WWW.LIB.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные материалы
 

«АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР хл/мр-гоД А. С. К о в а л е в. Н. Е. Кулагин ДИНАМИКА ТЕМШХ СОЛИТОЮВ НЕНУЛЕВОГ О ВАДТМА В ОДНОКОМПОНЕНТНОВ СИСТЕМЕ ...»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

хл/мр-гоД

А. С. К о в а л е в. Н. Е. Кулагин

ДИНАМИКА ТЕМШХ СОЛИТОЮВ НЕНУЛЕВОГ О ВАДТМА

В ОДНОКОМПОНЕНТНОВ СИСТЕМЕ

Препринт 14-87

ХАРЬКОВ 1987

А В Д Ж М НАУК УКРАИНСНЭИ ССР

ФИЗИКС-ТШИЧЕСКЙ) ЮЕТИТУТ НИЗКИ ТЕМПЕРАТУР

А. С. Ковалев, Я. Е. Кулагин

ДИНАМЖА ТЕМШХ СОЛИТОЮВ НЕНУЛЕВОГ О ВАКУУМА

В ОДЮШПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЕ

Препринт 14-87 Харьков 1987 Ковалев А. С., УДК 5ЭС. I Кулагин Н. Е.

ДИНАМИКА ТЕЧ1Ш ССЛИТОЮВ НЕНУЛЕВОГО ВАКУУМА В ОДНОКОМПОКЕНТНОЙ

СИСТЕМЕ На примере s K ~ уравнения Гордона рассмотрена динамика с о ­ литонов в однокомпонентннх системах с "жесткой" нелинейностью, По­ к а з а н о, что несингулярные локализованные решения существуют лишь при наличии н е щ я е в о г о вакуума (конденсата). Эти возбуждения п р е д ­ ставляют собой "темные" однопараметрические солитоны типа пузырей в конденсате. Изучены структура и динамические свойства таких в о з ­ буждений. Найдена зависимость их скорости от плотности конденсата и фазового сдвига в нем при прохождении солитона. С помощью к а ч е с ­ твенного анализа показана единственность полученных локализованных решений.



Препринт Физико­технического института низких температур АН УССР, Харьков, 1937, К 14 Kovalev A. S., K u l a g l n K,E.

DIIAJUC5 OF DArtK SOL1T0NS OF NON? KaO VACUUM IH A OSS­COUPOHLHT SYSTKH The e x a n p l o f t h e S h ­ G o r d o a e q u a t i o n l a n e e d t o c o n s i d e r t h e d y n a m i c s a s o l l t o n s I s one—conponeat a f i i e » « l t n " h a r d " n o n l l n e o r l t y. I t l a sho«n t h a t n o a s i n g u l a r l o c a l i z e d s o l u t i o n s e x i s t o n l y a g a i n s t t h e b a c k g r o u n d of в О Л Е е г о vacпив ( c o n d e n s a ­ t e ). T h e s e e x c i t a t i o n s r e p r e s e n t " d a r k " one—parameter s o l l t o n s ( h o l e s I n c o n d e n s a t e ). The s t r u c t u r e and dynamic p r o p e r t i e s of such e x c i t a t i o n s a r e e t e d l e d. T h e s o l i t o n v e l o c i t y I s found a s a f u n c t i o n of t h e c o n d e n s a t e d e n s i t y and t h e p h a s e s h i f t of t h e c o n d e n s a t e d u r i n g ao i l t o n t a c t i o n. O n o n t l t a t l r * a n a l y s i s s u ­ g g e s t s u n i q u e n e s s of s u a h l o c a l i s e d s o l u t i o n s.

The p r e p r

–  –  –

чГ) Физико­технический институт низких температур АН УССР, I9G7 3 последние года достигнут существенный прогресс з изучении динамики нелинейных эволюционных систем. Предце всего это относит­ ся к исследованию свойств локализованных возбуждений таких систем ­ солктонов [ i ]. Вместе с тем, теория сслитоноа еще далека от за­ вершения. Подавляющее число рассмотренных задач относится к систе­ мам с тах называемой "мягкой" нелинейностью, т.е. к састемак, в ко­ торых с ростом амплитуды Бэзбуядения пони­каотся характерные часто­ ты таких решений. ПодобнУли: системами яшяится, например, синусо­ идальное уравнение Гордона и нелинейное уравнение Иредакгера с г.





рк­ тяяением [l]. Кроме того, обычным является предположение об убы­ вании полей на бесконечности (нулевые граничние условия^. Исследо­ вание динамики возбуждений при ненулевых условиях на бесконечности существенно слоящее. Учет возбужденного состояния системы на бес­ конечности (ненулевых вакуумных условий) особенно существен в сис­ темах с "жесткой" нелинейностью, где в случае нулевого вакуума ло­ кализованные решения,как правило,сингулярны [ 2], Существует лишь несколько работ, в которых обсукдены нелинейные уравнения с жесткой нелинейностью в условиях ненулевого вакуума: речь идет о нелине*!нш уравнений Шредингера с отталкиванием [ 3, 4] и уравнении Ландау­Лиф­ шнца для легколлоскостного ферромагнетика [ь]. Отметим, что приве­ денные призеры относятся к двухкомлснентжи системам, н котср^х не­ нулевой вакуум является тривазльнык и моает быть учтен проста.: пре­ образованием исходных уравнений. Иначе обстоит дело в однскомлснен­ тных системах, где наличие конденсата (нетривиальные условия на бес­ конечности) приводит к временной зависимости пространственных асим­ птотик решений.

В качестве примера однокомпокентной нелинейной системы с "жест­ кой" нелинейностью рассмотрим так наэ'^ваемое SlL ­ уравнение Гор­ доне [2].

afs _ a f s + s h s = 0 2 + s n b at эх* o- (I) Такое уравнение описывает, например, динамику возбуждений в нелинейных системах с пространственными ограничениями Евиброудар­ ные системы) [ б ]. Оно монет быть такяе привлечено к описанию двух­ тяневых биологических макромолекул [ ? ]. Уравнение (I) является полностью интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния [ 2 ], и для него показано отсутствие несингулярных солктонных ре­ шений при нулевых асимптотиках на бесконечности 1.2, 8J. Поскольку статические ненулевые условия при Х­**ОД невоачонны, рассмотрим услозкя типа бегущей сталз!онарной волны. Они могут рассматриваться как однородно псремесдаощиЯея конденсат нелинейных фононов. При ис­ следовании различных реаений уравнения (I) полезной является заме­ на полевой переменной S =4 Arth и. (2) В терулнах ноной функции U(X,"t) ресенив для нелинейной волны стационарного профиля представляет простую кноидальную вол­ ну. Поскольку исходная система является лоренц­инвариантноЙ, то достаточно ограничиться рассмотрьяием однородных по координате ко­ лебаний.

Они имеют следующий вид:

L4(t^/x-sn(i^,ae) (3) где SflCHJ'SB)­ эллиптический синус Якоби, и 96 ­ модуль этой Функции.

Движущаяся волна получается из выражения (3) лоренцовским преобразованием и монет быть записана в такой форме:

–  –  –

Еэ этого выражения следует, что выполняется неравенство г Щ^ЬЩ/ф(л}/Ь(^)^/2» 0 • Согласно критерию Лайтхилла Ы из такого знака неравенства следует модуляционная устойчивость рассмотренных нелинейных волн степионнрнсго профиля.

Поскольку нулевые условия на бесконечности допускают лишь син­ гулярные солитонные решения типа будем искать локализованные в пространстве решения на фоне однород­ ной волны (конденсата). В простейшем случае, когда амплитуда воэОун­ дения зависит только от "fc, такое решение имеет вид

–  –  –

и описывает неподвижную область пониженной амплитуды. Это состоя­ ние можно рассматривать как пузырек гаи дырку в конденсате фононов.

После лорендовского преобразования эта область пониженной плотное­ я та фононов может переиеша :ься, однако при этом начинает двигаться и сад конденсат. Причем, скорость пузырька однозначно связана со скоростью конденсата (фоновой волны), т.е. пузырек связан с конден­ сатом. Как и в неподвижном решении, величина поля в центре сслитона раина нулю. Ниже мы найдем более общее решение. в котором конденсат я солитонная полость а нем двигаются независимо.

Для квазиклассической интерпретации полученного решения (8) построим плотность адиабатического инварианта, которая в нашем слу­ чае равна 2Ж 1= d0 " 2 ш l ("it) • (9) о Из выражений (8) (9) в пределе малой плотности конденсата ( Э2­*­ — • О J следует такое распределение плотности фононов для обсуж­ даемого решения:

п ~ 8х(1-х)Щ-^-} + 0(se ). см То есть полученное солитонное решение ог.исивает ? акой пузгоъ в конденсате фононов, в которой плотность фононов в центре обраща­ ется в куль. Полное число элементарных возбуждений над конденсатом (число дырочных фононов), образумите пузырь, приближенно равноN^ 16у?2 (1"2эе)­ Ресение [81 представляет собой аналог либовеккх состояний в бозе­газе с отталкиванием между бозонами [ ю ].

Покажем, что решение (8) представляет собой частный случай "темного"солитона для рассматриваемой модели и что в более общем случае такое возбуждение может быть "оторвано" от конденсата и пе­ ремещаться на его фоне с произвольной скоростью ( 0 ^ у ^ V ^, ( x ) ).

K не связанной с групповой скоростью фоновой кноидальной волны. При построении общего решения для движущегося солитона воспользуемся преобразованием Дарбу для уравнения ( I ). (Естественно, мояно вос­ пользоваться и другими точными методами. В частности, полностью идентичный результат получается и с помощью преобразования Беклун­ да).

Явный вид преобразования Дарбу для уравнения (I) приведен в работе [ п ]. Это преобразование позволяет строить решения нелиней­ ных ЭЕОЛЮШЮННКХ уравнений, опираясь на более простые известные ре­ шения. Метод арбу тесно связан с методом обратной задачи теории рассеянияшараллельно с "одеваниеы" затравочного решения исходных уравнений он одновременно указывает характер преобразования решений соответствующей линейной задача.

Для коыпактизаши записи преобра­ зования Дарбу удобно перейти от исходной полевой переменной о(К,"С/ к новым величинам + W=expS, K )S, для которых уравнение (I) записывается в форме Лакса [ l l j :

где использованы "конусные" переменные Щ *­»(X+"ty4 a % = (.X~'t)/A. Системе уравнений (12) соответствует вспомога­ тельная линейная задача для двух комплексноэначных функций 4 ^ ( x t )?

–  –  –

Легко показать, что выбор исходной кноидальной волны (4) в ка­ честве затравочного решения приводит к нефиэвческим (сингулярным и комплексным) новым решениям. Оказалось, что для того чтобы в резуль­ тате преобразования Дарбу получить несингулярную и вещественную фун­ кцию, необходимо в качестве исходного решения выбрать комплексную функции

–  –  –

xCt) • произвольная функция времени. Подставляя решение (19,

20) в систему уравнений (14) и приравнивая нуля коэффициенты при разных степенях акопонанты SXp ОиХ) » пригодны к следующему :

уравнению для функции X("t) в Ж = _?,, (V --|)-(y -n)Snfat,K) (21) z z dt *r (v 4)-(v -i)sn(dt,a) ' Ращением втого уравнения является периодическая по "fc функ­ ция на фоне линейно раотуввй со временем составдянцей. Эта линей­ ная компонента задает среднюю окорость перемещения локализованного возбуждения в конденсате V = ­ (д%/0Ь)/2и • Средняя скорость выражается через полный эллиптический интеграл третьего рода и мо­ жет быть записана в виде

–  –  –

где функция U C w соответствует фоновой волне и определяется внрвхенавм (3), а T ( W ­ периодическая по Бремени функция.

Сдвиг фазы 2 Г кноЕдадьной водны при прохождения на ее фоне тем­ ного солЕтона связан с параметрами как самой волны, так и оолитона:

Г=* Г ( Ж, V). В неявной форме эта залисииость выражается так:

Из выражения (25) следует, что асимптотически (при Х--оо ) полученное решение выходит на конденсатнне граничные условия, одна­ ко конденсат при Х-*оо и х~-х обладает разной фазой:

UC») = U„(t-r), U(-co) = Ujt+r).

(27) 3 центре солитона амплитуда колебаний понижается, хотя и не дости­ гает нулевого значения в случае движущегося солитона:

"-«»—Й- • Эти величина определяется параметром преобразования Дарбу V и зависит от скорости солитона. Параметр V изменяется в интервале

–  –  –

мы имеем однородный конденсат (3): солитон делокализуется, и его амплитуда обращается в нуль. Таким образом, солзмонное решение (25) является нетопологическим и непрерывным образом переходит в основное состоянЕе при максимальном значения скорости. Интересно отметить, что ыавсиыадъное значение скорости аависет от плотности конденсата (паршетра ЭВ ) и с ростом плотности возрастает про­ порционально амплитуде кноидальноЯ волны: 0" *& удв. При бес­ т конечной плотности конденсата С 38 —* 1 ) и нулевой амплитуде сода­гона { У—гао ; достигается абсолютный предел скоростз \Т = 1. Н а рис. I приведена зависимость скорости солитона от параметров К и ot,=CtrG$\n{(V^-1)/K[V +iY}. От этих пара­ метров легко перейти к плотности конденсата X и амплитуде соли­ тона П ( о ).

т С помощью соотношения (26) скорость темного солитона мояет быть выражена через плотность конденсата и разность его фаз на Рис. I. Зависимость скорости солнтонов от параметров К и, об =Cffn(C^K ) • характеризующих амплитуды конденсата и солитона.

–  –  –

но выбрать и другую тройку величин, характеризующих рассматриваемое днро^яов возбуждение: амплитуду колебания волны Q = •fx., часто­ ту этих колебаний в лабораюрной системе отсчета (S& Е интеграль­ ный сдвиг фазы 2Г Однако при любой параыетраэащЕ два парамет­ ра характеризуют состояние конденсата и один ­ самого солитсна. По­ этому в данной сгстеуе содитон мокно считать однопараметрачаским Св отличив, например, от биона в 5 G ­ E ).

Возможен следующий механизм возбувдения рассматривавши тем­ II них солитонов. Если на границу системы подавать непрерывный перио­ дический сигнал с заданными амплитудой и частотой,то он возбуждает устойчивую волну с определенной плотностью фононов и их групповой скоростью. Вели в генерируемом сигнале зоэдшь дополнительный сбой фазы колебания, то он приведет к образованию темного солитона над конденсатом, распространяющегося с вполне определенной скоростью, определяемой этим сдвигом фазы.

Меняя его, легко управлять скорос­ тью возбуждаемого солитона. Л варьируя амплитуду непрерывного сиг­ нала, можно кенять верхний предел скорости. Предложенный механизм весьма прост и удобен дня возбуждения солдтонов и контролирования их скорости. Саш же солатоны могут оказаться полезными при переда­ че информации. В настоящее время имеются экспериментальные данные по возбуждению модуляционно устойчивых непрерывных сигналов в маг­ нитных пленках [l2J.

Обратимся теперь к вопросу оо интегралах движения полученных солитонов ненулевого вакуума. Полная анергия системы равна ~со -оо и расходится при наличии конденсата. Поэтому энергию солитона сле­ дует отсчитывать от энергии однородной кноидальной волны Д Е = ­ Е { Uf ~ Е { U }­ Яетво показать, что энергия, соответствуицая e

–  –  –

Перейдем к вычислении полевого импульса рассматриваемого со­ литонного решения. Вследствие ненулевых асимптотических условий вопрос этот становится нетривиальным. Наличие конденсата приводит к неоднозначности определения плотности функции Лагранжа и соот­ ветствующей ей плотности полевого импульса.

Если для уравнения (I) выбрать плотность лагранжиана в виде то из него следует такое выражение для плотности полевого импульса:

–  –  –

d %t = {e+2chS} Проинтегрировав это равенство по координате в бесконечных пределах, убеждаемся в несохранении полного полевого импульса ^ = V dx­p :

он осциллирует эо времени с частотой ($). Это обстоятельстве является следствием временного сдвига фазы у асимптотик npz X = ± со : S ( c ° ) ' S(-&) • Отсчитывая плотность импульса в солитоне от плотности импульса в однородном конденсатном состоя­ нии и подставляя в выражение (34) найденное солитонное решение, лег­ ко свести плотность импульса солитона к дивергентному виду:

б +5 д р =лё + 2 5 х С 1 ­ 0 • (36) Это поаволяет Б явной вале вычислить полный полевой импульс солптона над конденсатом. В связи с его несохранением усредним эту величину по периоду колебания, и С ПОМОЩЬЮ соотношения (21) получим для среднего импульса выражение Р = ­лЕ­1Г. I' Таким образом, средний по времени падевой импульс равен по эе­ личи.чв и противоположен по знаку полному потоку энергии солитона.

Этот результат очевиден, поскольку при выборе плотности функции Лйгранжа в виде (33) тензор энергпи­иыпульса антисимметричен, и плотность импульса отличается только знаком от плотности потока энер­ гии.

Заметим, что подобная ситуация (несохранение полного полево­о импульса) характерна для задач с ненулевыми условиями на бескони ­ нос™. Аналогичные результаты были получены для S C r E [l3J и у. линейного уравнения Щредингера со ступенчатыми началыгчми условиями.

Невыясненным остается следующий вопрос: исчерпывают ли постро­ енные нами семейства все несингулярные вещественные солитоны нену­ левого вакуума? Для ответа на этот вопрос используем подход, предло­ женный в [13, 14, 15] и основанный на качественном анализе динами­ ческих систем.

Рассмотрим вначале периодические по временной переменной J, решения уравнения ( I ).

Подстановка в уравнение (I) приводит к бесконечней последовательности обыкно­ венных дифференциальных уравнений для амплитуд фурье­гармоник:

–  –  –

Отметим, что динамической переменной ["временем") здесь явля­ ется пространственная переменная X В бвсконичпимерном фазовом пространстве динголпескэЯ системы (39) нулевому вакууму S(X,~t) = О отвечает ну.'.э:юя энооил точка, а солитонам нулевого вакуума ­ сепаратрисные траекторгл этой точки. Нулевая особая точка характеризуется тем, что ее cenh­ ретриснке многообразия (множества траекторий, входящих и выходящих кэ нее при X ­* ± оо ) являются конечномерными. Согласно общей теории [ а ] все солитокы нулевого вакуума уравнения (1) являются син­ гулнрньст. С ТОЧКИ зрения фазового пространства это означает, в частности, что все траектории, выходящие из нулевой особой точки, уходят на бесконечность при конечном значении "прекени" Л. Тс есть в отличие от ре^сыотренного в [ГЗ, 14, Т5J случая уравнения S1H — Гордона мы ииеем дело с некомпактный сепаратрисным много­ образием. Подчеркнем, чтс такая ситуация является малоизученной в теории динамических систем.

Динамическая система C3S) характеризуется пг­аметром (л) при изменении которого кеняетсн характер особых точек фазового прос­ транства. Яри уиеншенги частоты Ц) я вроховденни бифуркационного значения Ш = 1 размерность седловкх многообразий нулевой особо:* точки увеличивается на двойку. При этом от нее отщепляется ojUicna­ раметрическое семейство неизолированных особых точек (окрухя/сть), отвечающих ненулевому вакууму (3). Координатами этих точек Б конфи­ гуращкжио» «рострекат:ва являются, соответствующее ко«поке"тц фурье­ разложения решения (3) с параметром семейства t. Теперь соли­ тонам ненулевого вакуума отвечают сепаратрисные траектории этого семейства. Определим размерность соответствующих сепаратрисных мно­ гообразий или, что то же, число положительных характеристических показателей в окрестности проотранотвенно­однородаого решения (3).

Полагая в уравнении (I)

–  –  –

к Периодические решения уравнения (48} с периодом АК(?) могут быть упорядочены по числу их нулей, и по теореме Штурма­Лиу­ аилля [16J соответствующие этим решениям собственные значения Л(_ образуют возрастающую последовательность \ Л Л..., 2 5 (49)

–  –  –

т.е. нелокализованные, осциллирующие в пространстве решения для $.

Собственной функции ф^ отвечает сингулярное решение уравнения (I), которое является обобщением солитонного решения (7) на случай ненулевого вакуума, функции ф ­ несингулярное солитонное реше­ а

–  –  –

Рис. 2. Солвтонные траектория в фазовом пространстве:

в ­ окружность А соответствует ненулевому вакууму, линия В ­ син­ гулярному решении, С ­ несингулярному солнтону (8), Д ­ сдвиговой моде конденсата.; 6~ солитонные траектории при разных скоростях:

собственные значение (47) имеются только два положительные собствен­ ные значения Л.. Это означает, что свпаратрисные многообразия особых точчз, отвечающих ненулевому вакууму, являются двумерными.

На этих многообразиях^помимо указанных выше яплящюсся образом ре­ шении (8) сепаратрисных траекторий и обобщенного на случай ненуле­ вого вакуума решения (7))имвется еще однопараметрическое семейство сингулярных сепаратрис, представляющих их "нелинейную суперпозицию".

Перечисленные сепаратрисы полностью заполняют все сепаратрисное мно­ гообразие. Следовательно, в классе периодических по "t решений уравнения (I) имеется единственное несингулярное решение (8), отве­ чающее солитонам ненулевого вакуума. В частности, не существует двухпараметрических солитонов бионного типа, и рассмотренные одно­ ' параметрические решения соответствуют наиболее общему виду несингу­ лярных солитонов.

Аналогичным образом доказывается единственность решения (25) для движущегося солитона в классе несингулярных решений вида О = S( ;, Т ), где )s = X,­У~Ь и a Tt • являвших­ ся периодическими функциями переменной f ­ В данном случае для получения динамической системы необходимо, разложив решение в ряд Фурье

–  –  –

подставить его в уравнение Отметим, что при атом структурными параметрами полученной дина­ мической системы становятся параметры is) и V По­видимому, рассмотренная нами ситуация является ситуацией общего положения: если ненулевой вакуум в системе устойчив, то при определенном характере нелинейности возможно существование однспа­ раметрических солитонов дырочного типа. В качестве иллюстрации при­ ведем следующий пример. Существует определенная симметрия нелиней­ ных уравнении относительно изменения характера нелинейности с одно­ временным изменением знака дисперсии [l7]. В нашем примере при пе­ реходе от "жесткой" нелинейности к "мягкой" и одновременном перехо­ де от лоренц­инвариантной к эвклидовой дифференциальной чести 'что меняет знак дисперсии линейных волн) мы приходим к следующему урав­ нению:

­x2C ­2Q (56)

–  –  –

подобного типа, описывающее неподвижный солятон, аналогичный реше­ нию (8). выглядит так;

Как и в предыдущем случае, плотность противофазных фононов о центре неподвижного пузыря обращается в ноль.

В заключение отметин, что рассмотренные наш солитоны сущест­ венно отличайся от обычно рассматриваемо: солитоков в системах с "мягкой" нелинейностью даже при наличии в последних пространствен­ но однородного воэбуднения (т.е. ненулевых граничных условий).

Для сравнения рассмотрим синусоидальное уравнение Гордона

–  –  –

Доя него также можно построить несингулярные солвтонные решения на фоне волны ненулевой амплитуды. В простейшем случае на фоне прос­ транственно однородных колебаний

–  –  –

солитонное решение с нулевой скоростью имеет следуюЩЕЙ простой вид:

т.е. допускает разделение переменных в анэаце Лэыба [13, 15J. Нес­ мотря на внешнее сходство это решение существенно отличается от соответствующего рассмотрении выше решения (2), (в). Солятон, списываемый формулой (61), является топологическим и описывает кинк на фоне ненулевого вакуума. Кроне этого, уравнение (59) до­ пускает существование солитонов и более общего типа ­ бионов на фоне ненулевого вакуума. Сама фоновые однородные возбуждения в урав­ нениях (I) и (59) такие существенно различны: в 5 G E ненулевой ва­ куум модуляционно неустойчив. Это означает, что малые пространствен­ но периодические возмущения с длиной волны _Д = 2ТТ/ k •• 2jf будут нароотать эо времени. Зарождение и первая фаза развития та­ кой неустойчивости рассматривалась в линейной приближении в работе [1б]. В интегрируемых системах процесс модуляционной неустойчивос­ ти может быть описан полностью (см., например, [ г э ] ). Для него ха­ рактерна следунзая эволицая неустойчивых мод: эасодиваись при "t=~co они достигают своего насыщения и затеи при "t~*oo исчезают. Таяиг образом, за бесконечное время система снова возвращается к простран­ ственно однородному состоянию, отличающемуся от исходного только сдвигом фазы.

Явное решение, отвечающее модуляпионноГ. неустойчивости, так? ' можно построить, используя метод преобраэимания Яарбу. г,чя уравнения

S G E (59) это решение имеет следующую структуру:

S(x,t)=4arctg F{R(x,t),t}, (62) где функция г, явный вид которой здесь не существен, являет­ ся строго периодичной по второму аргументу "fc. Кроме того, функция F включает экспоненциальную зависимость от аргумента R (х,~Ь)

–  –  –

6. Веденова Б. Г., Маневич А. И., Пилипчук В. Н. Нормальные колеба­ ния в струне с сосредоточенными шппят на нелинейно­упругих опорах / / Принл. математика и механика. ­ 1985. ­ 4 9, вып. 2. ­ С. 2 0 3 ­ 2 1 1.

7. Полозов Р. В., Якушевич Л. В. Нелинейные возбуждения в ДНК и экспрессия г е н о в. ­ Пущино, 1 9 8 5. ­ 2 0 с. ­ Препринт / Н1ЕИ АН СССР).

8. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Я, Гамильтонов подход в теории с о ­ лятонов. ­ М,: Наука, 1986. ­ 527 с.

9. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергьпуювшх средах. ­ М.:

Наука, 1973. ­ 175 С,

10. Lieb K.H. Bxact analysis оГ on lnteraotion Ъоев gas. I I.

1'h.e excitation spectrum / / Pnys. «ev. ­ 1963. ­ I2P»N A. P. 1616­1624.

1 1. Сапль М. А. Преобразование Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типы цепочки Тоды / / Теорет. и мат. физика. ­ 1982. ­ 5 3, ВЫП. 2. ­ С. 227­537.

12. Зильберыан П. Е., Козаков Г. Т., Тихонов В. В. Нелинейные с в о й ­ ства быстрых магнитоупругих волн / / Тез. докл. 10 Всесоюз. шк. ­ семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники". Рига, сент. 1986 г, ­ Р и г а, 1986. ­ ч. I. ­ С. 168­169.

1 3. Елеонский В. М.,Новожилова К.С,Кулагин Н­ Е. О новых примерах топологических солитонов в ыагнитоупорядоченннх средах / / Журн.

экспериы. я теорет. фиэикг. ­ 1985. ­ 8 9. ш п. 6 U 2 1. ­ С.

2174­2180.

14. Елеонский В. Е., Кулагин Н. Е., Новожилова Н. С, Силин В, П.

Замечания о качественной теории вполне интегрируемых уравнений поля и сплошной среда / / Методы качественной теории дифференци­ альных уравнений. ­ Горький, 1984. ­ С. I 0 3 ­ I I 5.

1 5. Елеонский В. М., Кулагин Н. Е., Новожилова Н. С. Классификация солитонных состояний в бесконечномерном фазовом пространстве / / Теорет. и мат. физика. ­ 1985. ­ 6 5, вып. 3. ­ С. 391­399.

16. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ­ М.:

Наука, 1967. ­ 3D0 с.

17. Косевич А. М., Ковалев А. С. Самолокализация колебаний в одно­ мерной ангармонической цепочке / / Журн. эксперим. и теорет. фи­ зики. ­ 1974. ­ 6 7, вып. 5 ( И ). ­ С. I793­I8D4.

18. lircalani N.U., Forest M.G., McLaughlin U.S. Uudulatlonal I n s t a b i l i t i e s o periodic sine— Gordon ware я i A geometric analysis / / Loot. Appl. Math.. ­ 1986. ­ )„ ­ P. 1­SV­I66.

19. Ахмедиеа H. H., Елеонский В. М., Кулвгин Н. Е. Генерация перио­ дической последовательности пикосекундных импульсов в оптичес­ ^ ком волокне / / Журн. эксперим. и теорет. физики. ­ 1985. ­ 8 9, вып. 5 С И ). ­ С. I 5 4 2 ­ I 5 5 I.

–  –  –



Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ГОСТ Р РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 52560-2006 Методы испытаний на стойкость к климатическим внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий ИСПЫТАНИЯ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЫЛИ (ПЕСКА) Издание официальное Москва Стандартинформ Содержание...»

«2 полугодие 2015 года, направить перечень в авиапредприятия для проверки их выполнения. Довести повторно информацию по безопасности полетов от 16.01.2015 №4.0226, от 06.04.12 № 6 по вопросу катастрофы, произошедшей 02.04.12 с самолетом ATR-72-201 VPBUZ, телеграмм...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное бюджетное учреждение "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА...»

«Технический райдер Дениса Мажукова (версия райдера от 16.12.2013) администратор Юлия Клейнер официальный сайт тел. +7 (906) 793-37-52 http://www.mazhukov.ru Пожалуйста, внимательно следите за обновлениями и изменениями данного райдера. Актуальная версия райдера доступна на официальном сайте Дениса Мажукова по адресу http...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЕ СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ УКРАИНЫ ПРАВИЛА определения стоимости проектно-изыскательских работ для строительства, осуществляемого на территории Украины ДБН Д.1.1-7-2000 (с дополнения...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.Рабочая программа по химии 9 класса составлена в соответствии с: Федеральный компонент государственных образовательных 1. стандартов начального общего, основного общего и среднего общего образов...»

«Вопросы инновационной экономики. № 1 (11) / 2012 Цыганкова Вера Николаевна канд. экон. наук, доцент, кафедра Менеджмента, маркетинга и организации производства, Волгоградский государственный технический университет mmiop@vstu.ru Исследовани...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕ...»

«БЕТИНСКАЯ ОКСАНА АНДРЕЕВНА ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА В УНИВЕРСАЛЬНОЙ КАМЕРЕ СГОРАНИЯ ГАЗОТУРБИННОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ УТИЛИЗАЦИИ ПОПУТНОГО НЕФТЯНОГО ГАЗА 05.04.12 – Турбомашины и комбинированные турбоустановки АВТОРЕФЕРА...»

«По вопросам продаж и поддержки обращайтесь: Email: evm@nt-rt.ru Web-сайт: www.emv.nt-rt.ru УЗА-10М.ДТ2 МИКРОПРОЦЕССОРНОЕ УСТРОЙСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ТОКОВОЙ ЗАЩИТЫ, УПРАВЛЕНИЯ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ ДВУХОБМОТОЧНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ИН...»








 
2017 www.lib.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.