C. Posthoff), Р. Хэмминга (R.Hamming), В. М. Глушкова, Ю. Т. Медведева, Р. Г. Фараджева, С. И. Баранова, В. В. Сапожникова, Вл. В. Сапожникова, В. А. Горбатова, Ю. Л. Сагаловича, А. А. Шалыто, Н. С. Щербакова и многих других зарубежных и отечественных ученых.

Основу монографии составили результаты научных исследований в лаборатории телемеханики кафедры систем управления и информатики (бывшей кафедры автоматики и телемеханики) университета, проводившихся под руководством доктора технических наук, профессора А. В. Ушакова. Результаты последних лет авторами получены при разработке теоретических проблем, к решению которых во исполнение региональной комплексной целевой программы «ТЕЛЕМЕХАНИКА – 2000» в инициативном порядке подключилась лаборатория телемеханики. Монография в предложенном виде содержит в основном результаты последних лет, имеющие как научный, так и методикопознавательный характер. Последнее позволяет рекомендовать ее специалистам в области дискретной автоматики, а также аспирантам специальности 05.13.05.- «элементы и устройства вычислительной техники и систем управления», студентам старших курсов направления 6519.00- «автоматизация и управление» и специальности 2101.00управление и информатика в технических системах».

Замысел монографии возник у авторов в результате постоянных научных контактов и обмена научными идеями, в результате чего основной текст монографии авторы написали совместно. В написании параграфов 1.6, 1.7 и 2.4 приняла участие Е.В. Рукуйжа.

Конструктивную критику по существу структуры и содержания монографии просим направлять авторам:

–  –  –

1 ЛИНЕЙНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ

1.2. Аппарат передаточных функций в задаче модельного представления линейных двоичных динамических систем Двоичные динамические системы (ДДС), интегрированные в некоторую техническую среду приема, хранения, обработки и передачи двоичной информации, при выполнении конкретных функций решают в основном задачи преобразования кодов, элементы которых принадлежат простому полю Галуа GF ( p ) = {0,1,2,, p 1 }, которое при p = 2 принимает вид GF ( 2 ) = { 0,1} [15, 29, 42, 55]. Преобразуемые коды могут быть представлены тремя основными способами: в виде вектора, не параметризованного дискретным временем; в виде кодовой последовательности (скалярной или векторной), параметризованной дискретным временем, и в виде модулярных многочленов (ММ) [15, 55]. Если процесс преобразования кода, поданного на вход ДДС, в код, наблюдаемый на ее выходе, осуществляется с помощью линейной композиции результатов линейных операций умножения и суммирования по модулю два, то такая двоичная динамическая система является линейной (ЛДДС). Если при этом основной результат преобразования кодов с помощью ЛДДС фиксируется на ее выходе и входе, то описание функционирования такой ЛДДС может быть задано в классе модельных представлений «вход – выход».

Одним из конструктивных средств задания модельного представления «вход – выход» над бесконечными и конечными полями является аппарат передаточных функций (матриц). В основе методологии аппарата передаточных функций (матриц) лежит алгебраизация отношения «вход – выход», которое для непрерывных систем над бесконечным полем осуществляется с помощью преобразования Лапласа, для дискретных систем над бесконечным полем – с помощью Z преобразования, а для дискретных систем над конечным простым полем Галуа GF ( p ), частным случаем которых при p = 2 являются D-преобразования ЛДДС, – с помощью кодовых последовательностей и модулярных многочленов (см. Приложение).

Передаточная функция, записанная в виде отношения двух полиномов, представляет собой решение графа [46], к которому может быть применено правило Мейсона некасающихся контуров в инверсной постановке. Суть инверсного использования правила Мейсона [25, 46] состоит в воссоздании класса графов с вложенными (касающимися) контурами минимальной размерности, эквивалентных в смысле решений этих графов в форме передаточной функции отношения «вход – выход». Построенный класс графов образует множество возможных структурных представлений ЛДДС, которые могут быть положены в основу схемотехнических реализаций двоичных динамических систем, решающих заданную задачу преобразования кодов.

Возможности аппарата передаточных функций (матриц) в задаче модельного представления ЛДДС рассмотрим, опираясь на систему определений и утверждений.

Определение 1.1 (О1.1). -мерной двоичной кодовой последовательностью f ( k ) : f ( 0 ), f ( 1), f ( 2 ),, f ( k ), (1.1) будем называть параметризованный дискретным временем k, выраженным в числе k тактов длительностью t, векторный кортеж [29], компоненты которого f ( k ) для k представляют собой мерные векторы, элементы которых принадлежат простому полю Галуа GF ( p ) p =2 = {0,1 }.

Если в (1.1) размерность компонентов равна единице, то последовательность f ( k ) является скалярной или одномерной.

Кодовая последовательность (1.1) может быть конечной по времени и периодической, если выполняется равенство f ( k ) = f ( k + T ), (1.2) где T – период периодической последовательности.

D-образом F ( d ) двоичной кодовой поОпределение 1.2 (О1.2).

следовательности (1.1) в силу прямого D-преобразования (см. Приложение) называется сходящаяся бесконечная сумма F ( d ) = D{ f ( k )} = f ( k ) d k. (1.3) k =0 Введем теперь в рассмотрение передаточные матрицы и функции линейной ДДС.

Определение 1.3 (О1.3). Пусть ЛДДС преобразует r -мерную входную двоичную кодовую последовательность (ДКП) u ( k ) в m мерную выходную ДКП y ( k ), тогда передаточной матрицей ( d )

–  –  –

= f n + f n1d + + f1d n1 + f 0 d n ; f ( x 1 ) = x n f ( x ) (1.15) ~ Доказательство утверждения строится на формировании последовательности ~ f ( k ) : f n, f n1,, f 1, f 0, (1.16) с последующим применением к (1.16) прямого D-преобразования.

Заметим, что в современных устройствах дискретной автоматики (УДА) преобразование кодов, заданных с помощью модулярных многочленов, осуществляется старшим разрядом вперед.

Отмеченное выше позволяет ввести следующее определение.

Определение 1.5 (О1.5). ЛДДС, осуществляющая преобразование входного кода, заданного с помощью модулярного многочлена u ( x ) (1.9), в выходной код, заданного с помощью модулярного многочлена y ( x ) (1.10), может быть описана передаточной функцией вида (1.8), в которой D-образы Y ( d ) и U ( d ) вычисляются в силу (1.15).

Отдельного рассмотрения требует вопрос конструирования передаточной функции ДДС в случае, если ставится задача синтеза устройства умножения или деления модулярных многочленов. В данной постановке передаточная функция ( d ) ДДС, осуществляющей умножение ММ a ( x ) и b ( x ), будет определяться в силу правила ( d ) = arg { ( a( d ) b( d ) ) & deg ( d ) = = min { deg a( d ),deg b ( d ) }} (1.17) В случае, когда ставится задача конструирования ДДС, осуществляющей деление модулярного многочлена a ( x ) и ММ b ( x ) в форме a ( x), то передаточная функция ( d ) ДДС будет иметь вид b ( x) (d)=. (1.18) b( d ) Представленные положения своей целью имеют получение структурного представления ЛДДС для последующей ее технической реализации или структурно-функционального анализа. Получить структурное представление ЛДДС с использованием понятия передаточной функции (матрицы) позволяют положения следующего утверждения.

Утверждение 1.4 (У1.4). Структура модельного представления ЛДДС, описываемой передаточной функцией вида (1.8) с единичным свободным членом знаменателя, может быть построена с использованием правила некасающихся контуров метода Мейсона, в соответствии с которым она выразится в форме касающихся (вложенных друг в друга) контуров, передаточные функции которых заданы мультипликативной структурой из постоянного коэффициента i и соответствующей степени i переменной d знаменателя передаточной функции так, что их число не превышает m, а число прямых ветвей от входа к выходу этой реализации определяется числом ненулевых элементов числителя передаточной функции с передаточными функциями ветвей i d i, число которых не превышает m + 1.

Доказательство утверждения можно найти в литературе по теории графов, например, в [25].

Рисунок 1.1. Представление ЛДДС в каноническом управляемом базисе

Рисунок 1.2.

Представление ЛДДС в каноническом наблюдаемом базисе Таким образом, положения У1.4 дают два канонически сложившихся модельных представления [25] ЛДДС, описываемых передаточной функцией вида (1.8), приведенных на рисунках 1.1 и 1.2.

Элементы d модельных представлений, показанных на рисунке 1.1 и 1.2, имеют смысл, который раскрывают положения следующего утверждения.

–  –  –

0. Классифицировать задачу кодопреобразования: в форме ЛДДС, преобразующей входную последовательность в выходную, или в форме ЛДДС, осуществляющей умножение/деление ММ. Если рассматриваемая задача соответствует первому случаю, то продолжить выполнение алгоритма с п.1, если второму – с п.6 алгоритма.

1. Задать преобразуемый (входной) двоичный код в форме двоичной кодовой последовательности u ( k ) или модулярного многочлена u ( x ).

2. Задать выходной двоичный код в форме ДКП y ( k ) или ММ y( x ).

D-образ u( k ) или u( x ).

3. Вычислить U ( d ) Вычислить Y ( d ) D-образ y ( k ) или y ( x ).

4.

5. Сконструировать передаточную функцию ( d ) синтезируемой ЛДДС в форме (1.8) и перейти к выполнению п.7 алгоритма.

–  –  –

Рисунок 1.4

8. В соответствии с п.7 алгоритма при выбранной элементной базе технической реализации ДДС выполним сравнение полученных в п.7 модельных представлений ЛДДС по векторному показателю сложности, которое обнаруживает их идентичность.

Пример 1.2 (Пр1.

2) Рассматривается задача конструирования линейной ДДС, осуществляющей деление произвольной входной ДКП (задаваемой в виде ММ u ( x ) ) на неприводимый многочлен ( x ) = x 3 + x + 1 с учетом передачи ДКП старшим разрядом вперед.

–  –  –

1.3. Векторно-матричное модельное представление линейных двоичных динамических систем, параметризованное дискретным временем Общесистемные тенденции к расширению банка модельных представлений динамических систем над бесконечными и конечными полями [3, 9, 15, 29] привели разработчиков теории систем к достаточно универсальной модельной среде (МС), которая опирается на триаду «вход–состояние–выход» (ВСВ). Применительно к двоичным динамическим системам модель ВСВ последних имеет вид ДДС : { u, x, y, k,, } (1.20) где u – r -мерный вектор входной последовательности; x – n -мерный вектор состояния ДДС; y – m -мерный вектор выходной последовательности; k – счетное множество моментов кодопреобразования, осуществляемого ДДС; – правило перехода ДДС из исходного состояния x( k ) в состояние перехода x( k + 1) под действием вектора входной последовательности u ( k ) ; – правило выхода, описывающее процесс формирования элементов выходной последовательности y ( k ) на переходе из состояния x( k ) под действием u ( k ) или как функции только состояния x( k ).

Введем в рассмотрение следующее определение.

Определение 1.6 (О1.6). Каноническим представлением «вход– состояние–выход» произвольной двоичной динамической системы (1.20) называется ее представление в виде двух векторных выражений x( k + 1) = [ x( k ), u ( k ) ], (1.21) y ( k ) = [ x( k ), u ( k ) ]. (1.22) Векторное модельное описание ВСВ (1.21), (1.22) произвольной ДДС имеет структурное представление, приведенное на рисунке 1.7.

–  –  –

Рисунок 1.8.

Структурное представление векторно-матричной модели (1.23), (1.24) ЛДДС Векторно-матричное представление (ВМП) (1.23), (1.24) линейной ДДС называется рекуррентным, наряду с которым существует и суммарное ВМП ЛДДС. Суммарное векторно-матричное представление линейной ДДС введем с помощью утверждения.

–  –  –

Введение обозначений (1.29), (1.30) приводит (1.32) к виду (1.28).

Представление (1.28) позволяет сформулировать критерий управляемости линейной ДДС с индексом управляемости, равным k.

Утверждение 1.8 (У1.8). Для того чтобы линейная ДДС (1.23), (1.24) была полностью управляемой с индексом управляемости [29] равным k, то есть за k тактов линейная двоичная система могла быть переведена из любого начального состояния x ( 0 ) в любое конечное состояние необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие rank W y ( k ) = n = dim x. (1.33) Доказательство утверждения строится на том, что выполнение равенства (1.33) является необходимым условием обратимости матрицы W y ( k ), то есть существование W y1 ( k ). Но если это так, то это условие становится достаточным для вычисления «вектора стратегии» управления U ( k ) на основе (1.28), записываемого в форме U ( k ) = W y1 ( k ) ( x ( k ) + A k x ( 0 ) ) (1.34) для любых x ( k ) и x ( 0 ).

Условие полной управляемости с индексом k n = dim x является достаточно жестким, более мягкой формой является условие полной управляемости с индексом n = dim x, которое принимает вид [ ] rank W y ( n ) = rank B AB A n 1 B = n = dim x. (1.35) Соотношение (1.35) является условием полной управляемости, то есть управляемости за n тактов, при этом используется обозначение W y ( n ) = W y, где матрица [ ](1.36) W y = B AB A n1 B именуется матрицей управляемости ЛДДС (1.23), (1.24).

По аналогии с (1.32) может быть сконструировано векторноматричное соотношение, позволяющее по результатам измерений на первых k тактах выходной последовательности y ( k ) и входной последовательности u ( k ) восстановить начальное состояние x( 0 ) линейной ДДС.

Утверждение 1.9 (У1.9). Для того чтобы линейная ДДС (1.23), (1.24) была бы полностью наблюдаемой с индексом наблюдаемости k, то есть чтобы имелась возможность восстановить начальное состояние x( 0 ) за первые k тактов, необходимо и достаточно, чтобы

–  –  –

Если теперь к левой и правой частям (1.53) применить обратное Dпреобразование, памятуя о том, что при нулевых начальных условиях в силу свойств прямого D-преобразования выполняется соотношение D 1 {D [ f ( k + p ) ]} = D 1 {d p F ( d ) }= f ( k + p ) (1.54) то становится понятным переход от (1.53) к (1.52).

Нетрудно видеть, что в структуре доказательств утверждений У1.11 и У1.12 содержится доказательство следующего утверждения.

–  –  –

1. Выполнить алгоритм 1.1.

2. Разметить выбранную структурную реализацию передаточной функции ( d ), для чего выходам элементов памяти с передаточной функцией ЭП ( d ) = d в определенном порядке присвоить переменную xi ( k ), а их непосредственным входам – переменную xi ( k + 1).

3. Из размеченной структурной реализации передаточной функции ( d ) сконструировать матрицы A, B,C и H векторноматричного представления линейной ДДС в форме (1.23), (1.24).

Для приведенных на рисунке 1.1 и рисунке 1.2 структурных реализаций ( d ), заданной в форме отношения двух модулярных многочленов (1.55), размеченных переменными состояния xi ( k ) и xi ( k + 1) слева направо (рисунок 1.9) и справа налево (рисунок 1.10) конструирование матриц A, B,C и H дает для последних представления

–  –  –

3. По размеченной структурной реализации передаточной функции ( d ) сконструируем матрицы A, B,C и H векторно-матричного представления линейной ДДС в форме (1.23), (1.24)

–  –  –

1.4. Проблема редуцирования размерности модельных представлений линейных двоичных динамических систем В параграфах 1.1 и 1.2 рассмотрены возможности модельных представлений линейных двоичных динамических систем в классе отношений «вход-выход» в форме передаточных функций (матриц) и рекуррентного уравнения ВВ n -го порядка, а также в классе отношений «вход-состояние-выход» в форме векторно-матричных представлений правил перехода и выхода рекуррентной и суммарной версий. Однако в одном из вариантов модельных представлений ЛДДС пока не затронута проблема их минимального модельного представления. Тем не менее, проблема построения минимальной схемотехнической реализации линейных ДДС ставит задачу редуцирования их первичных модельных представлений. Очевидно, эта задача может быть решена двумя способами. Первый способ опирается на формализм модулярных многочленов, использующий фактор делимости модулярных многочленов числителя и знаменателя передаточной функции [15, 38, 55]. Второй способ использует свойства пространств управляемости и наблюдаемости, конструируемых на матричных компонентах модельного ВСВпредставления линейных двоичных динамических систем [38].

1.4.1 Редуцирование линейных двоичных динамических систем на основе делимости модулярных многочлена числителя и знаменателя передаточной функции Рассмотрение данного способа редуцирования начнем с исследования некоторых основных свойств квадратных ( n n ) -матриц, часть из которых носит общесистемный характер, то есть выполняется для матрицы над любым полем, а часть имеет силу над простым полем Галуа GF ( p ) при p = 2. Заявленные свойства зададим с помощью утверждений.

Утверждение 1.14 (У1.14). (Теорема Гамильтона-Кэли). Произвольная квадратная ( n n ) -матрица A над простым полем Галуа GF ( p ) при p = 2 обнуляет свой характеристический модулярный многочлен (ХММ) так, что выполняется равенство det ( I + A) = a0 A m + a1 A m1 + + am1 A + am I = O (1.62) =A Доказательство утверждения строится по той же схеме, что и над бесконечным полем F = R действительных чисел [12, 13].

–  –  –

принадлежит показателю µ в том смысле, что Aµ = I. (1.63) Доказательство утверждения строится на факте делимости без остатка двучлена µ + 1 на ХММ D( ) = det ( I + A), который позволяет записать µ + 1 = Q( ) det ( I + A) = Q( ) D( ) (1.64) Выражение (1.64) делает справедливым соотношение A µ + I = Q( A) D( A) = Q( A)det ( I + A) = A, (1.65) в котором в силу У1.14 член det ( I + A) = A оказывается равным нулю, что доказывает справедливость У1.15.

Приведем еще одно утверждение, положения которого будут востребованы при решении задачи редуцирования модельного представления линейной ДДС.

Утверждение 1.16 (У1.16). Любой модулярный многочлен f ( x ) над простым полем Галуа GF ( p ) при p = 2 с ненулевым свободным членом, то есть неделящийся без остатка на x, является при некотором целом числе µ делителем двучлена 1 + x µ, при этом минимальное значение µ называется показателем, которому принадлежит f ( x ).

–  –  –

Доказательство утверждения строится на непосредственном вычислении µ, при котором выполняется равенство P µ = I.

Вернемся к решению проблемы редуцируемости передаточной функции ( d ) = M ( d ) / D( d ) на основе сокращаемости ММ числителя M ( d ) и знаменателя D( d ). Математической основой возможной сокращаемости модулярных многочленов над простым полем Галуа является основная теорема арифметики [30] о представлении отличного от нуля целого числа произведением степеней простых чисел. Над конечным полем GF ( p ) при p = 2 свойствами простого числа обладают неприводимые многочлены. В этой связи весьма важным является следующее утверждение.

Утверждение 1.18 (У1.18). Если степень µ бинома x µ + 1 представима в форме µ = 2 n 1, (1.68) где µ и n положительные целые числа, то в разложении бинома x µ + 1 входят все без исключения неприводимые ММ, степени которых, начиная с единицы, являются делителями числа n.

Доказательство утверждения можно найти в [15].

Утверждение 1.18 является эффективным инструментом при редуцировании передаточных функций ( d ) линейных ДДС, решающих задачи кодопреобразования, в результате которого на выходе ДДС формируется периодическая последовательность y ( k ) с периодом T. В этом случае в знаменателе передаточной функции ( d ) появляется бином d T + 1, который в силу У1.18 представим произведением неприводимых ММ, что порождает возможность редуцирования ( d ).

Приведем еще одно утверждение, положения которого могут быть так же полезны в решении задачи редуцирования модельного представления ЛДДС.

Утверждение 1.19 (У1.19). Если степень µ бинома x µ + 1 представима в форме µ = 2, где – целое положительное число, то бином x µ + 1 над простым полем Галуа GF ( 2 ) при p = 2 может быть записан в форме ( ) x µ + 1 = x 2 + 1 = x v + 1. (1.69) Доказательство утверждения сводится к непосредственному вычислению правой части (1.69) с учетом специфики модулярной арифметики по mod p = mod 2.

Как следствие из У1.19 становится справедливым положение следующего утверждения.

–  –  –

( ) ( )( ) 2 2

–  –  –

1.4.2 Редуцирование линейных двоичных динамических систем на основе анализа структуры пространств управляемости и наблюдаемости ЛДДС

–  –  –

где x ун – управляемая и наблюдаемая часть вектора состояния x ;

x унн – управляемая, но ненаблюдаемая часть x ; xнун – неуправляемая, но наблюдаемая часть x ; xнунн – неуправляемая и ненаблюдаемая часть вектора x. ЛДДС (1.72) с вектором состояния (1.73) структурно представим схемой (рисунок 1.14).

–  –  –

Структурное представление, приведенное на рисунке 1.14, системы, характеризующееся четырьмя перечисленными компонентами вектора состояния, справедливо для систем над бесконечными и конечными полями предложено Р. Калманом [29] и носит название «каноническое представление Р. Калмана». Из приведенного представления видно, что передаточная функция ( d ), как модель «вход-выход» описывает только полностью управляемую и полностью наблюдаемую часть ЛДДС. При вычислении передаточной функции ЛДДС (1.72) в силу соотношения ( ) ( d ) = C d 1 I + A 1 B + H (1.74) должно происходить сокращение сомножителей числителя и знаменателя ММ, которые задействованы для описания неуправляемых и ненаблюдаемых частей ЛДДС. Таким образом размерность передаточной функции ЛДДС в целом, которая совпадает с передаточной функцией ее полностью управляемой и полностью наблюдаемой части, в ее минимизированной после сокращения сомножителей форме определится размерностью пересечения пространства управляемости пары матриц ( A, B ) и пространства наблюдаемости пары матриц ( A,C ). Для вычисления размерности этого пересечения может быть использован следующий алгоритм.

–  –  –

1.5. Концепция подобия в теории линейных двоичных динамических систем Концепция подобия в теории динамических систем над бесконечными полями получила в последнее время заметное распространение при решении широкого круга задач управления [5, 35, 40, 48, 53].

В рамках векторно-матричного формализма метода пространства состояний в непараметризованной временем форме концепция подобия сводится к выполнению соотношения = M. (1.80) В параметризованном временем виде соотношение (1.80) достигается в асимптотике так, что ( ) = M ( ) ( ), (1.81) при этом lim ( ) = 0 ( 0 ), ( 0 ). (1.82) В (1.80) – (1.82) – вектор состояния некоторого эталонного динамического процесса, – вектор состояния конструируемой динамической среды, dim = m, dim =, M – ( m ) – матрица в общем случае особого [12] преобразования подобия; – принимает смысл непрерывного времени t ( = t ) в непрерывных по времени процессах и смысл дискретного времени k ( = k ), выраженного в числе интервалов дискретности длительности t так, что t = k t, в дискретных по времени процессах, – вектор невязки выполнения векторно-матричного подобия, задаваемого в форме ( ) = M ( ); ( 0 ), ( 0 ), (1.83) Если на асимптотически сходящемся процессе (1.82) можно указать такое, что при соотношение (1.83) выполняется «почти точно», то следует называть временем установления векторно-матричного подобия (1.83). В технической среде достижение векторно-матричного подобия (1.83), обеспечиваемого путем выполнения условия (1.82), реализуется в виде связей по вектору состояния и части компонентов вектора состояния так, что математическая модель по вектору невязки представляет собой автономную систему, которая для непрерывного времени имеет вид &t ) = A ( t ); ( 0 ) = M ( ) ( 0 ), ( (1.84) и ( k + 1) = A ( k ); ( 0 ) = M ( ) ( 0 ), (1.85) для дискретного времени. Указанные связи должны быть выбраны так, чтобы процессы в (1.84) и (1.85) ( t ) = e A t ( 0 ); ( k ) = A k ( 0 ), (1.86) сходились за назначенное время. Для процессов с непрерывным временем матрица A должна быть гурвицевой, для процессов с дискретным временем матрица A должна иметь собственные значения в единичном круге [5, 48].

К схеме (1.81), (1.84), (1.85) сводится задача регулирования [31] в форме модального управления [48, 53], задача слежения за конечномерным экзогенным воздействием [5, 48, 31, 52], задача динамического наблюдения [5, 35, 48]. К этой же схеме сводятся задачи адаптивного управления [40]. Для случая единичной матрицы преобразования подобия ( M = I ), когда отношение подобия превращается в отношение тождественного равенства, разработаны методы решения обратных задач динамики [34].

Следует ожидать, что перенос концепции подобия на динамические системы над конечными полями, частным случаем которых являются двоичные динамические системы, заметно обогатит алгоритмическое обеспечение синтеза как линейных, так и нелинейных ДДС (конечных автоматов). Следует заметить при этом, что обеспечение условия вида (1.82) опирается на особые свойства матриц над конечным полем Галуа GF ( p ) при p = 2 [37]. Часть этих свойств представлены в разделе 1.3.1. Этими свойствами являются: свойство обнуления произвольной квадратной m m -матрицей с элементами из конечного поля Галуа GF ( p ) при p = 2 своего характеристического полинома (Теорема Гамильтона-Кэли над конечным полем Галуа GF ( p ) при p = 2 ) в форме (1.62); свойство принадлежности квадратной m m -матрицы с элементами из конечного поля Галуа GF ( 2 ) показателю µ в форме (1.63).

Для целей дальнейших исследований введем в рассмотрение еще одно свойство матриц над конечным полем Галуа GF ( 2 ).

Свойство 1.1 (СВ1.1). (Нильпотентность индекса матрицы A).

Квадратная (m m ) -матрица A с элементами из GF ( 2 ) обладает свойством нильпотентности индекса, если выполняется условие A = O. (1.87) Утверждение 1.21 (У1.21). Для того чтобы ( m m ) -матрица A с элементами из конечного поля Галуа GF ( 2 ) обладала свойством СВ1.1 достаточно, чтобы матрица A обладала нулевым корнем кратности, при этом ее каноническое представление имело вид

–  –  –

1.5.1 Концепция подобия в задаче динамического наблюдения состояния произвольной линейной ДДС Пусть линейная ДДС, состояние которой подлежит наблюдению, имеет векторно-матричное описание ( k + 1) = A ( k ) + B u ( k ), ( 0 ) = 0, ( k ) = C ( k ), (1.93) где, u, – соответственно n –мерный вектор состояния, r –мерный вектор входной последовательности и –мерный вектор выходной последовательности, матрицы A, B,C согласованы по размерности с векторами, u и. Элементы векторов и матриц принадлежат двоичному простому полю Галуа GF ( 2 ).

Двоичное динамическое наблюдающее устройство (ДНУ), использующее всю доступную для непосредственного измерения информацию об ДДС (1.93) в виде входной последовательности u ( k ) и выходной – y ( k ), строится в форме z ( k + 1) = z ( k ) + L ( k ) + G u ( k ), z ( 0 ) = z 0, (1.94) где z – m -вектор состояния ДНУ, матрица определяет динамику процесса наблюдения в форме (1.82), а пара матриц ( L,G ) обладает свойствами L = arg { contr (, L ) }, G = arg { contr (,G ) }, (1.95) где contr { ( ),( • )} – предикат наличия полной управляемости пары матриц { ( ),( • )}.

Задачу наблюдения вектора состояния системы (1.93) в среде ДНУ (1.94) сформулируем в форме (1.81), записываемой в виде z ( k ) = T ( k ) + ( k ), k, (1.96) где T – матрица преобразования подобия (в общем случае – особого).

Уравнение (1.96) позволяет построить модель процесса наблюдения по вектору невязки наблюдения, которое принимает вид ( k + 1) = T ( k + 1) + z ( k + 1). (1.97) Структурная модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме (1.97) в соответствии с моделями (1.93) и (1.94) представлена на рисунке 1.16.

( 0)

–  –  –

то процесс по вектору невязки наблюдения (ВНН) ( k ) описывается рекуррентным векторно-матричным уравнением ( k + 1) = ( k ), ( 0 ) = T ( 0 ) + z ( 0 ). (1.99) Доказательство утверждения строится на подстановке в (1.99) векторно-матричных соотношений (1.93) и (1.94), в результате чего получим ( k + 1) = ( k ) + (T A + T + L C ) ( k ) + (T B + G ) ( k ). (1.100) Если в (1.100) подставить (1.98), то приходим к (1.99).

Модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме процесса по ВНН (1.99) позволяет сформулировать требования к матричным компонентам наблюдаемой ДДС (1.93) и ДНУ (1.94), которые позволят обеспечить все возможные задачи наблюдения.

Так если ставится задача наблюдения вектора ( k ) текущего состояния ДДС (1.93), то следует воспользоваться явным (показательным) решением (1.99), записываемым в форме ( k ) = k ( 0 ) ; ( 0 ) = T ( 0 ) + z ( 0 ). (1.101) Следует заметить, что при нормальном использовании ДНУ его состояние при запуске обнуляется так, что z ( 0 ) = 0. С учетом этого обстоятельства (1.101) принимает вид ( k ) = k T ( 0 ). (1.102) В свою очередь подстановка (1.102) в (1.96) дает z ( k ) = T ( k ) + k ( 0 ). (1.103) Потребуем от матрицы состояния ДНУ обладания свойством нильпотентности с индексом, тогда при k устанавливается равенство z ( k ) = T ( k ), k. (1.104) Таким образом, вектор z ( k ) состояния ДНУ с точностью до матрицы преобразования подобия T задает текущее состояние вектора ( k ) наблюдаемой ДДС (1.93). Заметим, что подобие (1.104) можно преобразовать в тождество, если в матричное уравнение Сильвестра (1.98) положить T = I, где I – единичная матрица, и решить уравнение (1.100) относительно матрицы L.

Поставим теперь задачу наблюдения вектора ( 0 ) начального состояния наблюдаемой ДДС (1.93). Для этого потребуем, чтобы матрица принадлежала показателю µ так, что µ = I. В этом случае при k = µ соотношение (1.102) примет вид z ( µ ) = T ( µ ) + ( 0 ) = T ( µ ) + T ( 0 ). (1.105) Дополним ситуацию еще одним условием, для чего предположим, что наблюдаемая ДДС (1.93) представляет собой регистр сдвига, функционирующий при u ( k ) 0 и ( 0 ) 0. Если учесть, что показатель µ удовлетворяет неравенствам n µ 2n 1, (1.106) то к моменту k = µ (1.105) примет вид z ( µ ) = T ( 0). (1.107) Таким образом (1.107) обнаруживает результат, который не достигается над бесконечными полями. Если наблюдаемая ДДС (1.93) представляет собой регистр сдвига размерности n с нулевой входной по

–  –  –

Рисунок 1.17.

Структурное представление модели (1.109) процесса двоичного динамического наблюдения Агрегированная модель (1.109) с матричным компонентом A (1.110) процесса двоичного динамического наблюдения представлена на рисунке 1.17.

–  –  –

Из таблицы 1.1 видно, что начиная с третьего такта, то есть с выполнением условия k = 3, вектор состояния z синтезированного ДНУ повторяет в форме z ( k ) = ( k ) состояние ( 0 ) наблюдаемой ДДС.С использованием полученных результатов структурно-функциональная схема процесса двоичного динамического наблюдения вектора состояния заданной ДДС примет вид, как показано на рисунке 1.18.

Из таблицы 1.1 видно, что начиная с третьего такта, то есть с выполнением условия k = 3, вектор состояния z синтезированного ДНУ повторяет в форме z ( k ) = ( k ) состояние ( 0 ) наблюдаемой ДДС.С использованием полученных результатов структурно-функциональная схема процесса двоичного динамического наблюдения вектора состояния заданной ДДС примет вид, как показано на рисунке 1.18.

1.5.2 Концепция подобия в задаче декодирования систематических помехозащищенных кодов Задачу декодирования систематических помехозащищенных кодов, подвергшихся воздействию на функциональном и модельном уровнях, зададим следующим образом. Кодирующее устройство (КУ) на выходе которого формируется ( n, k ) -помехозащищенный код y, выводимый в канал связи в виде двоичной кодовой последовательности y ( k ), старшим разрядом вперед, представляется n -разрядным регистром сдвига, начальное состояние которого ( 0 ) представляет собой передаваемую помехозащищенную кодовую посылку. Векторно-матричное модельное представление КУ имеет вид x ( k + 1) = F x ( k ); x ( 0 ); y ( k ) = P x ( k ), (1.116) где F – матрица размерности ( n n ) является нильпотентной с индексом нильпотентности равным n так, что = n. Формирователь импульсной помехи, которая в канале связи (КС) искажает передаваемую кодовую посылку y, также представим n -разрядным регистром сдвига, который будем именовать регистром канала связи (РКС). РКС характеризуется нулевой входной последовательностью и вектором начального состояния ( 0 ), который представляет собой n -разрядный вектор помехи, выводимый в КС в виде последовательности ( k ) старшим разрядом вперед. Векторно-матричное описание РКС имеет вид ( k + 1) = A ( k ); ( 0 ); ( k ) = C ( k ). (1.117) Матрица A совпадает с матрицей F и так же является нильпотентной с индексом нильпотентности = n.

Процесс искажения кодовой последовательности y ( k ), при передаче по КС представим суммированием в простом двоичном поле GF ( 2 ), в результате чего формируется искаженная кодовая комбинация f = y +, в виде кодовой последовательности f ( k ) = y( k ) + ( k ). (1.118) Процесс декодирования реализуем в форме построения ДНУ, формирующего к моменту k = n состояние z ( n ), которое с точностью до матрицы преобразования подобия представляло бы собой вектор ( 0 ) начального состояния РКС. Векторно-матричное описание ДНУ – декодирующего устройства (ДКУ) принимает вид z ( k + 1) = z ( k ) + L f ( k ); z ( 0 ), (1.119) а структурное представление процесса декодирования – так, как показано на рисунке 1.19.

Рисунок 1.19.

Структурное представление двоичного динамического наблюдения начального состояния регистра канала связи

–  –  –

нента z ( k ) приводит к (1.120).

В стандартной постановке задачи декодирования [51] сформированный ДКУ синдром ошибки представляет собой образ вектора начального состояния ( 0 ) РКС, формируемого с помощью матрицы преобразования подобия T. В этой связи выясним при каких условиях и свойствах матричных компонентов соотношения (1.120) последнее вырождается в соотношение вида (1.107), записываемое в форме () z k = T ( 0 ). (1.126) Решение поставленной задачи получим с использованием положений следующего утверждения.

Утверждение 1.25 (У1.25). Если ДНУ начального состояния ( 0 ) функционирует так, что всегда z ( 0 ) = 0, то есть перед запуском его состояние обнуляется, матрица принадлежит показателю µ = n, матрицы A и F обладают индексом нильпотентности = n, матрица преобразования подобия Tx обладает свойством Tx G T = O.

(1.127) где G – образующая матрица систематического кода [51], то выполняется соотношение векторно-матричного подобия z ( n ) = T ( 0 ). (1.128) Доказательство утверждения строится на определениях свойств нильпотентности матрицы и принадлежности матрицы показателю, а так же на использовании условия z ( 0 ) = 0, что приводит (1.120) к виду z ( n ) = T ( 0 ) + Tx x ( 0 ). (1.129) Напомним, что вектор x( 0 ) формируется из информационной части xи ( 0 ) систематического помехозащищенного кода с помощью образующей матрицы G кода в силу соотношения x ( 0 ) = G T xи ( 0 ). (1.130) Если (1.130) подставить в (1.129) и учесть (1.127), то получим (1.128).

–  –  –

7 (0 ) 6 (0 ) 5 (0 ) 4 (0 ) 2 (0 ) 1 (0 ) 3 (0)

–  –  –

Решая поставленную задачу, следует отметить, что банк линейных триггеров состоит из D- и T- триггеров при этом так, как передаточная функция элемента памяти (ЭП), выполненного в виде D- триггера, характеризуется передаточной функцией D ЭП ( d ) = d, (1.131)

–  –  –

10. Выполнить А1.2, получив представление линейной ДДС в форме (1.138).

11. Назначить произвольные матрицы AT, BT и LD, удовлетворяющие условиям У1.30.

12. Решить матричное уравнение Сильвестра (1.140) относительно матрицы подобия M и вычислить матрицу M 1.

13. Сконструировать матричные компоненты T-триггерной реализации линейной ДДС (1.138) с помощью соотношений (1.136) и (1.137).

Следует отметить, что так как нелинейные ДДС, именуемые конечными автоматами, имеют линейные аналоги, то, как представляется авторам, концепция подобия может быть распространена и на этот класс ДДС.

Пример 1.7 (Пр1.

7) Построить для декодирующего устройства циклического кода с образующим многочленом g ( x ) = x 3 + x + 1 модельное представление ДДС в логике линейных T-триггеров.

1. Выполнение п.1 А1.5 формирует модельное «входсостояние-выход» представление декодирующего устройства с матричными компонентами

–  –  –

1.6. Векторно-матричное представление линейного помехозащитного кодопреобразования, непараметризованное дискретным временем.

Методы формирования матриц помехозащищенных кодов Процесс линейного помехозащитного кодопреобразования как в фазе кодирования, так и в фазе декодирования [15, 42, 55, 51] как частный случай линейного кодопреобразования имеет три модельных представления, приведенных в параграфе 1.1. В данном параграфе используется векторно-матричное представление линейного помехозащитного кодопреобразования, непараметризованное дискретным временем, при этом особое внимание обращается на методы формирования образующей и проверочной матриц помехозащищенного кода (ПЗК).

Полная схема, описывающая процесс кодирования, состоящий в преобразовании исходного помехонезащищенного кода в помехозащищенный, его передачу по двоичному каналу связи, сопровождающуюся искажением помехозащищенного кода, и процесс декодирования принятого из КС кода с целью формирования кода синдрома (опознавателя) внесенной при передаче ошибки (искажения), приведена на рисунке 1.22.

–  –  –

На рисунке 1.22: КУ – кодирующее устройство; КС – канал связи, искажение в котором моделируется сумматором по модулю два помехозащищенного кода и кода ошибки; ДКУ – декодирующее устройство, формирующее синдром ошибки; a – вектор-строка исходного помехонезащищенного кода, dim a = k ; y – вектор-строка помехозащищенного ( n, k ) -кода, наблюдаемого на выходе КУ, dim y = n, n k, m = n k

– число вводимых избыточных разрядов кода y ; – вектор-строка помехи, воздействующей на КС, dim = n ; f = y + – вектор-строка искаженного кода, принимаемого из КС; E – вектор-строка синдрома ошибки (искажения) в принятой из КС кодовой комбинации, dim E = m.

Процесс формирования вектор-строки помехозащищенного кода y из вектор-строки помехонезащищенного кода a, осуществляемый в КУ, может быть описан линейным векторно-матричным соотношением y = aG, (1.144) где G – ( k n ) -матрица, именуемая образующей матрицей [42, 51] помехозащищенного линейного кода y.

Процесс искажения передаваемой кодовой комбинации y в канале связи под действием помехи такой, что на выходе КС формируется вектор-строка искаженного кода f, может быть представлен операцией суммирования f = y +, (1.145) соответствующих вектор-строк.

И, наконец, процесс декодирования, состоящий в формировании вектор-строки синдрома (опознавателя) E из вектор-строки принятого из КС искаженного кода f может быть описан векторно-матричным соотношением E= f H, (1.146) где H – ( k n ) -матрица, именуемая проверочной [42, 51] матрицей помехозащищенного кода y.

Заметим, что все операции умножения и суммирования в соотношениях (1.144) – (1.146) и ниже осуществляются по правилам модулярной арифметики с модулем два ( mod 2 ).

Выясним: какими свойствами должна обладать пара матриц ( G, H ) с тем, чтобы она порождала помехозащищенный код?

С этой целью сформулируем утверждение.

Утверждение 1.28 (У1.28). Матрица G, принятая за образующую матрицу, и матрица H, принятая за проверочную матрицу, порождают помехозащищенный код, если они удовлетворяют матричному соотношению GH =O. (1.147) Доказательство утверждения строится [42] на использовании соотношений (1.146), (1.145) и (1.144). Если в (1.146) подставить (1.145), в котором учесть (1.144), то получим цепочку равенств E = f H = ( y + ) H = ( a G + ) H = a GH + H. (1.148) Напомним, что декодирующие устройства помехозащищенных кодов, построенные в прямой логике, функционируют так, что при отсутствии ошибки в принятой кодовой комбинации декодирующее устройство формирует нулевой синдром, а в случае наличия ошибок, для обнаружения или исправления которых осуществлено помехозащитное кодирование, ДКУ формирует соответствующий ненулевой синдром.

Таким образом ДКУ реализует соотношение E = E ( ) =0 = O, E = E ( ) 0 O. (1.149) Если теперь в (1.148) положить = 0, то в силу первого из соотношений (1.149) получим векторно-матричное равенство E = a GH = O, (1.150) выполняемое при любых вектор-строках исходного кода a, что доказывает справедливость утверждения.

Примечание 1.1 (ПМ1.1). Следует заметить, что характеристическое свойство (1.147) матриц ПЗК не нарушается при перестановке строк образующей матрицы G и столбцов проверочной матрицы H.

При перестановке столбцов матрицы G для сохранения (1.147) необходима согласованная перестановка строк матрицы H.

Нетрудно видеть, что соотношения (1.147) – (1.149) содержат доказательство следующего утверждения.

Утверждение 1.29 (У1.29). Процедура формирования синдрома E имеет два эквивалентных представления (1.145) и E = H. (1.151) Следует заметить, что векторно-матричные представления (1.146) и (1.149) имеют различную нагрузку и среду реализацию. Первое используется в аппаратурной среде, а второе – в аналитической при формировании проверочной матрицы H помехозащищенного кода.

Заметим так же, что доказательство У1.28 делает справедливым положения следующего утверждения.

Утверждение 1.30 (У1.30). Пара матриц ( G, H ) размерности dim G = k n и dim H = n m, удовлетворяющие матричному соотношению (1.147), принятые соответственно за образующую и проверочную матрицы кода, порождают помехозащищенный ( n, k ) -код, характеризующийся корректирующей способностью, определяемой мощностью [ { E} ] множества { E} ненулевых синдромов, задаваемой в силу (1.149) соотношением [ { E} ] = 2 m 1. (1.152) Поставим теперь задачу конструирования алгоритмов формирования образующей G и проверочной H матриц помехозащищенного кода. Эта задача не инвариантна относительно требований к блоковой систематике формируемого помехозащищенного кода. В связи с этим введем следующие определения.

Определение 1.8 (О1.8). Систематическим помехозащищенным кодом называется код, элементы которого представляют собой комбинации элементов исходного помехонезащищенного кода. При этом ПЗК называется линейным, если эти комбинации строятся на основе линейных бинарных операций модулярной арифметики, и нелинейным, если комбинации строятся на основе нелинейных бинарных операций модулярной арифметики.

Нетрудно видеть, что ПЗК, сформированные в силу правила (1.144), являются систематическими и линейными, при этом вся систематика помехозащищенного линейного кода y заложена в образующей матрице G.

Определение 1.9 (О1.9). Систематический ПЗК называется систематическим помехозащищенным кодом с полной блоковой систематикой, если проверочные разряды кода, вводимые в структуру ПЗК процедурой кодирования, и информационные разряды, образованные исходным помехонезащищенным кодом (ПНЗК) a, представляют собой отдельные монолитные блоки.

Следует заметить, что в современной телекоммуникационной технике, в которой преобладает передача кодов «старшим разрядом вперед», в ПЗК с полной блоковой систематикой исходный ПНЗК образует старшие разряды кода, а блок проверочных разрядов – младшие его разряды.

Определение 1.10 (О1.10). Систематический ПЗК называется кодом с неполной блоковой систематикой, если разряды исходного ПНЗК и проверочные разряды ПЗК перемежаются, не образуя монолитные блоки.

С целью конструирования алгоритмов формирования матриц G и H ПЗК сформулируем дополнительно следующее утверждение.

Утверждение 1.31 (У1.31). Если помехозащищенный код исправляет ошибки кратности = 1, s, то синдром E j ошибки j в разрядах для j -ой их комбинации j = 1,C n равен сумме по модулю два строк H i, i = 1,n проверочной матрицы H однократных ошибок, сумма которых образует данную ошибку j.

Доказательство утверждения строится на использовании соотношения (1.149), в котором вектор-строку синдрома E, вектор-строку ошибки следует писать в поэлементной форме { } { } E = row E, = 1,m, = row i, i = 1,n, (1.153) а проверочную матрицу H записать в столбцовой форме { } H = col H i, i = 1,n, (1.154) где H i – i -я строка матрицы H. Подстановка компонентов соотношения (1.149), представленных в форме (1.153), (1.154), в соотношение (1.152) доказывает справедливость утверждения.

Примечание 1.2 (ПМ1.2). Нетрудно видеть, что если при кодировке векторов ошибок векторами-синдромами E при построении ПЗК, исправляющего ошибки кратности s 1 или обнаруживающего ошибки кратности r 2, учтены условия У1.31, то достаточно иметь таблицу кодировок ошибок только первой кратности. Ниже при построении алгоритмов формирования матриц G и H кода предполагается, что условия У1.31 выполняются.

Утверждение 1.32 (У1.32). Столбцы H, = 1,m матрицы H принадлежат ядру матрицы G так, что выполняются соотношения H ker G GH = O ; (1.155) в свою очередь столбцы G T, j = 1,k транспонированной G T образуюj <

–  –  –

Процедура формирования матриц H и G ПЗК, основанная на использовании проверочных равенств при декодировании и кодировании, инвариантна относительно требований к блоковой систематике кода.

По существу уровень блоковой систематики в структуре проверочной матрицы H кода закладывается в силу (1.146) и У1.31 на первом шаге процедуры, состоящем в кодировке векторов-строк ошибок j векторами-строками синдромов E j. Следует заметить, что на этапе кодировок ошибок j синдромами E j может быть так же заложен [42, 51] способ технической реализации исправления ошибки(ок) в принятой кодовой комбинации. Так кодировкой ошибок j синдромами E j по схеме Р. Хэмминга [42, 51] закладывается возможность технической реализации исправления однократных ошибок с использованием стандартных дешифраторов [27, 51].

–  –  –

1.6.2 Формирование матриц ПЗК с использованием матричного уравнения Сильвестра На возможность использования матричного уравнения Сильвестра для формирования проверочной матрицы циклического помехозащищенного кода (ЦПЗК) указано в параграфе 1.4. Эти возможности в систематизированном виде являются основой алгоритма 1.7 формирования указанной матрицы ЦПЗК.

–  –  –

1.6.3 Использование сингулярного разложения матриц в задаче формирования матриц ПЗК Рассмотрим теперь алгоритм конструирования образующей матрицы G ПЗК по известной проверочной матрице H, который основан на положениях У1.32 и использующий возможности сингулярного разложения (SVD-процедуры) матриц [12, 16]. С этой целью сделаем некоторые пояснения.

Определение 1.11 (О1.11). Сингулярным разложением [12, 16] µ матрицы N над произвольным полем называется ее представление в форме N = UV T, (1.172) где U – -матрица левого сингулярного базиса, V – µ µ -матрица правого сингулярного базиса, обладающие свойством над этим полем UU T = U T U = I, VV T = V T V = I µ, (1.173)

– µ -квазидиагональная матрица сингулярных чисел, размещаемых на главной диагонали, при этом их число равно min {, µ }.

Если с помощью (1.172) сконструировать матрицы NN T и N T N, то в силу (1.173 получим NN T = U T U T ; N T N = V T V T, (1.174) при этом оказывается, что сингулярные числа совпадают с арифметическими значениями корней из собственных значений матриц NN T и N T N. Элементы левого сингулярного базиса U являются нормированными собственными векторами матрицы NN T, а элементы правого сингулярного базиса V являются нормированными собственными векторами матрицы N T N.

Выделим случай реализации µ -матрицы N, которая характеризуется выполнением условия µ, (1.175) тогда [12, 16] µ последних столбцов матрицы V правого сингулярного базиса будут принадлежать ядру матрицы N, что записывается в форме Vi ker N, i = + 1, µ. (1.176) Для построения алгоритма формирования образующей матрицы G ПЗК по известной проверочной матрице H, необходимо положить N = HT.

Если с помощью (1.172) сконструировать матрицы NN T и N T N, то в силу (1.173 получим NN T = U T U T ; N T N = V T V T, (1.174) при этом оказывается, что сингулярные числа совпадают с арифметическими значениями корней из собственных значений матриц NN T и N T N. Элементы левого сингулярного базиса U являются нормированными собственными векторами матрицы NN T, а элементы правого сингулярного базиса V являются нормированными собственными векторами матрицы N T N.

Выделим случай реализации µ -матрицы N, которая характеризуется выполнением условия µ, (1.175) тогда [12, 16] µ последних столбцов матрицы V правого сингулярного базиса будут принадлежать ядру матрицы N, что записывается в форме Vi ker N, i = + 1, µ. (1.176) Для построения алгоритма формирования образующей матрицы G ПЗК по известной проверочной матрице H, необходимо положить N = HT.

–  –  –

1.6.4 Формирование матриц ПЗК с полной блоковой систематикой Рассмотрим проблемы формирования матриц G и H ПЗК с полной блоковой систематикой. Если формирование матриц кода осуществляется с помощью алгоритма 1.6, то блоковая систематика закладывается на этапе кодировке вектор-строк однократных ошибок j в m младших разрядах помехозащищенного ( n, k ) -кода векторамистроками синдромов E j так, чтобы последние m синдромов в таблице кодировок образовывали m m -единичную матрицу I m. При этом проверочная матрица H ( n, k ) -кода примет вид (1.158), который в силу положений утверждения У.1.33 является основой для формирования образующей матрицы G ПЗК в форме (1.158).

Завершим рассмотрение поставленной проблемы формирования матриц ( G, H ) помехозащищенного ( n, k ) -кода случаем циклических ПЗК, матрицы которых обладают полной блоковой систематикой.

Приводимый ниже алгоритм строится на базе работ [42, 44].

–  –  –

Пример 1.8 (Пр1.

8) Решается задача формирования матриц G и H ПЗК ( 15,7 ), исправляющего ошибки кратности s = 2 и обладающего синдромами однократных ошибок, удовлетворяющих условиям У1.31.

Формирование матриц требуется осуществлять с помощью проверочных равенств при декодировании и кодировании. Тогда, следуя алгоритму 1.6:

1. Составим таблицу 1.2 однократных ошибок, используя синдромы группового кода [50], исправляющие ошибки кратности s = 2.

2. Составим проверочную матрицу H, используя соотношение (1.158), в результате чего получим

–  –  –

отношение N c N ош сохранится, если число m проверочных разрядов сократить с 8 до 7. Действительно, в этом случае код ( 15,7 ) трансформировался бы в код ( 14,7 ), для которого было бы справедливо неравенство N c = 2 m 1 = 27 1 = 127 N ош = С n + С n = 105.

Но в этом случае необходимо было бы приведенные в таблице 1.1 синдромы укоротить на один старший разряд. Однако при этом нарушается условие [42, 51] и корректирующая способность ПЗК, исправляющего ошибки кратности s = 2, что вызывается появлением нулевого синдрома (для ошибки в двенадцатом разряде в рамках рассмотренного примера) и сокращением кодового расстояния между синдромами до d min = 3.

<

–  –  –

1.7.1 Неподвижные состояния линейной двоичной динамической системы Рассмотрение проблемы начнем с определения неподвижного состояния.

Определение 1.12 (О1.12). Состояние x( k ) ЛДДС (1.182), (1.183) называется неподвижным, если оно удовлетворяет условию x ( k + 1) = x ( k ), k. (1.185)

–  –  –

1.7.2 Замкнутые циклы линейных ДДС Вынесенную в название параграфа проблему как для случая исследования неподвижных состояний будем решать с использованием модельных представлений ЛДДС в форме (1.186), (1.187) при отсутствии на входе двоичной динамической системы экзогенной последовательности ( u ( k ) = 0 ) и в форме (1.183), (1.184) при наличии на входе системы экзогенной последовательности ( u ( k ) 0 ).

Предварим исследование важным для решения проблемы утверждением.

Утверждение 1.39 (У1.39). Пусть ( n n ) -матричная функция f ( A) от ( n n ) -матрицы A задана над простым полем Галуа GF ( p ) при p = 2 в степенной форме f ( A) = A q (1.200) где q – целое положительное число. Пусть матрица A обладает алгебраическим спектром { A } = { i : det ( I + A) = 0 ; i GF ( 2 ) } собственных значений и геометрическим спектром } { i : A j = j ; j = 1,rA собственных векторов. Пусть матричная функция f ( A) от матрицы A обладает алгебраическим спектром { f ( A) } = { f i = f ( i ) : det [ f I + f ( A) ] = 0 ; i = 1,n }

–  –  –

Размерность rA ядра Ker ( I + A), определяющая число собственных векторов j, составляет rA = 1. Таким образом, матрица A имеет единственный собственный вектор

–  –  –

, x( k + T 1) = AT 1 x( k )}. (1.209) Рассмотрим факторы, определяющие длину T замкнутых циклов на множестве состояний ЛДДС при отсутствии экзогенной последовательности ( u ( k ) = 0 ) на ее входе. С этой целью соотношение (1.208) запишем в форме (1.187) x( k ) = AT x( k ). (1.210) Сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1.40 (У1.40). При x( k ) 0 соотношение (1.210) выполняется в случаях, когда:

– матрица A принадлежит показателю T ;

– x( k ) является собственным вектором матрицы AT.

Доказательство справедливости первой части утверждения строится на определении показателя µ, которому принадлежит матрица A, в соответствии с которым выполняется матричное равенство Aµ = I, (1.211) подстановка µ = T делает справедливым (1.210). Доказательство справедливости второй части утверждения строится на определении собственного вектора с учетом специфики простого поля Галуа GF ( p ) при p = 2.

Нетрудно видеть, что длина T замкнутых циклов удовлетворяет неравенствам 1 T n 1. (1.212) Очевидно, что в структуре пространства ( n n ) -матрицы A состояния ЛДДС (1.186), (1.187) имеется цикл длины T = 1, когда x( k ) является собственным вектором матрицы A. Иначе говоря, ненулевое неподвижное состояние образует цикл длительностью T = 1. Максимальная длительность T = 2 n 1 имеет место, когда ( n n ) -матрица A и ее характеристический полином D( ) = det ( I + A) принадлежат показателю µ = 2 n 1.

Наложим на неравенства (1.212), определяющие возможные по длине T циклы на множестве ненулевых состояний ~ мощностиx ~ [x ~ ] = N = 2 n 1, неравенства, оценивающие возможные показатели µ, которым могут принадлежать ( n n ) -матрица состояния ЛДДС и ее характеристический полином D( ) n µ 2n 1. (1.213) В результате этого наложения, а также с использованием положений У1.39 и У1.40 можно предложить следующий алгоритм анализа структуры замкнутых циклов линейных ДДС (1.186), (1.187), которому придадим номер 1.10.

–  –  –

Рисунок 1.23.

Структура замкнутых циклов и неподвижных состояний ЛДДС Рассмотрим теперь структуру замкнутых циклов линейной ДДС при u ( k ) = 1.

Описание ЛДДС для этого случая задается представлениями (1.183), (1.184), в которых следует положить u ( k ) = 1 так, что получим:

в рекуррентной форме x( k + 1) = Ax( k ) + B ; x( 0 ) (1.218) и в суммарной форме x( k + 1) = A k x( 0 ) + A k 1 B + A k 2 B + + AB + B ; x( 0 ). (1.219) Следует заметить, что введенное с помощью О1.13 определение замкнутого цикла длинной T сохраняется, однако структура этих циклов не только зависит от показателя µ, которому принадлежит матрица A, структуры собственных векторов { f } степенных матричных функций f ( A) = A q от ( n n ) -матрицы A состояния ЛДДС, но и от матрицы B. Последняя может принадлежать пространству столбцов матрицы A, то есть ее образу B Jm A, (1.220) тогда пара матриц ( A, B ) оказывается не полностью управляемой, простейший случай такой ситуации является случай, когда матрица B является собственным вектором матрицы A.

В этой связи сформулируем утверждение.

Утверждение 1.41 (У1.41). Если матрица B векторноматричного описания ЛДДС является собственным вектором матрицы A, то ЛДДС с такой парой матриц ( A, B ) не является полностью управляемой, при этом размерность подпространства управляемости равна единице.

–  –  –

Неподвижные состояния в случае u ( k ) = 1 в ЛДДС с парой матриц ( A,B2 ) «исчезли», структура пространства состояний распалась на два замкнутых цикла длиной T = µ = 4. В силу полной управляемости пары ( A,B2 ) существует последовательность u ( k ), которая позволяет обойти все состояния ЛДДС. Примером такой последовательности является u ( k ) = 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1...

В заключение следует остановиться на проблеме вычисления состояния, из которого ЛДДС переходит в нулевое состояние. Нетрудно видеть, если в левой части (1.218) положить для состояния перехода x( k + 1) 0, то x( k ), из которого происходит под действием u ( k ) переход в нулевое состояние, определится выражением x( k ) = A 1 B. (1.223) Оценка состояния (1.223) особенно важна в задачах помехозащитного декодирования.

Следует также заметить, что структура замкнутых циклов претерпевает минимальную модификацию для случая, когда матрица A состояния ЛДДС принадлежит показателю µ = 2 n 1. В этом случае нулевое состояние перестает быть неподвижным, существует единственное ненулевое неподвижное состояние x( k ) = ( A + I ) B и единственный замкнутый цикл длиной T = 2 n 1. Пара матриц ( A, B ) при любой реализации матрицы B является управляемой так как матрица A с неприводимым характеристическим полиномом D( ) = det ( I + A) не имеет над GF ( 2 ) собственных векторов.

В заключение приведем в форме таблицы 1.3 результаты исследования всех 28 возможных вариантов реализаций пар ( A, B ) матриц, задающих соответствующие ЛДДС при размерности dim x вектора x их состояния равной трем, что является широко распространенным случаем конструирования ДДС. Для компактности записи в таблицах использованы представления матриц, циклов, последовательностей в виде их десятичных эквивалентов, причем величина периодичности представлена скобочной записью с указанием длительности периода в виде нижнего индекса у правой скобки.

–  –  –

Примечания.

1. Матрица AT представлена построчно: в таблице указаны десятичные эквиваленты строк матрицы.

2. Матрица B T представлена десятичным эквивалентом ее столбца.

3. Запись вида ( •) означает цикл длины ( ) с последовательностью кодов состояния ( •), каждый из которых задан в десятичном эквиваленте.

1.8. Линейные двоичные динамических системы в задачах дивидендного помехозащитного кодирования

–  –  –

Форма модели ВС (1.224), как указано в параграфе 1.2, именуется рекуррентной формой, форма (1.225) – суммарной. В (1.224), (1.225) x ( k ) – вектор состояния ЛДДС, осуществляющей помехозащитное кодопреобразование; u ( k ) – входная кодовая последовательность;

dim x = m, dim u = 1, dim A = ( m m ), dim B = ( m 1). В зависимости от задачи помехозащитного кодопреобразования u ( k ) принимает смысл помехонезащищенного информационного кода u ( k ) = a ( k ) при формировании помехозащищенного кода y ( k ) и смысл принятого из канала связи искаженного кода f ( k ) = y ( k ) + ( k ) так, что u ( k ) = f ( k ) в задаче декодирования. Характерной особенностью модельных представлений (1.224) и (1.225) является то, что матрица Aку состояния кодирующего устройства и матрица Aдку состояния декодирующего устройства совпадают так, что выполняется равенство Aку = Aдку = A. (1.226) Матрица A состояния КУ и ДКУ задается в одном базисе, при этом чаще всего в сопровождающей характеристический полином (ХП) форме, причем ХП D( ) = det ( I + A) совпадает с образующим ПЗК модулярным многочленом g ( x ) так, что выполняется соотношение D ( ) = g ( x ) x = (1.

Загрузка...
227) Матрицы входа для устройств кодирования и декодирования чаще всего не совпадают так что для КУ и ДКУ модель (1.224) соответственно получает представление x ( k + 1) = A x ( k ) + Bку u ( k ); x ( k + 1) = A x ( k ) + Bдку u ( k ). (1.228) Если при формировании ПЗК предполагается возможность перехода от их матричного задания, не параметризованного дискретным временем k, с помощью образующей матрицы G и проверочной матрицы

–  –  –

] D( A) Bдку A 1 D( A) Bдку = O (1.258) Общее представление результатов (1.256) – (1.258) имеет вид (1.246).

Утверждение (У1.44) и Пр1.11 по существу содержат доказательство следующего утверждения.

Утверждение 1.45 (У1.45). В качестве матрицы Bдку входа устройства дивидендного декодирования, реализованного в форме линейной ДДС (1.228), может быть принята любая строка проверочной матрицы H помехозащищенного кода в транспонированном виде так, что Bдку = H iT, i = n,1, (1.259) при этом образующая и проверочная матрицы ПЗК, сформированного средствами ЛДДС (1.228) с матрицей входа (1.259) устройства декодирования сохраняют свое характеристическое свойство (1.147).

Таким образом пользователь аппаратуры дивидендного помехозащитного кодирования – декодирования без изменения ее кодирующей части может модифицировать декодирующую часть путем изменения матрицы Bдку входа декодирующего устройства. Количество вариантов модификации матрицы Bдку составляет N в = n, где n – полное число разрядов помехозащищенного ( n, k ) -кода. При этом опасность получения неуправляемой пары матриц ( A,Bдку ) на указанном наборе отсутствует, так как матрица Bдку при всех ее версиях не является собственным вектором матрицы A. Последнее объясняется тем, что матрица A состояния ЛДДС кодирующих и декодирующих устройств (1.228) имеет своим характеристическим полиномом неприводимый модулярный многочлен, который не имеет корней в простом поле Галуа GF ( 2 ), что гарантирует и отсутствие собственных векторов.

Полученные в параграфе результаты позволяют сформировать алгоритм синтеза линейных ДДС дивидендного помехозащитного кодирования и декодирования.

–  –  –

x( k + 1) = Ax( k ).

24. Сформировать матрицу входа Bку дивидендного кодирующего устройства (1.228) в силу соотношения (1.229).

25. Сформировать проверочную матрицу H ПЗК и матрицу Bдку входа дивидендного декодирующего устройства (1.228) в силу соотношения (1.259).

26. Проверить правильность функционирования устройств кодирования и декодирования (1.228) сформированными парами матриц (A,Bку ) и (A,Bдку ).

27. Построить техническую реализацию устройств дивидендного кодирования и декодирования:

a. в схемотехнической форме на базе структурных представлений;

b. в программной форме на базе рекуррентных процедур (1.228).

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (НДДС) ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ

Рассматриваются проблемы, связанные с использованием нелинейных двоичных динамических систем (НДДС) в составе устройств дискретной автоматики. Причем первоочередной проблемой является разработка методологии и алгоритмического обеспечения конструирования нелинейных модельных представлений ДДС. В связи с тем, что «нелинейность» в общесистемной постановке суть разновидность статической «памяти», то следует ожидать при использовании НДДС в составе устройств дискретной автоматики для решения задач кодопреобразования заметного сокращения размерности кода состояния ДДС, что влечет за собой системологическую проблему «кодового пространства» на классе ЛДДС–НДДС реализаций проектируемых двоичных систем. При этом разработчик УДА должен помнить, что априорным преимуществом НДДС перед ЛДДС является возможность использования всего банка существующей триггерной логики, что существенно расширяет класс схемотехнических реализаций ДДС.

2.1. Построение модельного представления НДДС с использованием средств автоматной логики В настоящем параграфе в развитие положений параграфа 1.2, в котором в классе моделей «вход–состояние–выход» (ВСВ) (1.20) построены линейные представления правил (функций) перехода и выхода в форме (1.23) и (1.24), ставится задача конструирования их нелинейных аналогов. Для целей построения нелинейных модельных представлений правил и при описании ДДС используются возможности автоматной логики [6, 7, 8, 14, 39] в двух ее реализациях.

Одна из этих реализаций опирается на процедуру канонического автоматного синтеза ДДС, а другая – на процедуру автоматного синтеза ДДС с использованием граф-схем алгоритмов (ГСА) ее функционирования.

Первая из отмеченных процедур конструирования нелинейного модельного представления в форме НДДС реализуется в виде следующего алгоритма.

–  –  –

мерности кодов конечного автомата (2.5) и мощности алфавитов абстрактного автомата (2.1) связаны соотношениями dimU = r = arg min{ p r rZ }, dim X = n = arg min{ p n nS }, dimW = m = arg min{ p m mW } (2.6) Коды алфавитов входа и выхода могут строиться в рамках требований (2.6) достаточно произвольно. Коды элементов алфавита состояния с тем чтобы избежать начальную установку КА должны использовать нулевую комбинацию, а так же учитывать специфику графа переходов АА. Так, если в графе переходов АА явно обнаруживается некоторая его цикличность, то из соображений простоты технической реализации НДДС коды ее состояний, соседние по графу, должны быть максимально приближены к соседним) [8], то есть должны характеризоваться минимальным кодовым расстоянием (см. параграф 3.2).

Представить правила, (2.2) – (2.4) КА после процедуры кодирования соответствующих алфавитов АА, соответственно в виде : x( k + 1) = [ x( k ), u ( k ) ], x(0 ) (2.7) и : y ( k ) = [ x( k ) ] (2.8) при использовании автоматной логики Мура и : y ( k ) = [ x( k ), u ( k ) ] (2.9) при использовании автоматной логики Мили, где x( 0 ), x( k ), x( k + 1) – соответственно коды начального состояния, исходного состояния и состояния перехода.

4. Выбрать тип автоматной логики (Мура или Мили) функционирования конечного автомата на основе анализа требований, предъявляемых к НДДС по быстродействию и информационной надежности, таблиц переходов и выходов КА, полученных в результате выполнения п.3 алгоритма.

5. Выбрать тип используемых при построении НДДС триггеров, число которых не зависит от выбранного их типа и определяется размерностью n кода состояния автоматного представления НДДС. Учесть, что выбор конкретного типа триггера вводит в рассмотрение дополнительную функцию описания КА – функцию µ возбуждения информационного входа v триггера, задаваемую в форме v( k ) = µ [ x( k ), x( k + 1) ]. (2.10)

6. Построить аналитическое представление функционирования НДДС в виде двух систем булевых функций, описывающих процесс:

формирования выхода y в форме y = y [ x( k ), u ( k ) ], (2.11) и формирования сигналов возбуждения информационных входов триггеров в форме v( k ) = µ [ x( k ), [ x( k ), u ( k )] ] = µ [ x( k ), u ( k ) ]. (2.12) ~ Булеву функцию (БФ) (2.11) составить непосредственно на основе табличного представления правила функции выхода КА, являющейся таблицей истинности на всем множестве наборов переменных, представленных кодами исходных состояний и входов. Для построения БФ (2.12) сконструировать таблицу возбуждения входов всех триггеров выбранного типа на основе представления (2.10) и таблицы переходов КА.

Построенную таблицу использовать для построения БФ (2.12) в качестве таблицы истинности.

7.Привязать аналитические описания (2.11), (2.12) к элементной базе и построить схемотехническую реализацию НДДС.

Примечание 2.1 (ПМ.2.1) Из приведенного алгоритма нетрудно видеть, что автоматный синтез существенно расширяет банк схемотехнических реализаций ДДС за счет снятия ограничений на логику функционирования триггеров, которое имело место в линейном синтезе ДДС.

Пример 2.1 (Пр.

2.1) В качестве примера рассматривается конструирование НДДС, преобразующая входную последовательность u ( k ) = ( k ) в периодическую последовательность, обеспечивающую размещение информационных разрядов в кодах Хэмминга (7,4) (см. Пр1.1).

Для решения поставленной задачи конструирования ДДС воспользуемся алгоритмом 2.1.

1. В соответствии с постановочной частью задачи конструирования назначаем элементы алфавита Z входа, S состояния и W выхода описания устройства в форме АА и составляем формальную его модель в логике абстрактных автоматов Мура (рисунок 2.1) и автоматов Мили (рисунок 2.2). При этом соответствующие им таблицы правила перехода и правила выхода запишутся в виде таблиц 2.1 и 2.2.

–  –  –

2. В соответствии с п.3 алгоритма кодируем алфавиты входа, состояния и выхода полученных абстрактных автоматов (таблицы 2.3 – 2.5) и, таким образом, получаем описание конструируемого устройства в форме КА. Функции переходов и выходов КА записываем в виде таблиц 2.6 и 2.7 соответственно, а графы переходов и выходов, соответствующие двум логикам конечного автомата функционирования (логикам Мура и Мили), представляем так, как показано на рисунках

2.3 и 2.4 соответственно.

–  –  –

3. В силу логики работы устройства (на его выходе должен формироваться сигнал по длительности кратный длительности тактов работы устройства) выбираем для реализации НДДС конечный автомат, функционирующий в автоматной логике Мура (рисунок 2.3).

–  –  –

1. Сформулировать постановку задачи кодопреобразования, решаемой конструируемой ДДС.

2. Построить вербальную ГСА функционирования ДДС на основе ее словесного описания или анализа временной диаграммы с учетом того обстоятельства, что ГСА является направленным графом [8], использующим вершины трех типов:

начальную/конечную операторную, рабочие операторные и условные.

В операторные вершины вписать вербальные конструкции в виде инфинитивов или отглагольных существительных, несущих информацию о необходимости выполнения конкретного действия, с учетом того, что начальная и конечная вершины имеют соответственно только выход или только вход, а рабочая операторная вершина имеет один вход и один выход;

В условные вершины вписать словесные логические условия, с помощью которых осуществляется управление последовательностью действий проектируемой НДДС. Условные вершины имеют один вход и два выхода, причем если вершина моделирует процесс (состояние) ожидания выполнения условия, то один из ее выходов соединяется с ее входом.

Проконтролировать корректность составленной ГСА путем проверки наличия хотя бы одной ветви с выхода произвольной вершины, ведущей к входу конечной вершины, и проверки отсутствия ветвей с выхода вершины графа к входам более чем одной вершины. При контроле дополнительно учесть, что ГСА допускает размещение одного и того же условия в различных условных вершинах графа и разрешает выполнение одного и того же действия в различных операторных вершинах графа.

3. Составить формальную версию ГСА путем замены вербальных конструкций операторных вершин на элементы алфавита высокого уровня w j, j = 0, mW 1 символьного представления действий (операций, команд), и вербальных конструкций, вписанных в условные вершины, на элементы zi, i = 1, rZ, алфавита символьного представления условий, имеющих бинарную реализацию.

4. «Погрузить» сформированную в п.3 алгоритма формальную версию ГСА конструируемой ДДС в среду абстрактных автоматов с учетом следующих обстоятельств.

Если АА строится в автоматной логике абстрактного автомата Мура, то всем операторным вершинам w j присваиваются состояния sk +1, причем начальная w0 и конечная wk =mW 1 вершины объединены в одну, которой присваивается состояние s1.

Если АА строится в автоматной логике абстрактного автомата Мили, то состояние s1 присваивается входу первой условной вершины, непосредственно следующей за начальной операторной вершиной. Это же состояние присваивается конечной операторной вершине. Остальные состояния s k, k = 2, nS присваиваются входам всех условных вершин, непосредственно следующих за операторными вершинами графа.

Обратить внимание на то, что АА, реализующий ГСА в логике автоматов Мура, характеризуется числом состояний nS, совпадающим с числом операторных вершин, в то время как АА, реализуемый в логики Мили, характеризуется числом состояний nS, в общем случае не совпадающим с числом операторных вершин, причем возможны такие ГСА, где число состояний меньше числа операторных вершин. На этапе погружения формальной ГСА в автоматную среду на паре автоматных логик Мили/Мура осуществить начальную минимизацию автоматной реализации НДДС. Зафиксировать результат погружения формальной версии ГСА в автоматную среду в форме АА, задаваемого с помощью макровектора (2.1) с функциями перехода и выхода в форме (2.2) – (2.4).

5. Выбрать автоматную логику функционирования АА и построить в выбранной логике граф переходов АА, в среду которого погружена формальная ГСА.

6. Выполнить п.п.3–7 алгоритма 2.1 применительно к АА в выбранной логике.

Примечание 2.2 (ПМ2.2). При выполнении п. 5 А2.2 в фазе кодирования следует отметить, что кодирование алфавитов состояния и выхода осуществляется в полном соответствии с п. 2 А2.1. Кодирование элементов алфавита Z следует осуществлять путем переобозначения в форме ui zi, i = 1, rZ, причем rZ и r связываются условием тождественного равенства, если указанный способ кодирования неосуществим, то следует воспользоваться схемой п.2 алгоритма 2.1.

Данное примечание вызвано тем обстоятельством, что при построении формальной версии ГСА логические переменные zi в большинстве случаев имеют бинарную реализацию, то есть принадлежат полю Галуа GF ( 2 ).

Примечание 2.3 (ПМ2.3). При составлении БФ, предусмотренных п.5 алгоритма 2.1 применительно к конструированию функций возбуждения триггеров, они строятся в виде дизъюнкций основных конъюнкций, которые формируются на кодах исходных состояний x( k ) и управляющих сигналов, считываемых с условных вершин и связывающих исходное состояние с состоянием перехода x( k + 1). БФ формирования выходов, в случае использования логики абстрактных автоматов Мура, конструируются посредством дизъюнкций основных конъюнкций, представляющих собой исходные состояния автомата.

В случае использования абстрактных автоматов Мили булевы функции строятся по той же схеме, что и булевы функции возбуждения.

–  –  –

Конструируется нелинейная ДДС, которая решает задачу кодопреобразования, отмеченные ГСА- описания которой для абстрактных автоматов Мили и Мура представлены на рисунках 2.5 и 2.6 соответственно. При этом требуется обеспечить максимальное быстродействие устройства.

–  –  –

Решение поставленной задачи осуществляем с п.5 алгоритма:

1. Строим графы переходов и выхода описания функционирования устройства: для абстрактного автомата Мили – как показано на рисунке 2.7, для абстрактного автомата Мура – как показано на рисунке 2.8, при этом соответствующие им таблицы правила перехода и правила выхода запишутся в виде таблицы 2.8 и 2.9. В силу того, что характер решаемой задачи накладывают требование повышенного быстродействия на данное устройство, то принимаем логику функционирования конструируемого устройства в форме абстрактного автомата Мили.

Рисунок 2.7.

Модель НДДС в логике абстрактного автомата Мили Рисунок 2.8. Модель НДДС в логике абстрактного автомата Мура

–  –  –

Полученные булевы функции могут быть положены в основу схемотехнической реализации конструируемого устройства.

В заключение следует отметить, что банк модельных описаний устройств дискретной автоматики и телемеханики с использованием средств автоматной логики, конструируемых на триаде «{каноническое автоматное представление с помощью ГСА} – {автоматная логика Мили/Мура} – {триггерная логика}», предоставляет разработчику широкие возможности минимизации сложности схемотехнической реализации структурного представления «блок памяти – комбинационная схема» ДДС.

2.2. Построение дивидендных устройств помехозащитного кодопреобразования с помощью НДДС в логике произвольных триггеров Рассмотренная в разделе 1 процедура конструирования линейных дивидендных устройств помехозащитного кодопреобразования (ДУПК) в форме ЛДДС опирается на векторно-матричный аппарат и имеет две фазы: кодирование и декодирование. Погружение в аппаратурную среду векторно-матричных описаний этих фаз в форме соответствующих ЛДДС дает для последних базовое представление в логике линейных D–триггеров [7, 42, 51], которое на основе концепции подобия (см. §1.4) может быть дополнено использованием линейных T– триггеров. Таким образом ДУПК в виде кодирующих и декодирующих устройств, реализованных в форме линейных ДДС, не выводит получаемые схемотехнические решения за пределы возможностей логики линейных триггеров.

Решение задачи конструирования указанных устройств с использованием возможностей нелинейных ДДС в логике произвольных триггеров является предметом данного параграфа. Задача решается погружением линейного дивидендного кодирующего и декодирующего устройств в фазе, когда получено векторно-матричное представление правил перехода и выхода устройств, в автоматную среду, свободную от ограничения на тип используемой триггерной логики. Таким образом решение задачи достигается агрегированием алгоритмов линейного и автоматного синтеза ДДС помехозащитного кодирования и декодирования.

–  –  –

Процедура линейного синтеза устройства дивидендного декодирования представлена алгоритмом 2.4, особенность которого состоит в том, что синдром ошибки представляет собой вектор состояния циклического декодирующего устройства (ЦДУ), формируемый на последнем n -ом такте цикла деления.

–  –  –

1. Выполнить п.п.1–2 алгоритма 2.3.

2. Сконструировать передаточную матрицу-столбец ЦДУ ( d ), описывающую функционирование конструируемой ДДС в форме УДММ, вида ЦДУ ( d ) = col {d m+1i g 1 ( d ); i = 1,m}, (2.18) принимая во внимание то обстоятельство, что выходом УДММ устройства декодирования является его вектор состояния.

3. Выполнить п.5 алгоритма 2.2 так, чтобы матрица B входа УДММ удовлетворяла равенству B T = H n, H n – последняя строка проверочной матрицы кода.

4. Следуя п.7 алгоритма 2.2, построить векторно-матричное описание ЦДУ в форме x( k + 1) = Ax( k ) + B f ( k ), (2.19) где f ( k ) = y ( k ) + ( k ) – кодовая последовательность, поступающая в декодирующее устройство из канала связи, в котором вектор состояния x по принятии n разрядов кода f ( k ) принимает значение синдрома E ошибки ( k ).

5. Спроектировать устройство формирования сигнала коррекции (УФСК) искажений принятого из канала связи кода f ( k ) в зависимости от способа реализации корректирующей способности кода.

6. Проверить правильность функционирования декодирующего устройства с помощью векторно-матричного соотношения (2.19).

С целью решения поставленной задачи построения дивидендных кодирующих и декодирующих устройств в логике произвольных триггеров выполним «погружение» векторно-матричных моделей (2.16), (2.17) и (2.19), задающих соответственно функции перехода и выхода ЦКУ и функцию перехода ДКУ, в автоматную среду. Содержательной базой такого погружения в автоматную среду является то обстоятельство, что кодирование алфавитов входа, состояния и выхода уже произведено при построении линейных векторно-матричных представлений (2.16), (2.17) и (2.19). Если эти векторно-матричные соотношения использовать для формирования таблиц функций перехода и выхода ЦКУ и ДКУ, то конструирование автоматного представления устройств циклического кодирования и декодирования получит форму конечного автомата (КА).

Для случая помехозащитного кодирования в среде НДДС макровектор НДДС-ЦКУ автоматного описания ЦКУ принимает вид НДДС - ЦКУ : {U, X,Y,, }, (2.20) где двухразрядный код U = [ u, u у ] имеет элементами старшего разряда элементы помехонезащищенного кода так, что u = uи, а младший разряд u у принимает значение «0» в течение первых k тактов работы ЦКУ, и значение «1» – в течение последних m тактов, при этом реали

–  –  –

1. Выполнить п.п.1–4 алгоритма 2.4.

2. Выполнить п.2 алгоритма 2.1 и построить совмещенную таблицу реализации функций перехода : x( k ) F ( k ) x( k + 1) и выхода : x( k ) ( k ) НДДС-ЦДУ (2.21) с помощью (2.19) и (2.22).

3. Выполнить п.п. 4–6 алгоритма 2.1.

Проиллюстрируем на примере процедуры синтеза двоичных устройств помехозащитного кодопреобразования в логике произвольных триггеров Пример 2.3 (Пр2.3) Просинтезировать циклическое кодирующее устройство, формирующее помехозащищенный код (7, 4) с образующим многочленом g ( x ) = x 3 + x + 1 в форме НДДС в логике произвольных триггеров.

Решение поставленной задачи осуществляем с использованием алгоритма 2.5, в соответствии с которым осуществим:

1. Выполнение п.п. 1–7 алгоритма 2.3, которое дает структурное представление ЦКУ, приведенное на рисунке 2.10

–  –  –

2.3. НДДС в задачах коррекции искажений помехозащищенных кодов Коррекция принятых из канала связи помехозащищенных средствами помехозащитного кодирования кодовых комбинаций является финальной фазой помехозащитного кодопреобразования перед передачей принятой информации в техническую среду получателя информации. Организация коррекции искажений принятой из КС кодовой комбинации определяется многими факторами, основными из которых являются:

метод формирования оценки искажения (матричный, не параметризованный дискретным временем, рассмотренный в параграфе 1.5, или дивидендный, построенный на линейных ДДС, рассмотренный в параграфах 1.7 и 2.2);

форма представления оценки искажения (в виде синдрома ошибки, характерного для обоих методов формирования оценки искажения, и квазисиндрома, характерного только для дивидендного метода формирования оценки искажения);

способ реализации корректирующей способности кода (в форме режима обнаружения ошибок или в форме режима исправления их);

кратность обнаруживаемой и исправленной ошибки.

Указанные факторы, определяющие характер алгоритмической и технической реализации процесса коррекции искажения принятых из КС искаженных, прошедших помехозащитное кодопреобразование на передающей стороне, кодовых комбинаций, сведены в таблицу 2.12.

–  –  –

Математически векторный сигнал коррекции искажений в принятом ПЗК в силу (2.26) и (2.23) может быть сформирован в силу соотношения = EH+ (2.28) где H + – матрица псевдообратная проверочной матрице H. На практике, как и в случае формирования синдрома E, при котором от векторно-матричного соотношения E = f H переходят к системе проверочных равенств, являющихся аналитической основой построения линейного шифратора, на выходе которого образуется синдром, при формировании векторного сигнала коррекции принятого ПЗК приходится использовать тот же прием. В результате полученной системы j = j { E = [Em Em1 E1 ]}; j = n,1, (2.29) конструируется синдромный дешифратор, на вход которого подается синдром E, а на его выходной шине – наблюдается векторный сигнал { } коррекции = row j ; j = n,1. Алгоритм формирования сигналов коррекции (2.29) для случая произвольной кратности s исправляемого искажения принимает вид Алгоритм 2.7 (А2.7) формирования векторного сигнала коррекции искажения произвольной кратности s принятого из КС ПЗК

1. На основе проверочной матрицы H (канонической или модифицированной путем перестановки столбцов или циклической перестановки строк исходной канонической) помехозащищенного кода построить в силу второго уравнения (2.23) с учетом (2.27) таблицу истинности для формирования компонентов { } = row j ; j = n,1 векторного сигнала коррекции искажений с ошибками только первой кратности на наборах булевых переменных, определяемых синдромами E = [E m E m1 E1 ] однократных ошибок.

2. Памятуя о том, что при формировании проверочной матрицы H ПЗК, способного исправлять искажения с ошибками в s разрядах так, чтобы выполнялось второе векторно-матричное соотношение (2.23) и при этом формировался синдром E ( s ) равный сумме по mod 2 s синдромов однократных ошибок, сформировать на основе таблицы истинности БФ j = j ( E ), полученной выполнением п.1 алгоритма, полную таблицу истинности путем суммирования на все сочетания синдромов однократных ошибок

–  –  –

ИЧК, при этом сигнал коррекции формируется нелинейным способом в форме (2.33).

Особняком в дивидендном методе формирования оценки искажения ПЗК стоит задача коррекции кода с помощью квазисиндрома E вида (2.49). Квазисиндром может быть использован только в режиме исправления. При его использовании скалярный сигнал коррекции формируется в силу соотношения ~ ( k = ( t + 1 ) n + 1 ) = & E i = & B iT ; t = 1, 2, (2.53) i=m i=m Коррекция искажений с помощью сигнала коррекции (2.53) требует организации сдвигового вывода ПЗК из сдвигового регистра хранения кода в дополнительный регистр сдвига или перевода приемного регистра в режим кольцевого регистра сдвига на n -ом такте деления. На выходе приемного регистра сдвига должен быть включен сумматор по модулю два, выполняющий функции устройства коррекции ПЗК, на один вход которого подается искаженный ПЗК, а на другой – сигнал коррекции (2.53), на выходе которого наблюдается откорректированный код.

2.4. Дивидендные кодирующие и декодирующие устройства укороченных циклических кодов с коммутируемой структурой

–  –  –

Как следствие в случае решения задачи помехозащитного кодопреобразования средствами циклического кодирования и декодирования укороченный помехозащищенный (n1, k1 ) -код, где n1 = k1 + m, будет иметь тот же образующий ММ g ( x ) с deg g ( x ) = m, что и (n, k ) -ПЗК, где n = k + m, при этом g ( x ) принадлежит показателю n.

Если задача помехозащитного кодопреобразования укороченного (n1, k1 )-ПЗК решается матричными методами, то помехозащитное кодопреобразование может быть осуществлено с использованием редуцированной образующей матрицы G, а помехозащитное декодирование может быть осуществлено с использованием редуцированной проверочной матрицы H (n, k ) -помехозащищенного кода. Редуцирование образующей матрицы G осуществляется вычеркиванием ( k k1 ) первых столбцов и первых строк этой матрицы, в результате чего формируется образующая ( k1 (n1 = k1 + m )) -матрица G(n 1, k 1 ) ПЗК (n1, k1 ) с тем же числом проверочных разрядов, что и код (n, k ). Редуцирование матрицы H осуществляется вычеркиванием ( k k1 ) первых строк этой матрицы, в результате чего формируется проверочная (n1, m ) матрица H (n 1, k 1 ) ПЗК (n1, k1 ), которая при декодировании будет формировать синдромы той же размерности m, что и в случае декодирования (n, k ) -ПЗК с помощью матрицы H. В связи с тем, что при практической реализации матричного метода помехозащитных процедур кодирования и декодирования от матриц ПЗК переходят к системе линейных скалярных соотношений для кодирования и проверочных соотношений для декодирования редуцирование матриц G и H не приводит к уменьшению числа этих соотношений. Сокращается лишь число аддитивных членов в них, что в итоге приводит к уменьшению аппаратурного состава устройств кодирования и декодирования на число ( k k1 ) сумматоров по модулю два.

При дивидендном методе помехозащитного кодопреобразования укороченных кодов имеет место следующая картина. Аппаратурно в кодирующем устройстве с точностью до изменения момента коммутации в устройстве деления модулярных многочленов, когда оно переводится в режим регистра сдвига для вывода в КС остатка от деления, ничего не меняется. В декодирующем устройстве, если не предпринять специальных структурных мер, появляется времення избыточность, состоящая в том, что при n1 n так, как образующий ММ g ( x ) укороченного (n1, k1 ) -кода и (n, k ) -ПЗК один и тот же, причем он принадлежит показателю n, а не n1, то есть она оказывается большей длины укороченного (n1, k1 ) -кода. Более того, «квазисиндром» искаженного укороченного кода по своему положению на временной оси на повторных циклах деления перестает быть согласованным с искаженным разрядом укороченного кода (УПЗК). Таким образом корректирующие возможности (n1, k1 ) -ПЗК оказываются представленными только синдромом, квазисиндром перестает быть опознавателем ошибки. Однако корректирующие возможности (n1, k1 ) -ПЗК могут быть расширены до возможностей (n, k ) -ПЗК, если сделать цикл деления равный длительности n1 (n1, k1 ) -ПЗК. Эта задача решается, если базовую векторноматричную модель ДКУ x ( k + 1) = A x ( k ) + B u ( k ), x ( 0 ) 0, (2.57) дополнить цепями коммутации структуры цикла деления так, что векторно-матричная модель ДКУ укороченного (n1, k1 ) -ПЗК принимает вид x ( k + 1) = A x ( k ) + B u ( k ) + Bк 1 u к 1 + Bк 2 u к 2, x ( 0 ) 0. (2.58) В (2.58) сигналы коммутации принимают значение u к 1 = 1, u к 2 = 0 когда u ( k ) = f ( k ) – принимаемая из КС искаженная кодовая комбинация в момент коммутации характеризуется равенством u ( k ) = 0, и u к 1 = 0, u к 2 = 1 – когда u ( k ) в момент коммутации характеризуется равенством u ( k ) = 1. В связи со сказанным матрицы Bк 1 и Bк 2 можно сформировать, опираясь на положения следующего утверждения.

Утверждение 2.5 (У2.5). Для того, чтобы цикл деления при декодировании укороченного (n1, k1 ) -ПЗК дивидендным методом был бы согласован с редуцированной на ( n n1 ) первых строк проверочной матрицей достаточно, чтобы матрицы входа Bк 1 и Bк 2 для коммутирующих сигналов u к1 и u к 2 имели вид Bк 1 = ( I + A n 1 )B, (2.59) Bк 2 = A B.

n1 (2.60)

–  –  –

На рисунке 2.11 приведена сконструированная структурная схема ДКУ (5, 2) -УПЗК с коммутируемой структурой.

2.5. Аппарат селлерсовского дифференцирования в задачах анализа булевого описаний НДДС дискретной автоматики В своей работе [65] Ф. Селлерс ввел в практику использование производных (разностей) булевых функций на предмет обнаружения ошибок в функционировании дискретных устройств, аналитическое представление которых задается с помощью аппарата БФ. В своей монографии [47] Ф. Селлерс переносит предложенный аппарат на задачу обнаружения ошибок в работе ЭВМ. Однако аппарат селлерсовского дифференцирования, за некоторым исключением [1, 9, 17], остается за пределами массовой технической литературы, проблемно ориентированной на разработки устройств дискретной автоматики.

Задача параграфа – привлечь внимание разработчиков УДА к возможностям аппарата селлерсовского дифференцирования и предложить инструментарий для исследования аналитических описаний УДА в классе НДДС представлений. С этой целью сформулируем основные положения аппарата селлерсовского дифференцирования.

–  –  –

В заключение необходимо сделать примечание к разложению (2.95) произвольной булевой функции f ( x ). Очевидно, что число членов разложения в (2.95) определяет степень близости f ( x ) к ее линейной версии, а произведение числа членов разложения на размерность блока памяти определяет функционал размещения данной задачи кодопреобразования в диаде «комбинационная схема – блок памяти».

Полученные результаты исследований позволяют предложить следующий алгоритм контроля булевого описаний нелинейных ДДС дискретной автоматики.

Алгоритм 2.10 (А2.10) контроля булевого описаний НДДС дискретной автоматики в фазе их аналитического конструирования

1. Выполнить в зависимости от формального описания НДДС: в случае ГСА-описаний при контроле корректности ее составленной в силу У2.9 – п.п. 1–5 А2.2,а затем – п.п. 2–6 А2.1; в случае использования канонического автоматного синтеза – п.п. 1–6 А2.1.

2. Проверить с использованием положений У2.6, У2.7 и У2.8 факт избыточности переменных булевого описаний БФ, задающих функции µ (2.12) возбуждения информационных входов триггеров, и в случае обнаружения такового выполнить соответствующее приведение этих переменных.

3. Проверить с использованием положений У2.6, У2.7 и У2.8 факт избыточности переменных булевого описаний БФ, задающих функцию y (2.11) выхода НДДС, и в случае обнаружения такового выполнить соответствующее приведение этих переменных.

4. Выполнить с использованием положений У2.10 и У2.12 контроль постановочного описания в форме диаграмм переходов и выхода (ДПВ) или ГСА нелинейной ДДС с полученным его аналитическим представлением, определяемым соответствующими БФ.

5. Выполнить п.6 А2.1.

Примечание 2.6 (ПМ2.6). Следует заметить, что предложенный алгоритм контроля булевого описаний НДДС достаточно просто реализуем в программной среде, что позволит разработчикам существенно сэкономить время при разработке НДДС.

Для иллюстрации приведенных положений рассмотрим два примера, в первом из которых рассмотрим использования аппарата селлерсовского дифференцирования применительно к произвольным БФ.

–  –  –

3. ГИБРИДНЫЕ ДВОИЧНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ

Положения разделов 1 и 2 содержат инструментарий, позволяющий решать требуемую задачу кодопреобразования как в классе линейных двоичных динамических систем, модельное представление которых опирается на аппарат передаточных функций или векторноматричных описаний, так и в классе нелинейных ДДС, модельное представление которых формируется с использованием возможностей автоматной логики в двух ее версиях.

В настоящем разделе рассматривается класс ДДС, построенных на композиции двух указанных выше математических модельных представлений. Класс таких систем назван классом гибридных двоичных динамических систем (ГДДС). Класс гибридных ДДС достаточно нов и теоретически мало разработан, он имеет пока скромное библиографическое обеспечение. Ниже приводятся избранные результаты по исследованию класса гибридных ДДС, известные на настоящий момент.

3.1. Проблема заполнения кодового пространства классом гибридных двоичных динамических систем Процедуры конструирования ДДС в классе линейных представлений приводит к размерности dim x вектора x ее состояния равной n л.

Решение той же задачи кодопреобразования в классе нелинейных представлений приводит к вектору состояния размерности nн, причем в общем случае размерности n л и nн связаны отношением порядка в виде неравенства n л nн = E { log 2 nS }, (3.1) где ns – мощность алфавита состояний абстрактного автомата, погружаемого в двоичную динамическую среду, E { ( •) } – оператор округления величины ( •) до ближайшего большего целого.

Возникают естественные системные вопросы: какими свойствами обладает ДДС, размерность nг вектора состояния которой удовлетворяет отношениям порядка в виде неравенств n л n г nн, (3.2) и как ее сконструировать, если при этом она решает ту же задачу кодопреобразования? Следует ожидать, что реализация ДДС с размерностью nг вида (3.2) вектора ее состояния строится в классе гибридных двоичных динамических систем (ГДДС), обладающих свойствами как линейных, так и нелинейных двоичных динамических систем. Этому классу двоичных динамических систем посвящен данный параграф, который начнем с формулировки следующих определений.

Определение 3.1 (О3.1). Мощность множества реализаций ДДС, размерность nг вектора состояния которых удовлетворяет неравенствам (3.2), образует кодовое пространство (КПР).

Определение 3.2 (О3.2). Гибридными двоичными динамическими системами устройств дискретной автоматики будем называть ДДС, размерности векторов состояний которых принадлежат кодовому пространству, сформированному в смысле определения 3.1.

Определение 3.3 (О3.3). Кодовое пространство называется невырожденным, если размерности nн и n л удовлетворяют условию nн n л 1.

Определение 3.4 (О3.4). Кодовое пространство называется вырожденным, если размерности nн и n л удовлетворяют условию nн n л = 0.

Рисунок 3.1

Понятие «кодовое пространство» позволяет рассматривать гибридные ДДС как некоторую динамическую среду, осуществляющую двоичное кодопреобразование и заполняющую невырожденное КПР.

С этой точки зрения линейные ДДС, построенные с использованием аппарата передаточных функций или векторно-матричного описания, а также нелинейные ДДС, где в качестве кодов состояния используются двоичные коды на все сочетания, образуют «полярные» реализации решения задачи конструирования ДДС, формируя тем самым проблему заполнения возникающего между ними кодового пространства классом гибридных ДДС. Решение проблемы заполнения КПР классом ГДДС можно осуществить двумя путями. Первый путь решения проблемы состоит в редуцировании размерности вектора состояния линейных ДДС. Механизмы редуцирования размерности вектора состояния линейных ДДС, опирающиеся на результаты первого раздела, представимы в форме диаграммы, приведенной на рисунке 3.1.

Второй путь заполнения КПР гибридными ДДС формируется в классе нелинейных версий двоичных динамических систем и направлен на увеличение размерности вектора их состояния. С этой целью выбор двоичного кода при кодировании состояний абстрактного автоматного представления синтезируемой НДДС осуществляется с нарушением условия (2.6), то есть nг nн : dim X = nн arg min{ p nн ns }, (3.3) что исключает использование для этой цели двоичных кодов на все сочетания. Указанная проблема удовлетворения условию (3.3) при выборе способа кодирования элементов алфавита S, мощности ns, состояния АА приводит к использованию таких кодов как, например, кодов Джонсона, кодов Грея, соседних кодов или, например, кодов с минимальным кодовым расстоянием не меньшим двух, то есть помехозащищенных кодов.



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«Блок автодозвона Гранд МАГИСТР GSM (версия 3) Блок автодовона "Гранд МАГИСТР GSM" (версия 3) ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ПАСПОРТ Редакция 1 от 20.10.15 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 1.1. Настоящее техническое описание и инструкция по эксплуатации предназначены для изучения принципа работы и эксплуатации внешн...»

«Электронный архив УГЛТУ УДК 630* 18. Т. Б. Сродны х (Уральская государственная лесотехническая академия) АНАТОМО-МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ХВОИ ЕЛИ В ЗОНЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ВЫБРОСОВ Исследована анатомо-морфологическая структура хвои ели в зоне промышленных выбросов Красноуральского медеплавильного комбината. Влияние промышленн...»

«ОПЫТ РАЗВИТИЯ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ ЗАМКНУТОГО ЦИКЛА РОССИИ И КИТАЯ А.Л. Старостинa, Т.В. Филипповаb Томский политехнический университет, г. Томск E-mail: as-tar_94@mail.ru; b ftv8282@mail.ru В статье пр...»

«Протокол № 10-ТВВ/ТПР/1-09.2017 /И от 21.10.2016 стр. 1 из 5 УТВЕРЖДАЮ Председатель конкурсной комиссии _ С.В. Яковлев " 21 " октября 2016 года ПРОТОКОЛ № 10-ТВВ/ТПР/1-09.2017 /И заседания конкурсной комиссии ПАО "Транснефть" по лоту № 10-ТВВ/ТПР/1-09.2017 "Система телемеханизации МН Сургут-Полоцк" (АО "Транс...»

«ИЗМЕРИТЕЛЬ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ П3-34 Формуляр БВЕК.431440.08.06 ФО ООО "НТМ-Защита" 115230, г. Москва, 1-й Нагатинский проезд, дом 10, строение 1 БВЕК.431440.08.06 ФО СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие указания 2. Основные сведения 3. Основные технические данные 4.Комплектность 5. Гарантии изг...»

«1 редакция изменений № 3 к СП 70.13330.2012 ОКС 91.080.10, 91.080.20, 91.080.30, 91.080.40 1 редакция изменение № 3 к СП 70.13330.2012 "Несущие и ограждающие конструкции. Актуализированная редакция СНи...»

«Калитка электромеханическая PERCo-WHD-05 Руководство по эксплуатации СОДЕРЖАНИЕ Назначение Условия эксплуатации Основные технические характеристики Комплект поставки 4.1 Стандартный комплект поставки 4.2 Дополнительное оборудование, поставляемое под заказ Краткое описание 5.1 Основные особенности 5.2 Устройство калитки 5....»

«Инженерный вестник Дона, №2 (2016) ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3657 Разработка температурной модели дистальных фаланг пальцев пригодной для оценки артериального давления В.М. Строев, А.И. Истомина, А.Ю. Волков Тамбовский Государственный Технический Университет, Тамбов Аннотация: В настоящее время...»

«Совет народного хозяйства Б е л о р у с с к о г о Э к о н о м и ч е с к о г о административного района Оршанский станкостроительный завод „КРАСНЫЙ БОРЕЦ Универсальный плоскошлифовальный станок высокой точности с горизонтальным шпинделем и прямоугольным столом МОДЕЛЬ ЗГ71 РУКОВОДСТВО К СТАНКУ...»

«ИНТЕНЦИЯ МЫШЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА И ЭКЗИСТЕНЦИОНАЛЬНЫЙ СМЫСЛ СТАРОСТИ КАК ИТОГОВЫЙ ЭТАП ДОЛГОЛЕТИЯ ШААБ КИРА СЕРГЕЕВНА. Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, аспирантка кафедры культурологии. Аннотация. Мир обладает огромным потенциалом культуры, и задача культурологии применять...»

«Общетехнические и социальные проблемы 6. Об уравнивании спутниковых и наземных измерений коррелатным способом в плоских координатах для построения мостовых разбивочных сетей / М. Я. Брынь, А. В. Астапович, П. А. Веселкин и др. // Из...»

«АО ГМС Ливгидромаш 303851 РОССИЯ Орловская обл., г. Ливны ул. Мира, 231 АГРЕГАТ ЭЛЕКТРОНАСОСНЫЙ ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ СКВАЖИННЫЙ ПОГРУЖНОЙ ЭЦВ РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ Н49.872.00.00.000 РЭ СОДЕРЖАНИЕ Лист Введение 3 1 Описание и работа 4 1.1 Н...»

«Антипов Алексей Олегович Совершенствование технологического процесса и систем торможения дождевальной машины "Фрегат" на пневматических шинах для полива многолетних трав в условиях склоновых...»

«ЯХЬЯ Мохамед Хамед Салем ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ АНТИАРИТМИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ НЕКОТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДИМЕТИЛФЕНИЛАЦЕТАМИДА 14.03.06 – фармакология, клиническая фармакология Диссертация на соискание учёной степени кандидата медицинских наук Научный руко...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 32731— СТАНДАРТ Дороги автомобильные общего пользования ТРЕБОВАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ СТРОИТЕЛЬНОГО КОНТРОЛЯ Издание официальное Мос...»

«ИНСТРУКЦИЯ ПО МОНТАЖУ КРЫШКИ В КУЗОВ АВТОМОБИЛЯ 117593, г. Москва, Литовский бул. 19, 1 под. 1 этаж, кн. "Офис" Тел.: (495) 514-35-63, 427-59-11,(915) 215-86-88 E-mail: stavny@stavny.ru, http://www.stavny.ru Комплектация крышки 1. Крышка боковая 6. Короб защитный 11. Полотно крышки 2. Защитный кожух 7. Пружина тяговая 1...»

«Припоров Игорь Евгеньевич ПАРАМЕТРЫ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ВОРОХА СЕМЯН КРУПНОПЛОДНОГО ПОДСОЛНЕЧНИКА В ВОЗДУШНО-РЕШЕТНЫХ ЗЕРНООЧИСТИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ Специальность 05.20.01 – Технологии и средства механизации сельского хозяйства...»

«Проект Изменение №2 к СП118.13330.2012* 1-я редакция ОКС 91.040.10 ПРОЕКТ Изменения №2 СП 118.13330.2012* "Общественные здания и сооружения. Актуализированная редакция СНиП 31-06-2009 с изменением №1" УТВЕРЖДЕНО и введено в действи...»

«KERN & Sohn GmbH Ziegelei 1 Тел.: +49-[0]74339933-0 D-72336 Balingen Факс: +49-[0]7433-9933-149 e-Mail: info@kern-sohn.com Интернет: www.kernsohn.com Инструкция по эксплуатации Прецизионные весы KERN EW/EG-N/EWB Версия 2.5 10/2011 RUS EW/EG-N/EWB-BA-rus-1125 KERN EW/EG-N/EWB RUS Версия 2.5 10/2011 Инструкция по эксплуатации Прецизионные ве...»

«СВАРОЧНЫЙ ИНВЕРТОРНЫЙ АППАРАТ: "Энкор-161 ММА"; "Энкор-201 ММА"РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ www.enkor.nt-rt.ru СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие указания 2. Технические данные 3. Распаковка 4. Комплектность 5. Указания по технике безопасности 5.1. Об...»

«БЛОК ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ГАММАИЗЛУЧЕНИЯ БДГ3-РМ1403 РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ Благодарим вас за покупку блока детектирования гаммаизлучения БДГ3РМ1403 производства Полимастер. Настоящее руководство по эксплуатации (РЭ) предназначено для изучения устройства, конструкции и принципа действия блока детектирования гаммаизлучения БДГ3-Р...»

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ 9/24/1 Одобрено кафедрой "Управление эксплуатационной работой" МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗРАБОТКЕ И ОФОРМЛЕНИЮ ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ д...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" В.К. Кулешов, И.С. Филатов МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ НЕРАЗРУШАЮЩИХ МЕТОДОВ И...»

«Программа междисциплинарного курса МДК 0301разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по профессии начального профессионального образования (далее НПО) 18511 Слесарь по ре...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Омский государственный технический университет" КВАНТОВАЯ...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.